基于EKF和UKF的漂移控制式仅IMU柔性结构位移估计方法

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Drift-controlled IMU-only displacement estimation for flexible structures using EKF and UKF

　　摘要：在没有外部参考的情况下，由于积分漂移、传感器偏差、未建模的激励以及姿态与重力之间的非线性耦合，通过惯性测量来估算位移是一项具有挑战性的任务。本文研究了一种仅利用惯性测量单元对柔性垂直结构进行位移估算的方法，该方法采用了降阶弯曲模型和非线性贝叶斯滤波技术。通过在一个主导模式的结构模型中加入显式的均值回归潜在强迫状态，使得持续存在的低频加速度残差能够以概率形式呈现，而非被计入位移中。在相同的噪声假设下，对比了扩展卡尔曼滤波器和无迹卡尔曼滤波器的实现效果，结果表明，在引入潜在强迫后，EKF在所测试的仅基于惯性测量单元的参数范围内比UKF更具鲁棒性。此外，还研究了高斯过程伪测量以及离线切换EM+RTS平滑技术作为辅助校正和校准机制。数值模拟表明，与基准EKF相比，显式潜在强迫建模可将位移均方根误差降低一个数量级以上，并显著改善后验覆盖范围。这些结果表明，在没有GPS信号的情况下实现可靠的仅基于惯性测量单元的位移估算，不仅需要非线性的姿态-重力建模，还需要对未建模的低频强迫和不确定性进行显式的随机表示。

引言：精确的位移（更广泛地说，是变形）估算是在监测和控制风力发电机塔、高层建筑、长跨度结构以及细长工业设施等柔性民用结构时的基本要求。位移通常被视为最重要的量，因为它直接反映了结构的可用性响应和整体行为，因此处于许多振动监测和智能传感方法的核心位置[1]。从信号处理的角度来看，这项任务涉及在保持具有物理意义的结构响应特性的同时，从充满噪声、存在偏差且带宽受限的传感器测量数据中重建位移。因此，基于惯性测量单元的位移估算可视为一种受结构动力学约束的逆向信号重建问题。原则上，位移可以直接测量；但实际上，连续场部署往往受到稳定参考点、视线限制、较长观测距离、成本以及操作访问限制等因素的制约。最近的综述指出，实际的位移监测涵盖了多种感知和推理方法，包括基于视觉的跟踪、激光雷达扫描、基于GNSS的动态监测，以及通过应变感知来推断位移[2]、[3]。基于视觉的方法能够提供低成本的多点位移测量结果，但在长期应用中容易受到光照条件、相机稳定性以及跟踪精度的影响[4]、[5]、[6]。基于激光雷达的监测虽然能为变形评估提供丰富的几何信息，但也面临着点云质量、遮挡以及处理难题[7]。GNSS解决方案能够提供绝对位移值（尤其适用于大型结构），但其仍会受到环境误差因素的影响，通常需要结合其他感知或处理策略才能获得更准确的结果[8]。这些实际限制促使人们研究无需外部参考的自给式位移估算方法。惯性测量单元因其体积小、成本低、可以与现有仪器一同部署，且不需要预先安装的参考基础设施，因而成为结构监测的理想选择。然而，通过加速度两次积分得到的位移却极易受到传感器噪声、偏差以及建模误差的影响，从而导致时间推移出现严重漂移[9]。在结构监测中，这种漂移通常表现为低频基线偏移，除非引入专门的校正机制，否则可能会掩盖准静态或缓慢变化的变形情况[10]、[11]。对于低成本MEMS传感器而言，其随机误差特性和偏差不稳定性要求必须进行仔细的建模和校准[12]、[13]，实际研究也经常显示，在没有外部更新的情况下，仅依靠惯性测量单元得到的位移/轨迹误差会迅速增大[14]。在这种情况下，漂移可理解为重建信号中低频误差的累积，这是惯性信号处理中一个众所周知的难题。因此，要实现有效的位移估算，不仅需要准确的动态建模，还需要具备强大的信号校正能力，能够抑制由偏差引起的低频成分，同时不会扭曲真实的结构响应。一个关键的难点在于，加速度计测量的是特定力而非平动加速度，因此进行重力补偿就需要精确且随时间变化的姿态估计。在捷联惯性导航系统中，运动学方程首先利用陀螺仪的测量值确定姿态，然后再利用所得姿态将特定力转换为惯性坐标系或导航坐标系，以便后续去除重力影响；这样一来，微小的姿态误差就可能导致部分重力分量被误认为是平动加速度，进而引发严重的低频位移漂移[15]、[16]。当存在旋转运动时（比如以弯曲为主的柔性结构），姿态与重力之间的这种非线性耦合更为突出，因为欧拉角或四元数表示下的姿态误差会与单位范数约束以及局部线性化假设相互作用[17]、[18]。基于SO(3)空间的互补滤波器和观测器方法进一步表明，姿态估计本质上是非线性的，为了实现长期稳定的性能，必须明确处理偏差与姿态之间的耦合问题[19]。