基于神经模糊网络的薄壳分析计算框架

《International Journal of Solids and Structures》：A computational framework for thin-shell analysis based on neuro-fuzzy networks

　　摘要：薄壳分析是计算力学中一个经典且长期存在的挑战。尽管现有的数值方法——如有限元法、无网格方法，以及近期的物理信息神经网络——各自具有独特优势，但它们通常基于不同的计算范式，这限制了其在从光滑壳体到不连续或折叠几何结构等不同类型问题中的适用性。受Takagi-Sugeno神经模糊网络启发，本文提出了一种用于基于Kirchhoff-Love理论对薄壳进行几何非线性分析的计算框架。该方法建立在“整体分割”框架之下，通过局部模型与标准化有效性函数的组合来构建位移场，从而具备无限的阶数可微性以及灵活的近似空间。通过调整相邻有效性函数之间的重叠程度，该公式能够在同一框架内实现从局部分段描述到类似无网格的基函数叠加的连续过渡。与传统的移动最小二乘近似法相比，该方法采用更灵活的局部近似模型，在保持相同全局自由度数量的情况下实现更高精度，同时在适当参数设置下还需更少的计算时间。此外，该公式还可以在物理信息神经网络常用的优化框架下进行解释，为其数值实现提供了更多灵活性。通过悬臂板、圆柱壳以及剪纸结构等若干基准问题验证，该方法在位移、应变能和应力结果方面与参考解吻合良好。初步的超参数研究进一步展示了近似精度与计算效率之间的权衡关系。虽然目前仍处于发展初期，但该框架在位移近似和求解策略方面都带来了更大的灵活性，为薄壳分析计算方法的进一步发展提供了有益视角。

引言：薄壳结构因其高表面积与厚度比而在航空航天工程（Ren等人，2024）、建筑设计（Vatandoost等人，2024）以及柔性电子学（Liu等人，1979）等诸多先进工程领域中发挥着重要作用。受折纸（Liu等人，2023）和剪纸艺术（Hong等人，2022）启发的最新创新极大地拓展了这类结构的设计空间，使得通过复杂的折叠和切割图案实现可编程的机械响应成为可能。在薄壳结构分析中，一个核心挑战在于需要准确模拟其高度非线性的变形行为，尤其是大变形情况，因为这些因素会显著影响结构的性能与功能可靠性。尽管传统的数值技术——如有限元法（Wang等人，2026）和有限差分法（Agrawal等人，2024）——能够提供可靠且稳健的解决方案，但它们往往受到精度、连续性及计算效率之间相互制约的困扰。而近期机器学习技术的快速发展则为这一领域带来了新的变革，它所带来的数据驱动和物理信息引导的方法提升了建模的灵活性与泛化能力，从而在薄壳结构分析中弥补了传统方法的不足。

传统的有限元方法通常基于C0连续性进行构建，这与要求位移场具有C1连续性才能准确描述弯曲行为而不引入旋转自由度的Kirchhoff-Love理论存在根本性冲突（Wang等人，2023）。为克服这一限制，人们提出了多种C1连续的有限元格式，包括使用高阶形函数（Beheshti，2018；Areias等人，2005），以及通过细分技术实现的光滑表面表示方法（Cirak等人，2000；Cirak和Ortiz，2001）。尽管这些方法在数学框架和实现策略上有所不同，但它们的目标都是构建在单元边界处具有连续一阶导数的位移场，从而实现薄壳行为的精确模拟。然而，这种更高连续性往往要以更高的计算复杂度和实现成本为代价，因此人们一直在寻求更为灵活高效的公式。绝对节点坐标格式（ANCF）在这方面提供了一种颇具吸引力的替代方案（Lei等人，2024；Liu等人，2013）。与传统依赖旋转参数的有限元方法不同，ANCF利用全局参考系中的位置向量及其空间梯度来定义每个节点的广义坐标。这种固有的结构天然满足C1连续性要求，非常适合处理大变形问题以及需要对薄壳结构进行几何精确描述的情况。此外，任何材料点的位置向量都以全局坐标表示，这使得控制方程中的质量矩阵保持恒定，且无需显式出现离心力和科里奥利力项。这些特点使得ANCF在非线性动力学分析中具有显著优势，能为模拟经历复杂运动和变形的薄壳结构提供强大而高效的框架。

