具有粘性摩擦的四自由度转子-定子摩擦系统中非光滑诱导分叉的方法与条件

《European Journal of Mechanics - A/Solids》：Methodology and conditions for a non-smooth induced bifurcation in a four-degree-of-freedom rotor-stator rubbing system with viscous friction

　　•本文提出了一种分析方法，用于预测从周期性无摩擦运动到准周期性部分摩擦运动的非光滑分叉现象。•通过分段线性标准形和庞加莱回归映射，证明了伪焦点及稳定交叉极限环的存在。•成功分析了具有粘性摩擦的四自由度转子-定子摩擦系统的非光滑分叉现象。•阐明了系统参数对响应边界以及部分摩擦运动与全环形摩擦运动共存状态的影响。

引言
在众多工程系统中都会出现由摩擦引起的振动，包括盘式制动器、机床主轴、涡轮叶片中的干摩擦阻尼器以及弦乐器等。在旋转机械中，为追求更高的效率与功率密度，运行间隙逐渐减小，这使得转子与定子之间发生接触的可能性不断增加，尤其是在极端工作条件下或振动抑制措施失效后。因此，了解其非线性行为机制、预测动态响应并避免系统不稳定与故障，对于旋转机械的故障诊断与振动控制具有重要意义。

自Hartog在1930年首次对转子-定子摩擦系统的动力学进行分析以来，由于摩擦力、单侧接触约束、质量不平衡以及随机激励等因素带来的强非线性特性，该领域一直受到力学与工程学界的持续关注（Karpenko等人，2002；Muszynska和Goldman，1995）。人们付出了大量努力来研究Jeffcott型转子模型在摩擦作用下的响应特性。Choy和Padovan在1987年进行了早期的参数研究，揭示了不平衡、刚度、阻尼以及摩擦系数对转子运动轨迹的影响。后续研究在转速-摩擦系数参数平面中系统地绘制出了区分干摩擦引起的自激反向涡旋与其他响应类型的临界频率曲线（Jiang和Ulbrich，2004；Black，1968；Chen和Jiang，2013），并确定反向涡旋通常出现在低转速且摩擦系数较小的情况下（Jiang，2009；Bently等人，2002）。最近，Kumar等人（2026）研究了间隙、阻尼以及摩擦共同作用对转子-定子系统随机响应的影响，而Wang等人（2021a）则在纯滚动假设下为四自由度非光滑模型中的干摩擦反向涡旋推导出了解析解。实验研究进一步阐明了反向涡旋的物理机制（Wilkes等人，2010）。近几十年来，研究人员对各种类型的分段光滑非线性转子-定子摩擦模型的不同动态响应的存在边界进行了广泛研究，相关成果汇总在Chipato等人（2021）、Jiang和Ulbrich（2001）、Wu等人（2025）、Shaw和Holmes（1983）、Thompson和Stewart（1988）、Yang等人（2025）以及Shi等人（2025）的著作中。Shi等人（2025）基于网格化思想，提出了一种考虑二维参数平面上多参数共同作用的共存动力学计算方法，并给出了计算结果。Yuan等人（2025）通过单元映射法进行了全局分析，揭示了转速、螺旋角以及外部载荷波动幅度对吸引子共存与盆演化的影响（Saeed等人，2021）。数值模拟能够揭示包括周期倍增、准周期性甚至混沌在内的丰富动态行为（Saeed等人，2021；Fan等人，2022；Anilkumar和Kartik，2021；Alcorta等人，2023）。这些研究绝大多数都是基于干库仑摩擦模型。