这表明，基于惯性测量单元的位移估算本质上是一个耦合的非线性信号处理问题，其中旋转估计误差会影响到平动信号的重建，从而加剧低频失真，降低位移估算的精度。自从卡尔曼滤波被引入以来[20]，贝叶斯状态估计算法便已成为将惯性测量数据与基于物理的过程模型相结合的标准框架。从信号估计算的角度来看，卡尔曼滤波提供了一种递归框架，用于将带有噪声的测量数据与动态模型融合在一起，在高斯假设条件下实现一致的不确定性传播和最优的状态重建。在基于惯性测量单元的应用中，由于其计算效率高且具有分析结构清晰的优势，扩展卡尔曼滤波器被广泛采用；然而，当系统动力学和测量数据表现出强烈的非线性特征时，例如与姿态相关的重力补偿问题，单纯依赖一阶线性化处理就会引入不一致性和偏差。受无迹变换启发的西格玛点方法则提供了一种替代方案，它通过让一组确定性选择的样本在非线性模型中传递，从而为无迹卡尔曼滤波器及相关无迹滤波方法提供了理论基础[21]、[22]、[23]。在刚体姿态和导航问题中的EKF与UKF对比研究往往表明，在非线性旋转动力学条件下，西格玛点公式具有更高的鲁棒性或更准确的估算结果[24]、[25]、[26]、[27]、[28]。不过，大多数此类对比研究都集中在刚体导航和/或那些能够利用外部感知信息的集成系统上，而柔性结构的位移估算则涉及到额外的变形状态和可观测性结构，这些因素可能会从根本上改变滤波器的性能。因此，在本研究中，我们考虑了一种完全不受GPS信号影响的场景，仅使用一个惯性测量单元，不借助位移传感器或其他外部参考，系统地分析这些因素所带来的影响。本文通过将降阶结构建模与非线性贝叶斯滤波相结合，为柔性垂直结构的仅基于惯性测量单元的位移估算建立了一套完整框架。基于模态坐标的降阶模型能够以较少的状态变量来表示分布式的变形情况，这种方式既具有物理意义，又能实现实时估算，同时还能保留结构的主要动力学特征[29]。组件模式和子结构耦合理念则阐述了如何构建并截断这类降阶坐标，而无需保留完整阶数的模型[30]。在风能领域以及塔架动力学研究中，那些明确包含主要弯曲模态自由度的低阶状态空间表示已被广泛应用于控制设计、仿真以及现场测试中[31]、[32]、[33]。最近的研究还将卡尔曼滤波与模态选择以及最优响应重建联系起来，进一步强调了将模态物理特性与概率估计算法相结合的重要性[34]。基于这些原理，我们采用主要的弯曲模态来表示结构变形，从而得到一种低维度但具有物理意义的态空间表达形式。这种方法有效地将结构动力学作为基于物理的先验信息融入到信号重建过程中，使得估算器能够区分真正的结构运动与由噪声引起的伪信号。在该框架下，我们在相同的建模和噪声假设条件下分别开发了EKF和UKF估算器，并对其进行了系统比较，旨在分析在仅基于惯性测量单元且没有GPS信号的条件下，非线性姿态-重力耦合是如何影响位移漂移的。本文档的核心创新并非EKF或UKF算法本身——这两种算法都遵循已有的非线性卡尔曼滤波理论——而是我们提出的一种针对仅基于惯性测量单元的柔性结构估算器，它通过将未建模的激励显式表示为随机潜在强迫状态，从而有效抑制低频漂移。为了在缺乏直接位移观测的情况下进一步抑制低频漂移，我们还研究了基于高斯过程回归的概率校正方法，将其作为一种伪测量手段。在受限或辅助卡尔曼滤波中，伪测量概念早已被广泛应用，其思路是将具有物理意义的约束条件作为额外的测量数据注入系统，以此稳定那些容易发生漂移的状态[35]。在惯性导航领域，零速度更新就是这种基于约束的漂移控制方法的典型示例[36]。高斯过程提供了一种原理上可行的非参数回归框架，它既可以给出均值预测结果，也能提供不确定性度量[37]，此前的研究也已将高斯过程模型整合到贝叶斯滤波流程中，用以应对模型不匹配或观测数据缺失的情况[38]、[39]、[40]。在我们的应用场景中，基于高斯过程的伪测量提供了一种简单且具有不确定性意识的校正机制，它能够补充基于物理的过程模型，有效减轻长期漂移问题。由于高斯过程的性能在很大程度上取决于核函数的设定，因此这一组件在这里被视作一种辅助性的校正策略，而非最终参数分析中所采用的主体估算方法。总体而言，本研究将结构动力学建模、非线性状态估计算法以及概率信号校正技术整合到一个统一的框架之中，用于基于惯性测量单元的位移重建。所提出的方法展示了如何将基于物理的建模技术与先进的信号处理技术相结合，从而提升柔性机械系统位移估算的鲁棒性和准确性。为了明确本研究的创新点，其主要贡献可归纳如下：•我们为柔性垂直结构建立了一种仅基于惯性测量单元的降阶状态空间模型，该模型能够同时估算位移、速度、姿态、惯性偏差以及未知的激励信号。