采用切平面法结合外推技术对表面边缘的场强因子进行评估

《International Journal of Solids and Structures》：Evaluation of field intensity factors at surface edge by tangent plane approach added with extrapolation technique

　　摘要：开放表面边缘的高强度物理场会引发各种不利甚至危险的效应，如电击穿、侵蚀、静态断裂、疲劳等。这类场的强度可通过场强度因子来表征，尤其是断裂力学中广泛使用的应力强度因子。迄今为止，场强度因子主要针对二维问题进行计算。在三维情况下，仅对平面裂纹和轴对称球形帽状裂纹的场强度因子有研究结果。要将该方法扩展到任意曲线表面，却因求解超奇异边界积分方程的复杂性而受阻，而这些方程的解决定了边缘附近的场强，进而决定场强度因子。近期，由于采用了切平面方法，这一难题得以解决，从而为计算任意形状表面边缘的场强度因子打开了大门。本文便利用这一新方法，旨在开发一种高效算法，以精确计算曲线表面边缘的场强度因子。我们通过两项改进实现了目标：首先，对切平面方法进行改进，使其能够考虑边缘点处密度的单项式渐近行为，从而提高通过求解边界积分方程得到的密度值的精度；其次，对改进后的解采用特定的外推公式进行后处理，以得出对应的场强度因子，相比传统使用节点密度值的方法，其精度更高。通过对二维和三维基准问题的详细分析，证明了密度值和场强度因子精度的提升。与此同时，定义（1）假定考虑了密度ΔU在表面边缘附近的单项式行为，尤其是平方根形式（α=1/2）。正如众所周知的那样（Aliabadi, 2002；Panasyuk等人，1977年；Mogilevskaya, 1996年；Linkov, 2002年），考虑真实的渐近行为能显著提高ΔU的精度，进而提升SIFs的精确度。在平方根渐近情况下，有两种实现方式（Aliabadi, 2002）。其一是在保持ΔU的传统二次近似的同时，将中心节点移至四分点位置。Henshell和Shaw提出了这一方法（Linkov等人，2025年），用于有限元方法，以避免在密度近似中明确包含单项式因子时所带来的积分复杂问题。具有移动节点位置的元素被称为四分点元素。Henshell和Shaw（1975年）以及Cruse和Wilson（1977年）将四分点元素方法应用于边界元方法，Smith（1988年）对其进行了改进。四分点技术在实际计算中被广泛且成功地应用，尤其适用于二维问题。然而，在三维应用中，四分点元素存在几何限制，Aliabadi（2002年，第351页）对此有详细阐述。这一限制“使得四分点元素不适用于一般裂纹问题的分析”。还需注意的是，四分点元素仅适用于平方根渐近情况。将其扩展到非平方根单项式（α≠1/2）的情况并不明显，目前也尚未得到发展。另一种方法是将单项式因子sα直接纳入密度近似中。这种方法在边界元方法领域也被广泛应用（参见Aliabadi, 2002年以及本专著第八章的相关参考文献）。与有限元不同，对于边界元而言，将sα纳入密度近似并不会给积分带来额外困难。该操作仅需在超奇异被积函数中加上乘数sα（0<α<1）。因此，当拥有如tpa这样的通用fp积分方法时，将单项式因子直接纳入形式函数是提升表面边缘附近密度δu近似精度的自然途径。显然，对于我们的目标而言，这条路径更为合适。不过如前所述，tpa最初是为边界元固有坐标系中密度的传统多项式近似（fedelinski等人，1995年）而设计的。通常情况下（aliabadi, 2002年；epperson, 2013年；lachat和watson, 1976年；beer等人，2008年），这种近似的阶数不超过三阶。在许多情况下，其阶数为零（chen和hong, 1999年；nikolskiy等人，2016年；crouch和starfield, 1983年）。因此，我们的首要任务是将tpa扩展为能够包含给定阶数传统多项式前的单项式因子的密度近似形式。这一任务可通过运用tpa的核心原理来解决。tpa原本是通过在以配置点为中心的小标准区域内进行解析fp积分来实现的。