最新研究结果表明（Li等人，2025），当转子-定子接触面并非完全干燥时——这在工程实践中十分常见——摩擦力会显著偏离经典的库仑摩擦模型。这一发现促使人们开始使用更一般的摩擦模型。值得注意的是，当在摩擦模型中引入粘性阻尼后，转子-定子摩擦系统就不再是分段光滑的连续系统，而是在摩擦开始发生的临界点转变为Filippov型非光滑系统。目前，关于Filippov型转子-定子摩擦系统的研究还相当有限。基于Filippov理论，在干摩擦的切换流形上已识别出三种滑动运动，其特征为接触面上相对速度为零（Wang等人，2020；Wang等人，2021b）。正如Li等人（2023）通过数值模拟所显示的，由于引入了粘性摩擦，Filippov型转子-定子摩擦系统在切换流形附近会出现与分段连续系统截然不同的分叉现象。

已有几项研究在分析分段线性光滑系统方面取得了进展。Lenci和Rega对冲击倒立摆系统中的周期性运动、分叉现象及其受激励强度的影响进行了分析，发现了涉及脉冲与冲击之间同步作用的非经典分叉机制（Lenci和Rega，2000；Lenci和Rega，2003）。对于软冲击双线性振荡器，Andreaus等人开发了一种结合Lyapunov系数评估的数值回归映射方法，揭示了系统在周期性与混沌状态之间的多种过渡场景（Andreaus等人，2010）。Habib等人研究了在数字位置控制下的二自由度机械系统的分叉现象，证明即使在中等维度系统中，严格的解析简化仍然是可行的（Habib等人，2014；Habib等人，2013）。他们的研究表明，即便在中等维度系统中，严格的解析简化也是可行的，且能够揭示复杂的动态行为。近年来，非光滑动力系统理论取得了显著进展，尤其是针对右端函数不连续系统的Filippov框架，为非线性系统的严格分叉分析提供了有力工具。目前，关于边界平衡分叉以及由不连续性引发的类Hopf分叉的解析研究主要局限于低维度系统（Leine等人，2000；Bernardo等人，2002；Leine和van Campen，2002；Leine和Nijmeijer，2004；Tang和Champneys，2023；Bhattacharyya等人，2021）。然而，要将这些方法扩展到高维非线性Filippov系统应用中仍面临巨大挑战。另一方面，针对高维分段光滑系统的一般降维方法也仍然缺乏（Jeffrey等人，2022）。正是出于上述不足，本文做出了三项主要贡献。首先，是在高维Filippov框架下明确了具有粘性摩擦的四自由度转子-定子摩擦系统的分叉机制。其次，建立了一种分析框架，用于预测从周期性无摩擦运动到准周期性部分摩擦运动的非光滑分叉现象。第三，将解析预测与直接仿真相结合，量化分析了粘性摩擦及结构参数如何影响分叉边界与共存区间。如表1所示，所提出的机制可视为由不连续性引发的类Hopf分叉，但与经典情形并不完全相同，关键区别在于达到边界平衡后的允许结构。

本文的结构如下：第2节介绍了在惯性坐标系与旋转坐标系下的四自由度分段非线性转子-定子摩擦模型，给出了无量纲控制方程及相应的切换流形。第3节基于Filippov理论，通过坐标变换与庞加莱回归映射分析，推导出了近似解析方法的主要结果。第4节利用上述方法证明了切换流形周围存在伪焦点及交叉极限环。第5节基于解析方法，研究了系统参数对非光滑分叉以及周期性响应与准周期性响应共存状态的影响。第6节给出了本文的主要结论。

模型在惯性坐标系中的表现
本文研究的四自由度转子-定子模型如图1所示。图1(a)展示了带有间隙的转子-定子模型，图1(b)则显示了系统在发生摩擦接触时的侧视图。转子被建模为改进型的Jeffcott转子，即一个质量为mr、偏心率为e的刚性圆盘，安装在一个无质量轴的中点上，该轴由具有有效横向刚度kr的理想轴承支撑，以角速度ω旋转。而定子为一个质量为ms的环形结构。

边界平衡的存在条件
本节将在Ω-μ参数平面上探讨由方程(6)所描述的分段非线性系统中，靠近切换流形Σ处的平衡态特性。负子系统表示RR0区域的向量场，对应于接触侧。令F1W;Ω,μ=0并求解，可得唯一的平衡点Y1?=Ω2(1?Ω2)4ξr2。