其中模态降阶和卡尔曼滤波技术均为传统方法，而将二者结合起来用于实现受控的、无GPS信号的柔性结构位移估算，则是我们在此提出的特定应用方案。•我们引入了AR(1)型潜在强迫增强机制作为核心的漂移控制手段。这种状态变量能够防止持续存在的低频加速度残差直接被计入位移中，从而使系统进入一个受强迫方差和均值回归参数控制的、具有统计可识别性的稳定状态。•我们在相同的模型、初始化条件以及协方差假设下，对EKF和UKF进行了对照分析，结果表明，在非线性姿态-重力耦合条件下，UKF原本具有的优势并非普遍适用；在所测试的仅基于惯性测量单元且存在潜在强迫的场景中，EKF在各种参数组合下的表现都更为稳健。•我们研究了基于高斯过程伪测量校正以及切换EM+RTS平滑技术，将其作为辅助或离线手段用于漂移校正和不确定性校准，同时阐明了这些方法与核心潜在强迫估算器之间的关系。所提出框架的逻辑结构如图1所示。基础的EKF/UKF估算器构成了整个非线性滤波体系的核心。AR(1)型潜在强迫则是我们提出的核心在线漂移控制机制。高斯过程伪测量则是一种可选的软校正方式，而切换EM+RTS平滑技术则作为一种离线方法，用于学习自适应的强迫信号统计特性，并评估可行的校准方案。目前所提出的单模态垂直结构分析模型应被视为一种初步的、受控的研究方案，而非具有完全通用性的解决方案。同样的状态增强思路可以通过用广义坐标向量替换标量模态坐标，以及为每个建模不足的激励通道添加合适的随机先验，从而扩展到更一般的线性或弱非线性动力系统中。对于多模态结构来说，则需要更多的模态坐标、在惯性测量单元所在位置对应的模态形状参与因子，以及详细的可观测性分析，因为单个惯性测量单元可能无法区分那些间距较近或可观测性较差的模态。这些限制以及相应的扩展方法将在数值分析和结论部分进一步探讨。本文的其余部分结构如下：第2节介绍了结构和测量建模框架，其中包括2.1节中的降阶结构表示方法、2.2节中的惯性测量单元模型，以及2.3节中得出的状态空间表达形式。第3节阐述了非线性状态估计算法，对扩展卡尔曼滤波器和无迹卡尔曼滤波器进行了统一阐述。第4节介绍了作为可选校正机制的高斯过程伪测量方法，并给出了其具体公式和核函数假设。第5节通过数值实验评估了所提框架的性能，并比较了在仅基于惯性测量单元且没有GPS信号的场合下，EKF和UKF两种算法的表现。最后，第6节对全文进行了总结，并提出了未来研究的方向。因此，位移场通过单模截断来近似表示，即x(z,t)≈?(z)q(t)，其中?(z)为EKF和UKF估计量。基于前一节介绍的非线性状态空间模型，估计问题在于递归地近似给定到时间步长k的IMU测量值下的状态向量xk=[qk,q?k,θk,ba,k,bg,k]T的条件分布。在每个采样时刻，估计器首先执行预测步骤，利用结构动力学和陀螺仪测量值来推进状态发展，随后执行更新步骤，将加速度计的测量值纳入考虑。概率漂移校正尽管采用了非线性滤波，但仅依赖IMU的位移估计仍容易受到由累积的建模误差、未建模的激励以及缓慢变化的传感器偏差所引起的低频漂移的影响。尤其是，加速度和姿态估计中的微小残差误差可能会随着时间的积累而演变成显著的位移漂移，即便使用了EKF或UKF也是如此。在缺乏外部测量数据的长时间跨度、无GPS信号的场合，这种效应尤为明显。实验设置与评估方案所有实验均在仿真环境中进行，这样就可以获得真实的位移、速度、姿态和偏差轨迹，从而进行定量评估。除非另有说明，EKF/UKF的比较实验采用60秒的轨迹，采样间隔为Δt=0.01秒（100赫兹）。系统的主导结构频率为fn=0.35赫兹，对应的角频率为ωn=2πfn弧度/秒，阻尼比为ζ=0.01。重力加速度为g=9.81米/秒2。顶部安装的IMU在恒定的旋转速率下进行仿真。结论本文研究了仅依靠IMU对柔性结构进行位移估计的问题，重点探讨了如何理解和减轻由未建模的激励和噪声参数错误所导致的长期漂移问题。通过一系列逐步优化的模型和数值实验，我们证明了位移漂移并非仅仅是参数调整的问题，而是当持续存在的低频动态未被明确建模时所产生的结构性后果。CRediT作者贡献说明王一然：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，方法论，研究，形式分析，数据整理，概念构建。尹焕锡：写作——审阅与编辑，可视化。龚佳琪：写作——审阅与编辑。利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文所述工作的已知财务利益或个人关系。王一然|尹焕锡|龚佳琪