无网格方法因能够在无需传统网格划分所带来的拓扑约束的情况下，在物理域和参数域中无缝运行而备受关注。这类方法通过分布式的场节点而非固定的单元网格来实现计算，只需通过插入节点即可实现局部精细化处理，因此在处理复杂几何形状、大变形或不连续性问题时具有极高的灵活性。目前已有多种著名的无网格框架被广泛研究。平滑粒子流体动力学（SPH）在流体动力学领域备受推崇，因为它无需预先定义网格结构，就能有效处理大变形和不连续流动问题（Bagheri等人，2024）。无单元Galerkin方法则通过移动最小二乘近似来实现高精度，因此适用于静态和动态断裂问题以及复杂的非线性变形场景（Lone等人，2023）。再生核粒子方法则在类似概念的基础上，实现了场表示的高阶连续性和适应性，从而拓宽了其在工程中的应用范围（Lu和Nie，2022）。等几何分析则通过使用非均匀有理B样条作为基函数，将计算分析与几何建模相结合，既保证了几何形状的精确表示，又便于进行高精度模拟（Wang等人，2023；Luo等人，2016；Ambati等人，2018）。与传统的有限元方法相比，无网格技术在适应性方面具有明显优势，尤其是在处理裂纹萌生和扩展等拓扑变化问题时，无需重新建网。它们能够构建光滑的高阶形函数，这一特性使其特别适合于对连续性和几何精度要求极高的薄壳分析领域（Luo等人，2016；Nguyen-Thanh等人，2015；Kiendl等人，2009）。

近年来，机器学习的进步，尤其是深度学习的兴起，为解决复杂的非线性系统问题提供了强大工具，从而为传统计算力学注入了新活力（Sukumar和Acharya，2025；Brunton和Kutz，2024）。在这些发展中，物理信息神经网络作为一种将数据驱动学习与传统基于物理的建模相结合的极具前景的框架而崭露头角（Karniadakis等人，2021；Samaniego等人，2020）。与传统仅依赖数据的机器学习模型不同，物理信息神经网络直接将通常以偏微分方程形式表达的物理定律纳入训练过程。这使它们不仅能执行预测、建模和从数据中识别参数等传统任务，还能作为求解由偏微分方程描述的正向问题和逆向问题的通用工具。物理信息神经网络的独特优势就在于它兼具这两种能力：既能吸收稀疏或噪声较大的数据，又能确保物理一致性，从而为各种类型的问题提供稳健且可解释的解决方案（Chen等人，2021）。其有效性已在流体动力学（Raissi等人，1979）、地下传输问题（He等人，2020）以及电力系统（Huang和Wang，2023）等诸多领域得到证明，使其成为解决数据和物理交叉领域复杂问题的多功能工具。尤其值得一提的是，物理信息神经网络也被应用于薄壳问题，在模拟几何非线性变形方面取得了令人满意的结果（Bastek和Kochmann，2023）。

综上所述，薄壳结构的数值分析已沿着三条截然不同但都已成熟的方法路径不断发展。具有完善框架和分段近似特性的有限元法依然是工程实践中的核心手段。无网格方法则通过全局或局部基函数的叠加来规避复杂的网格划分难题。与此同时，物理信息神经网络这一新兴框架则通过将现代优化算法与自动微分技术无缝结合，为求解偏微分方程提供了全新思路。尽管每种方法在其应用领域都表现优异，但它们往往被视为相互独立的孤立技术。面对从光滑大变形壳体到具有几何不连续性（如折纸/剪纸结构）或高度非线性行为（如布料模拟）的各种薄壳问题，分析人员必须在计算效率、实现复杂度以及解决方案精度之间进行权衡。这种碎片化的状况凸显出亟需一种统一、灵活且可解释的计算框架，以便将传统数值方法的优点与现代机器学习理念有机结合。

基于这一架构，本文提出的方法并未将神经模糊网络主要视为一种机器学习模型，而是利用其“整体分割”结构，通过局部近似模型与标准化有效性函数的组合来构建位移场。由此形成的公式允许通过选择和安排有效性函数、确定局部模型的形式以及选择数值求解策略来控制其近似特性，同时还能与传统的基于刚度矩阵的公式以及基于优化的方法相兼容。在本研究考虑的典型实现中，采用了高斯型有效性函数和多项式形式的局部模型。更一般而言，这些组件的可配置性使得可以根据不同薄壳问题的需求来定制相应的近似方案，无论是处理发生大变形的光滑壳体，还是包含几何不连续性的结构。