我们证明，对于势能问题，考虑单项式因子只需在原始tpa的项上添加一个简单的修正项即可。而对于弹性问题，则可推导出三个形式的简单修正项。元素其余部分的积分则可通过高斯求积法则完成，因此考虑单项式因子其实十分简单。对于涉及积分中包含单项式因子的近边缘元素的跨对角线影响系数，其积分是合理的，可使用常规的高斯求积法则。我们发现，与原始tpa计算的fp积分的主要项相比，这些修正项的贡献相对较小。尽管如此，由于fp积分的特殊性，将它们纳入改进后的tpa仍能显著提升精度。近边缘节点处密度的相对误差至少可降低六倍。这便解决了第一个任务。完成该任务后，我们开始关注现有文献未明确提及的fif评估中的重要方面。具体而言，虽然准确的密度δuj值必不可少，但仅凭它还不足以实现fif的精确评估。为此，我们需要知道，近边缘节点xj=x(sj)处的数值δuj=δu(x(sj))可用于求解边缘点xe处实际fif kxe的近似值kpj=cδujsjα（kpj≈kxe）。这些kpj值是h-bie解δu为fif估算提供的唯一参数。鉴于其重要性，将其称为“伪fif”是合理的。定义（2）给出了一个虽看似简单但实际上很有用的结论：伪fif的相对误差等于密度的相对误差。根据公式（1），当s=0时，δu=0。因此，当sj→0时，数值计算得到的δuj的相对误差会趋于无穷大。相应地，当sj→0时，伪fifs的相对误差也会趋于无穷大（除非在已知δu与s之间解析关系的特殊情况下通过解析方法处理极限值）。由此可见，尽管通过考虑单项式渐近行为提升了密度的精度，但这仍不足以实现fif的精确评估。这一情况引出了第二个需要解决的任务，以便实现fif的准确评估。假设我们在距离表面边缘sj处的m个不同点上拥有势能不连续性δuj的精确值（j=1,..,m），那么我们就拥有了这些点上m个伪fif kpj的精确值。问题在于：如何从中提取出实际fif的精确值？这个问题的答案并非显而易见。我们可以通过回顾fif概念的起源，并运用muskhelishvili的若干基本理论成果（adachi等人，2007年，第四章第29-33节；第十章第79节）来解决这一问题，这些成果与渐近行为（1）相关。它们为依据该理论推导出阶数为m-1的数学上合理的外推公式提供了依据。零阶（m=1）外推可通过公式（2）实现，此时将节点x1视为“离裂纹前沿最远的节点”，它对应于常用的“一点位移公式”（aliabadi, 2002年，第356页）。我们对具有精确解的典型案例进行的研究表明，二阶（m=3）外推在精度以及能否使用远离边缘的节点方面均优于零阶和一阶外推。这便解决了第二个任务。最后，通过结合上述三项内容，我们实现了既定目标。前两项涉及h-bie求解阶段，分别是：（i）在密度近似中明确考虑单项式渐近行为；（ii）对tpa进行适当修改。第三项则属于后处理阶段，包括：（iii）阶数为m-1的外推公式，其中m为所使用的密度节点值的数量。评论：在后续讨论中，我们不会涉及那些虽与fif密切相关，但要么已被解决，要么超出本文主要研究目标的议题。具体而言，就是方程（1）中的指数包含非零虚部iβ的情况，这种情况下除了实部α对应的渐近行为外，还会出现振荡渐近行为。特别是在两种杨氏模量差异极大的弹性介质界面处的裂纹尖端，就会出现这种振荡现象。然而，在所有研究过的此类案例中（rybarska-rusinek, 2019年；muskhelishvili, 1953年；muskhelishvili, 1977年），虚部的绝对值通常远小于实部的绝对值（β/α<1）。根据muskhelishvili（1953年）第114a节的论述，这意味着与由实部α产生的主导渐近行为区域相比，振荡区域极为微小。因此，在实际应用中，可认为该指数为实数。此外，渐近行为（1）通常对应于特征行列式的唯一根（rybarska-rusinek, 2019年；rybarska-rusinek, 2019年；muskhelishvili, 1977年），因此只有一个特征函数，也就只有一个fif。虽然重根导致两个特征函数、进而产生两个fif的情况在断裂力学中具有重要意义，但它并不适用于我们当前的研究主题，因为这类情况无法为解决h-bie和外推fif提供新的方法。