基于物理原理的广义学习方法在利用不完整模态数据进行模型更新中的应用

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Physics-guided broad learning (PhyBL) for model updating using incomplete modal data

　　

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  PhyBL将特征方程嵌入到BLS中，以便在模态数据不完整的情况下进行模型更新。
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  特征方程约束确保了模态参数映射的物理一致性。
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  与普通BLS相比，PhyBL在处理轻微损伤时表现更为优异。
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  通过对广州塔的验证，pMAC值超过0.94，频率误差也在8%以内。

引言

精确的有限元模型对于结构响应预测、可靠性评估以及全生命周期管理而言至关重要[1]、[2]、[3]。基于振动的有限元模型更新方法在过去几十年里已被广泛研究[4]、[5]、[6]。该方法利用从振动测量中获得的模态数据，如模态频率、模态形状和模态阻尼比，来更新选定的有限元模型参数[7]。传统的有限元模型更新方法通常将这一任务视为一个逆优化问题来处理[8]。通过迭代调整选定参数，直至模态分析得到的解析模态数据与实际测得的数据相一致。通过指定有限元模型的模态分析，可以隐式地体现物理机制。然而，在迭代过程中需要反复进行模态分析并多次计算目标函数，这会导致基于优化的有限元模型更新方法在处理大型民用结构时面临巨大的计算成本[9]、[10]。此外，有限元模型更新通常是一个病态逆问题，微小的模态数据或优化参数变化都可能带来参数的巨大波动。因此，最终结果往往强烈依赖于初始值，有可能收敛到局部最优解或物理上不可靠的解[9]、[10]。所以，如何在不牺牲物理一致性的前提下提高计算效率与稳定性，仍是有限元模型更新领域亟待解决的问题。

随着机器学习的发展，数据驱动的映射策略逐渐被用来加速有限元模型更新过程[11]、[12]、[13]。这类策略无需通过迭代方式解决逆优化问题，而是通过从测量数据到选定参数估计值的替代映射来实现模型更新。在各种数据驱动方法中，深度神经网络，包括卷积神经网络[14]、[15]、[16]以及循环神经网络[17]、[18]、[19]，因其能够表示复杂的非线性映射而被广泛用于此领域。不过，由于训练成本较高，深度神经网络在结构健康监测中的应用仍受到限制。结构健康监测应用往往需要频繁重新训练，以应对事件后的情况变化、传感器漂移、环境因素变化或结构老化等问题。在这种情况下，深度神经网络复杂的结构所带来的高计算需求可能会使其无法实际应用于有限元模型更新中[20]、[21]。

广义学习系统为构建替代映射提供了一种计算效率更高的方法[22]。与深度神经网络不同，广义学习系统采用扁平架构，无需重新训练整个网络即可实现快速训练和网络扩展，因此很适合那些需要频繁重新训练的结构健康监测应用[23]、[24]、[25]。不过，广义学习系统仍然存在数据驱动方法共有的两个局限性。首先，其估计精度在很大程度上取决于标记训练数据的数量和质量，而实际的结构健康监测系统往往只能提供噪声较大且不完整的模态数据[26]、[27]、[28]。其次，纯粹的数据驱动映射无法确保估计出的有限元模型参数符合背后的物理机制。这种“黑箱”特性使得广义学习系统在涉及安全关键性的工程应用中的结果难以被信任。

为克服这些局限性，一种有效的办法是通过物理引导学习将物理机制融入学习过程之中。物理引导学习已在多个结构健康监测应用中得到研究[29]、[30]、[31]。研究表明，物理约束可以通过减少对纯统计关联的依赖，并对不符合物理规律的估计结果加以惩罚，从而提升方法的泛化能力和稳健性。此外，物理约束还能让数据驱动的映射结果更具可解释性和透明度[32]、[33]。然而，目前大多数物理引导学习策略都是针对基于梯度算法训练的模型设计的，而广义学习系统则是通过闭式岭回归方法来确定输出权重。因此，如何设计出与广义学习系统兼容的物理引导学习策略，仍是需要进一步研究的问题。

为填补这一研究空白，本文提出了一种名为物理引导广义学习的框架，该框架通过将广义学习系统与物理引导学习相结合，实现了高效且可靠的有限元模型更新。PhyBL能够利用含有噪声和不完整的模态数据，包括来自有限数量模态的模态频率和部分模态形状，来估算分配给预定有限元模型子结构的刚度修正因子。因此，PhyBL本质上仍属于基于有限元模型的方法，只不过它用替代映射取代了重复的逆优化过程。广义学习系统的扁平架构使得无需重新训练整个网络即可实现快速训练和网络扩展。同时，广义特征方程作为物理约束被明确纳入学习过程，从而确保估算出的刚度修正因子符合背后的物理机制。