为应对这些挑战，本文提出了一种受Takagi–Sugeno神经模糊网络启发的计算框架，用于基于Kirchhoff-Love理论对薄壳进行几何非线性分析。神经模糊网络是一类独特的混合模型，它结合了模糊逻辑的可解释性与神经网络的近似能力（Garud等人，2021），在需要兼顾适应性与透明度的应用中取得了显著成效（Liu等人，2019；Liu等人，2023）。基于这一架构，本文提出的方法并未将神经模糊网络主要视为机器学习模型，而是利用其“整体分割”结构，通过局部近似模型与标准化有效性函数的组合来构建位移场。由此形成的公式允许通过选择和安排有效性函数以及确定局部模型的形式来控制其近似特性，同时还能与传统的基于刚度矩阵的公式以及基于优化的方法相兼容。在本研究考虑的典型实现中，采用了高斯型有效性函数和多项式形式的局部模型。更一般而言，这些组件的可配置性使得可以根据不同薄壳问题的需求来定制相应的近似方案，无论是处理发生大变形的光滑壳体，还是包含几何不连续性的结构。

本文的其余部分结构如下：第2节介绍所提出的神经模糊网络的架构及其基本原理。第3节回顾Kirchhoff–Love薄壳理论，并阐述用于薄壳结构离散化的策略。第4节通过经典的基准问题验证所提出的方法，并进一步将其应用于一种受剪纸艺术启发的结构，以展示其在处理复杂几何形状时的有效性。第5节探讨超参数优化在提升网络性能和精度方面的作用。第6节将所提出的方法扩展到物理信息神经网络框架之中。最后，第7节对本文进行总结，阐述其主要贡献并探讨未来的研究方向。

片段摘录：

神经模糊网络近似：薄壳结构的位移场可通过神经模糊网络进行近似表示：
xξ1,ξ2=∑i=1NΦiξ1,ξ2xi，
其中xi和Φi·分别代表第i个神经元的局部模型和有效性函数。整个网络包含N个神经元。有效性函数通过∑i=1NΦiξ1,ξ2=1进行归一化处理，这一做法确保了所提公式满足“整体分割”性质（Babu?ka和Melenk，1997），从而使位移场能够以加权形式表示出来。

薄壳理论：所提出的具有可配置架构的神经模糊网络可作为一种通用函数逼近器。要将其应用于薄壳分析，就必须让这种逼近器能够拟合由Kirchhoff–Love薄壳理论所描述的符合物理规律的位移场。本节剩余部分将详细介绍这一经典理论的核心组成部分，包括膜应变和弯曲应变的精确运动学定义、相应的本构关系等等。

数值算例：在本节中，我们首先通过一系列经典的薄壳基准问题来评估所提出的基于神经模糊网络的方法（Sze等人，2004），并将我们的计算结果与使用传统有限元方法得到的结果进行比较，以此来验证该方法的准确性和有效性。我们还将该方法扩展到受剪纸艺术启发的结构上，证明了其在处理存在切割等不连续性的薄壳问题时的优越性能。关于超参数的讨论在本节中，我们通过重新分析第4.1节中提到的受端向力作用的悬臂板示例，来研究关键超参数对所提出的基于神经模糊网络的方法性能的影响。具体而言，我们考察了三种不同的配置，这些配置在神经元数量和高斯有效性函数的标准差方面有所差异。仿真结果表明，在所有配置下，整体误差水平都保持较低。向PINN框架的扩展在前面的章节中，解决方案是基于刚度矩阵和残余力的计算，严格遵循有限元法和无网格方法的经典思路。然而，所提出的神经模糊框架并不局限于这种形式。由于其完全可微的分层结构和与网格无关的架构，该方法可以自然地扩展到PINN框架中。在这种替代方法中，位移是通过……得出的。结论本研究提出了一种受Takagi–Sugeno神经模糊网络启发的计算框架，用于基于Kirchhoff-Love理论对薄壳结构进行几何非线性分析。该框架建立在“单位分割”理念之上，通过结合局部模型与标准化的有效性函数来构建位移近似值，从而得到平滑且高度可微的近似结果，同时在其公式设计上保持了极大的灵活性。CRediT作者贡献说明刘祖林：撰写——初稿、可视化、方法论、正式分析、概念构思。方鸿斌：撰写——审阅与编辑、验证、监督、资金获取。徐健：监督、项目管理、资金获取。利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文所述工作的已知财务利益或个人关系。致谢本研究得到了中国国家自然科学基金委员会的支持，项目编号为12272096和12532002，以及上海基础研究试点计划——复旦大学21TQ1400100-22TQ009项目的资助。刘祖林|方鸿斌|徐健