因此，为简化问题，我们只研究具有唯一根和单个fif的情境，以及势能问题。我们还为弹性问题提供了相应的修正项。出于类似原因，我们仅考虑具有精确解析解的非平面几何形态，来研究改进措施的精度及其特性。这些几何形态包括作为极限情况的直线裂纹和硬币形裂纹。如有需要，其他众多平面几何形态的对比研究可留待日后开展。对于涉及裂纹弯曲处和裂纹边缘拐角的问题，aliabadi（2002年）中讨论的建模方法同样适用于改进后的tpa和外推得到的fif。本文的结构如下：首先介绍用于推导fif外推公式的核心理论基础，这些理论是通用的，与用于求解势能/位移不连续性的具体数值方法无关。第二部分指出，边缘点处fif的定义依赖于两个条件：（i）平面条件；（ii）密度具有由单项式因子与解析函数相乘构成的特定渐近行为。第一项要求使用合适的近边缘网格，第二项则要求运用所推导出的外推公式。对比零阶、一阶和二阶外推所得的fif精度可知，二阶外推在精度和适用范围方面均更优。第三部分介绍了如何将tpa调整为能够适应单项式渐近行为的形式。文中指出，如果不考虑渐近行为，原始tpa在近边缘元素上的精度会下降，而通过引入修正项来考虑渐近行为后，改进型的tpa便可恢复其精度。文中还给出了三维拉普拉斯方程和纳维方程对应的修正项的简单表达式。第四部分则分析了整体解δu及其对应的fif的精度。我们选择了两个存在基准解的三维问题进行研究。第一个问题是关于开口圆柱面的三维势能问题，该圆柱面的圆形弧形中间截面处于二维解所描述的状态。这是目前唯一一个其截面存在精确解析解的非平面开口表面。该解为评估在不同物理条件下——即小夹角和大夹角情况下——密度和fif的精度提供了基准值。文中指出，使用改进后的tpa计算近边缘元素的自影响系数，能够高效且精确地求解h-bie，同时显著提升近边缘节点处密度δu的精度。这些节点处的数值可通过所推导的外推公式进行后处理，从而从对应于δu的伪fif中提取出实际的fif。通过比较小夹角和大夹角情况下外推得到的fif值与其解析值，可以发现，尽管二阶外推对密度近似的变动较为敏感，但它仍能显著提升边缘点处fif的精度。作为第二个示例，我们研究了弹性介质中硬币形裂纹的三维问题。该问题在初始的h-bie形式和几何结构上都与第一种问题不同。由于其独特的几何形状，该问题有助于研究网格依赖性以及精度对所用参数的敏感性。研究结果表明，解决方案和伪sifs对是否考虑单项式渐近行为极为敏感。这一例子再次体现了改进后的tpa在精确计算fp积分方面的重要性。第五部分给出了简要总结。总体考虑在本节中，我们探讨了将fif/sif概念应用于三维空间中开放曲线面的一般情形。这些概念源于对物理场在表面边缘附近渐近行为的分析。 2002年；epperson, 2013年；lachat和watson, 1976年；beer等人，2008年），这种近似的阶数不超过三阶。在许多情况下，其阶数为零（chen和hong, 1999年；nikolskiy等人，2016年；crouch和starfield, 1983年）。因此，我们的首要任务是将tpa扩展为能够包含给定阶数传统多项式前的单项式因子的密度近似形式。这一任务可通过运用tpa的核心原理来解决。tpa原本是通过在以配置点为中心的小标准区域内进行解析fp积分来实现的。我们证明，对于势能问题，考虑单项式因子只需在原始tpa的项上添加一个简单的修正项即可。而对于弹性问题，则可推导出三个形式的简单修正项。元素其余部分的积分则可通过高斯求积法则完成，因此考虑单项式因子其实十分简单。对于涉及积分中包含单项式因子的近边缘元素的跨对角线影响系数，其积分是合理的，可使用常规的高斯求积法则。我们发现，与原始tpa计算的fp积分的主要项相比，这些修正项的贡献相对较小。尽管如此，由于fp积分的特殊性，将它们纳入改进后的tpa仍能显著提升精度。近边缘节点处密度的相对误差至少可降低六倍。这便解决了第一个任务。完成该任务后，我们开始关注现有文献未明确提及的fif评估中的重要方面。具体而言，虽然准确的密度δuj值必不可少，但仅凭它还不足以实现fif的精确评估。为此，我们需要知道，近边缘节点xj=x(sj)处的数值ΔUj=ΔU(x(sj))可用于求解边缘点xe处实际FIF kxe的近似值kpj=CΔUjsjα（KPj≈Kxe）。