该框架的主要贡献在于为广义学习系统量身定制了物理引导学习策略。该策略首先通过岭回归确定输出权重的初始值，然后再通过加入物理约束的目标函数对这些初始值进行优化调整。这种两阶段设计是基于这样一个考虑：当将物理约束引入数据驱动方法时，损失函数的特征可能会变得较为复杂。正如近期的一些物理引导学习研究所示[34]、[35]，先进行稳健的初始化再通过迭代优化调整，可以有效避免算法收敛到鞍点，进而加快收敛速度。这样一来，PhyBL在保持广义学习系统高效计算优势的同时，还提升了有限元模型更新的泛化能力、稳健性以及结果的物理可解释性。

本文的其余部分结构如下：第2节阐述基于振动的有限元模型更新方法的理论基础；第3节介绍所提出的框架的工作流程；第4节通过三个案例研究对所提框架进行全面评估，这些案例包括对三跨连续桥和广州塔的数值模拟，以及基于广州塔监测数据的实际应用研究。在第一个数值案例中，不仅比较了PhyBL与深度神经网络以及传统优化方法的性能，还对加入物理约束的目标函数进行了效果分析。在第二个数值案例中，通过敏感性分析研究了传感器布局、噪声水平、损伤分布情况以及异常损伤模式等因素对PhyBL性能的影响[36]。在实际应用部分，则将更新后模型得到的模态数据与通过监测数据获得的模态数据进行对比，同时也会对比PhyBL与深度神经网络及传统优化方法的性能。第5节总结了本研究的主要发现，并分析了该工作存在的局限之处。

章节要点

模型更新方法的构建

在有限元模型更新过程中，有限元模型与实际结构之间的差异主要源于与刚度相关的参数，而质量与阻尼方面的差异则可忽略不计[37]。因此，全局质量矩阵$\mathit{M}$在工程设计阶段就已经被准确确定。在本文中，刚度变化是通过为各个子结构分配刚度修正因子来量化的。假设结构保持线性特性，那么全局刚度矩阵$\mathit{K}$可

所提出的框架

广义学习系统作为一种高效的替代方案，被用于结构健康监测领域，因为它采用扁平架构，无需重新训练整个网络即可实现快速训练和网络扩展。该系统已被应用于多种结构健康监测任务，包括裂缝检测[38]、[39]、环境影响建模[40]、[41]、[42]、模型更新[43]以及数据重建[44]。不过，普通的广义学习系统属于纯粹的数据驱动方法，其对统计关联的依赖限制了其结果的物理可解释性。

案例研究

为评估所提出的有限元模型更新框架的性能与适用性，本节开展了三个案例研究。第一个数值案例是对三跨连续桥的分析，旨在验证PhyBL在结构损伤识别方面的基本可行性。通过将PhyBL与深度神经网络以及传统优化方法进行比较，可以评估PhyBL的准确性及计算效率。此外，还针对特征方程损失项和稀疏性约束进行了效果分析。

结论

本文提出了一种基于物理引导学习的广义学习系统框架，该框架能够利用含有噪声和不完整的模态数据来进行有限元模型更新。通过将广义特征方程作为物理约束纳入学习过程，PhyBL能够构建出从模态数据到刚度修正因子的稳定替代映射关系。该框架的核心优势在于采用了混合优化策略，即结合岭回归进行初始参数确定，再通过物理引导学习进行优化调整。该框架已通过两个数值案例以及一个实际应用得到了验证。

CRediT作者贡献说明

邹晓林：论文撰写——审阅与编辑、论文撰写——初稿撰写、可视化处理、软件使用、方法设计、概念构思。袁家荣：论文撰写——审阅与编辑、论文撰写——初稿撰写、可视化处理、研究指导、软件使用、方法设计、资金获取、概念构思。

利益冲突声明

作者声明，他们不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益关系或个人关系。

致谢

本研究得到了澳门特别行政区科学技术发展基金（项目编号：001/2024/SKL）、澳门大学研究委员会（项目编号：CPG2026-00033-FST）以及粤港澳联合实验室计划（项目编号：2020B1212030009）的支持。

Xiaolin Zou|Ka-Veng Yuen