折点与伪焦点的存在
如3.2节所述，对于0< /><ω?c的情况，分段线性系统方程(19)不存在允许的平衡点。由于没有平衡点，自然会产生一个问题：在该参数区间内，系统究竟具有何种吸引子？正如本节将要阐述的，答案在于切换流形上存在由伪焦点产生的交叉极限环。也就是说，当旋转速度超过某一临界值时，原始系统方程(2)中就会出现准周期性的部分摩擦运动。

参数对分叉及准周期部分摩擦运动的影响
基于第3节建立的解析框架，从边界平衡的分叉分析中得到的临界速度偏差ω?c可以用来区分性质截然不同的动态状态。在ωl?以下时，负子系统存在一个允许的平衡点，对应于原始系统中的同步无摩擦状态。而在ω∈ωl?,ωl?+ω?c的区间内，两个子系统中都不存在允许的平衡点，系统仅存在稳定的交叉极限环。

结论
本文通过对具有粘性摩擦的四自由度转子-定子摩擦系统所引发的非光滑分叉现象进行了解析与数值相结合的研究。通过将控制方程从惯性参考系转换到旋转参考系，将同步无摩擦运动向准周期性部分摩擦运动的转变重新表述为filippov系统中从固定点向极限环的分叉过程。在此基础上，明确了相关现象的存在条件。

credit作者贡献说明
yidan wang：撰写——初稿、软件应用、方法设计、概念构思。ling hong：验证、形式分析、数据整理。jun jiang：撰写——审稿与编辑、项目监督、资金申请。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

yidan wang | ling hong | jun jiang 参数对分叉及准周期部分摩擦运动的影响 基于第3节建立的解析框架，从边界平衡的分叉分析中得到的临界速度偏差ω?c可以用来区分性质截然不同的动态状态。在ωl?以下时，负子系统存在一个允许的平衡点，对应于原始系统中的同步无摩擦状态。而在ω∈ωl?,ωl?+ω?c的区间内，两个子系统中都不存在允许的平衡点，系统仅存在稳定的交叉极限环。 结论 本文通过对具有粘性摩擦的四自由度转子-定子摩擦系统所引发的非光滑分叉现象进行了解析与数值相结合的研究。通过将控制方程从惯性参考系转换到旋转参考系，将同步无摩擦运动向准周期性部分摩擦运动的转变重新表述为filippov系统中从固定点向极限环的分叉过程。在此基础上，明确了相关现象的存在条件。 credit作者贡献说明 yidan wang：撰写——初稿、软件应用、方法设计、概念构思。ling hong：验证、形式分析、数据整理。jun jiang：撰写——审稿与编辑、项目监督、资金申请。 利益冲突声明 作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。 yidan wang | ling hong | jun>
参数对分叉及准周期部分摩擦运动的影响
基于第3节建立的解析框架，从边界平衡的分叉分析中得到的临界速度偏差ω?c可以用来区分性质截然不同的动态状态。在ωl?以下时，负子系统存在一个允许的平衡点，对应于原始系统中的同步无摩擦状态。而在ω∈ωl?,ωl?+ω?c的区间内，两个子系统中都不存在允许的平衡点，系统仅存在稳定的交叉极限环。

结论
本文通过对具有粘性摩擦的四自由度转子-定子摩擦系统所引发的非光滑分叉现象进行了解析与数值相结合的研究。通过将控制方程从惯性参考系转换到旋转参考系，将同步无摩擦运动向准周期性部分摩擦运动的转变重新表述为filippov系统中从固定点向极限环的分叉过程。在此基础上，明确了相关现象的存在条件。

credit作者贡献说明
yidan wang：撰写——初稿、软件应用、方法设计、概念构思。ling hong：验证、形式分析、数据整理。jun jiang：撰写——审稿与编辑、项目监督、资金申请。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

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