这些KPj值是H-BIE解ΔU为FIF估算提供的唯一参数。鉴于其重要性，将其称为“伪FIF”是合理的。定义（2）给出了一个虽看似简单但实际上很有用的结论：伪FIF的相对误差等于密度的相对误差。根据公式（1），当s=0时，ΔU=0。因此，当sj→0时，数值计算得到的ΔUj的相对误差会趋于无穷大。相应地，当sj→0时，伪FIFs的相对误差也会趋于无穷大（除非在已知ΔU与s之间解析关系的特殊情况下通过解析方法处理极限值）。由此可见，尽管通过考虑单项式渐近行为提升了密度的精度，但这仍不足以实现FIF的精确评估。这一情况引出了第二个需要解决的任务，以便实现FIF的准确评估。假设我们在距离表面边缘sj处的m个不同点上拥有势能不连续性ΔUj的精确值（j=1,..,m），那么我们就拥有了这些点上m个伪FIF kpj的精确值。问题在于：如何从中提取出实际fif的精确值？这个问题的答案并非显而易见。我们可以通过回顾fif概念的起源，并运用muskhelishvili的若干基本理论成果（adachi等人，2007年，第四章第29-33节；第十章第79节）来解决这一问题，这些成果与渐近行为（1）相关。它们为依据该理论推导出阶数为m-1的数学上合理的外推公式提供了依据。零阶（m=1）外推可通过公式（2）实现，此时将节点x1视为“离裂纹前沿最远的节点”，它对应于常用的“一点位移公式”（Aliabadi, 2002年，第356页）。我们对具有精确解的典型案例进行的研究表明，二阶（m=3）外推在精度以及能否使用远离边缘的节点方面均优于零阶和一阶外推。这便解决了第二个任务。最后，通过结合上述三项内容，我们实现了既定目标。前两项涉及H-BIE求解阶段，分别是：（i）在密度近似中明确考虑单项式渐近行为；（ii）对TPA进行适当修改。第三项则属于后处理阶段，包括：（iii）阶数为m-1的外推公式，其中m为所使用的密度节点值的数量。评论：在后续讨论中，我们不会涉及那些虽与FIF密切相关，但要么已被解决，要么超出本文主要研究目标的议题。具体而言，就是方程（1）中的指数包含非零虚部iβ的情况，这种情况下除了实部α对应的渐近行为外，还会出现振荡渐近行为。特别是在两种杨氏模量差异极大的弹性介质界面处的裂纹尖端，就会出现这种振荡现象。然而，在所有研究过的此类案例中（Rybarska-Rusinek, 2019年；muskhelishvili, 1953年；muskhelishvili, 1977年），虚部的绝对值通常远小于实部的绝对值（β α<1）。根据muskhelishvili（1953年）第114a节的论述，这意味着与由实部α产生的主导渐近行为区域相比，振荡区域极为微小。因此，在实际应用中，可认为该指数为实数。此外，渐近行为（1）通常对应于特征行列式的唯一根（rybarska-rusinek, 2019年；rybarska-rusinek, 2019年；muskhelishvili, 1977年），因此只有一个特征函数，也就只有一个fif。虽然重根导致两个特征函数、进而产生两个fif的情况在断裂力学中具有重要意义，但它并不适用于我们当前的研究主题，因为这类情况无法为解决h-bie和外推fif提供新的方法。因此，为简化问题，我们只研究具有唯一根和单个fif的情境，以及势能问题。我们还为弹性问题提供了相应的修正项。出于类似原因，我们仅考虑具有精确解析解的非平面几何形态，来研究改进措施的精度及其特性。这些几何形态包括作为极限情况的直线裂纹和硬币形裂纹。如有需要，其他众多平面几何形态的对比研究可留待日后开展。对于涉及裂纹弯曲处和裂纹边缘拐角的问题，aliabadi（2002年）中讨论的建模方法同样适用于改进后的tpa和外推得到的fif。本文的结构如下：首先介绍用于推导fif外推公式的核心理论基础，这些理论是通用的，与用于求解势能 位移不连续性的具体数值方法无关。第二部分指出，边缘点处fif的定义依赖于两个条件：（i）平面条件；（ii）密度具有由单项式因子与解析函数相乘构成的特定渐近行为。第一项要求使用合适的近边缘网格，第二项则要求运用所推导出的外推公式。对比零阶、一阶和二阶外推所得的fif精度可知，二阶外推在精度和适用范围方面均更优。第三部分介绍了如何将tpa调整为能够适应单项式渐近行为的形式。文中指出，如果不考虑渐近行为，原始tpa在近边缘元素上的精度会下降，而通过引入修正项来考虑渐近行为后，改进型的tpa便可恢复其精度。文中还给出了三维拉普拉斯方程和纳维方程对应的修正项的简单表达式。第四部分则分析了整体解δu及其对应的fif的精度。我们选择了两个存在基准解的三维问题进行研究。第一个问题是关于开口圆柱面的三维势能问题，该圆柱面的圆形弧形中间截面处于二维解所描述的状态。这是目前唯一一个其截面存在精确解析解的非平面开口表面。该解为评估在不同物理条件下——即小夹角和大夹角情况下——密度和fif的精度提供了基准值。文中指出，使用改进后的tpa计算近边缘元素的自影响系数，能够高效且精确地求解h-bie，同时显著提升近边缘节点处密度δu的精度。这些节点处的数值可通过所推导的外推公式进行后处理，从而从对应于δu的伪fif中提取出实际的fif。通过比较小夹角和大夹角情况下外推得到的fif值与其解析值，可以发现，尽管二阶外推对密度近似的变动较为敏感，但它仍能显著提升边缘点处fif的精度。作为第二个示例，我们研究了弹性介质中硬币形裂纹的三维问题。该问题在初始的h-bie形式和几何结构上都与第一种问题不同。由于其独特的几何形状，该问题有助于研究网格依赖性以及精度对所用参数的敏感性。研究结果表明，解决方案和伪sifs对是否考虑单项式渐近行为极为敏感。这一例子再次体现了改进后的tpa在精确计算fp积分方面的重要性。第五部分给出了简要总结。总体考虑在本节中，我们探讨了将fif>通常，边缘是一条具有非零曲率和非零扭率的曲线。问题在于：其渐近行为是否与二维中直线裂纹的情况有所不同。直观上来看，在位于足够小的区域内的边缘点附近，似乎……对多项式密度下的有限部分（FP，Hadamard）积分的求解通过解离散化的H-BIE来实现。其核函数（奇异核和超奇异核）取决于积分点与场点之间的距离，这种依赖关系由经典的解析公式确定（Linkov等人，2026年）。通常，这些密度会在边界元素上通过拉格朗日型形式函数的线性组合来近似表示，而形式函数前的系数则代表了密度的节点值（Lachat和……通过添加修正后的TPA并结合外推法，数值上展示了精度提升的情况。关于H-BIE解的精度（第3节）以及通过外推法评估FIFs的方法（第2节）的建议，都是基于一般且严谨的数学考量得出的。通过误差分析可以确认这些建议的准确性。因此，毫无疑问，在实际计算中使用这些方法有助于提高密度和FIFs的精度。不过，人们也想知道这些建议所带来的精度提升程度究竟有多大？总结本文的动机、目标及研究成果如下。本文的写作动机源于TPA在处理曲面上的H-BIE问题时所带来的新可能性。我们的主要目标是改进TPA，以便能够准确且高效地计算开放曲面边缘处的FIFs，这一目标是通过在边界元方法的各个阶段进行优化来实现的。在离散化阶段，计算表面边缘某点的FIF值需要使用特定的网格结构。CRediT作者贡献说明Aleksandr Linkov：撰写——初稿、指导、方法论、研究、形式分析、数据整理、概念构建。Ewa Rejwer-Kosińska：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、软件、研究、形式分析。Liliana Rybarska-Rusinek：撰写——审阅与编辑、验证、软件、方法论、研究、形式分析。未引用参考文献Kushch等人，2008年；Linkov，1975年；Jaworski等人，2016年；Petinov，2018年；Linkov和Koshelev，2006年；Hartranft和Sih，1977年；Kühnel，2002年；Seweryn和Mróz，1995年；Linkov等人，2026年；Chen等人，2020年。利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文所述工作的已知财务利益或个人关系。Aleksandr Linkov|Ewa Rejwer-Kosińska|Liliana Rybarska-Rusinek