利用时变混合Copula方法估算代际流动性

《Journal of Economic Behavior & Organization》：Estimating intergenerational mobility via a time-varying mixed copula method

　　摘要：本文研究了1987年至2021年间美国不同出生群体间的代际收入依赖关系演变情况。我们采用随时间变化的混合Copula模型，该模型结合了Clayton、Gumbel和Frank Copula函数，其权重和依赖参数会随群体年份平滑变化，以此来估算父母与子女永久收入之间的完整联合依赖结构。代际固化程度则通过观测到的联合分布与独立性基准之间的标准化Hellinger距离来衡量。这一指标在20世纪90年代保持稳定，但在2000年后急剧上升，到2010年代时几乎增长了两倍。Copula分解表明，这种上升与上尾部分的加剧有关：用于衡量高收入家庭财富持续性 的Gumbel Copula权重显著上升，而用于衡量下尾部分持续性的Clayton Copula系数则没有明显趋势，这意味着下尾部分的持续性并未增强。 subgroup分析显示，群体内部的等级依赖关系存在差异，其中西部的上升趋势尤为明显。

引言：机会平等这一原则认为，一个人的经济成功应源于其才能和努力，而非出身背景，它是市场经济中公共政策讨论的基石。判断这一原则在实践中是否得到体现的一个关键实证指标就是代际收入流动性，它用来衡量子女收入在统计上与其父母收入的独立程度。在流动性较高的社会中，父母收入对子女命运的预测能力较弱，各代人的相对经济地位较为流动。而在流动性较低的社会中，家庭背景对个人在收入分配中的位置有着更强的影响，从而导致代际间差距的持续存在。美国长期以来被视为“机会之地”，人们秉持“美国梦”的理念，相信只要努力奋斗，就能超越父母的经济成就（Samuel, 2012）。然而，越来越多的实证证据对此观点提出了质疑。Chetty等人（2014b）和Corak（2013）指出，美国的代际收入流动性相比其他发达国家，如加拿大和北欧国家，要低得多。这些研究结果揭示了导致代际间经济差距持续存在的障碍（Chetty等人，2014a）。Chetty等人（2017）估计，子女收入超过父母收入的比例——即绝对向上流动性的指标——从1940年出生的群体的92%下降到1984年出生群体的50%。这一下降是由于GDP增长放缓以及经济收益分配日益不均所致。这些发现引出了一个重要问题：父母与子女收入之间的依赖关系是在整个收入分布范围内均匀加剧的，还是仅集中在某些特定群体，比如处于高收入阶层的富裕家庭或陷入贫困的低收入家庭？

衡量代际收入持续性的最常用方法是代际收入弹性（IGE）。IGE是指将子女永久收入的对数与父母永久收入的对数进行回归所得的斜率系数β：yo,i=α+βyp,i+?i，其中yo,i和yp,i分别表示第i个家庭中子女和父母的永久收入的对数。IGE的含义很直观：当β=0.5时，意味着父母永久收入相差1%，则子女永久收入平均相差0.5%。尽管直观易懂，但IGE存在一些众所周知的局限性。作为一个概括给定父母收入条件下子女收入条件均值的单一系数，它无法体现分布的异质性。尤其无法区分高持续性是由收入分配顶端的固化、底端的固化还是两者共同作用导致的。此外，对数-对数模型对零收入观测值十分敏感，而在短期收入数据中，尤其是子女在人生早期阶段，零收入观测值相当常见。Chetty等人（2014a）指出，IGE对儿童零收入年份的处理方式很敏感，且无法体现分布的异质性，因此他们转而关注等级-等级回归。Mitnik等人（2015）提出了一种能够处理零收入的替代估算方法，而Mazumder（2016）则认为足够长的收入数据面板可以缓解零收入带来的问题。即便有了这些方法上的改进，IGE仍然只是对条件均值的概括，因此很难了解父母与子女之间的依赖关系在收入分布的不同区域有何差异。

为了解决零收入问题，Chetty等人（2014a）采用了等级-等级回归方法，该方法用百分位等级代替对数收入，且适用于所有非负收入值。等级-等级回归的斜率具有尺度不变性，能够衡量父母收入每变化一个百分位，子女在收入分配中的位置平均会发生变化多少。不过，和IGE一样，它也是一个概括条件均值的单一数值，无法充分反映分布顶端与底端之间的持续性差异，也无法展现父母与子女收入完整联合分布的形态。转移矩阵能够显示子女从某一收入五分位数转移到另一五分位数的概率，从而提供更多关于流动性的信息。但它们依赖于人为设定的离散分界点，无法描述连续的联合分布。像Chetty等人（2017）所使用的绝对流动性指标，则用于追踪超过父母收入水平的子女比例，这类指标具有方向性，只能反映向上流动性，无法概括代际间的整体依赖结构。兄弟姐妹相关性及机会平等指标也能提供不同的视角，但同样只聚焦于流动性现象的某些方面。更多相关综述可参阅Solon（2018）的研究。

过去十年中，方法论上的进步在很大程度上拓展了研究工具箱，不再仅仅局限于基于回归的方法。Durlauf等人（2023）提出了基于福利理论的熵值指标，用于衡量父母与子女收入观测到的联合分布与统计独立性这一假设基准之间的“距离”。他们所使用的标准化Hellinger散度和Kullback–Leibler散度能够捕捉到单一系数通常无法发现的非线性特征和尾部依赖性。他们还将流动性从福利理论角度解读为偏离独立状态所带来的预期效用损失。Maasoumi等人（2025）则采用了非参数核方法，这类方法能够处理更高阶的矩以及不同人口子群体间的分布异质性。这些方法能够揭示出一些重要的尾部特征，比如某些种族和地区群体在贫困状况上的持续性更强，而这些是基于回归的方法无法检测到的。基于Copula的方法则是方法论发展的另一个方向。根据Sklar定理（Sklar, 1959），任何二元联合分布都可以分解为两个边缘分布以及一个Copula函数，后者能够捕捉变量间的所有依赖关系，而与边缘分布的形状无关。Chetty等人（2017）使用高斯Copula来估算不同出生群体间的绝对流动性。Durlauf等人（2023）强调，Copula模型在识别长期存在的不平等模式方面尤为有效，比如贫困和富裕陷阱，而这些往往是线性回归模型所忽略的。

尽管取得了这些进展，现有文献中仍存在不足。目前用于衡量代际流动性的全分布指标通常都是在假设父母与子女收入之间的依赖结构随时间保持稳定的前提下估算的。而当考虑时间变化时，比如Lee和Solon（2009）以及Chetty等人（2017）所做的趋势分析，研究重点往往只是跟踪某个单一的汇总统计量（如回归系数或绝对流动性比率）在不同群体间的变化。这样的方法无法表明流动性的变化是由分布顶端的恶化、底端的固化还是两者共同作用造成的。换言之，现有的框架无法同时具备以下三个理想特性：（i）能够全面反映完整联合依赖结构的全分布指标，而非仅能概括条件均值的指标；（ii）能够体现依赖结构随出生群体逐渐变化的特点；（iii）能够将流动性的变化分解为上尾部分的持续性（富裕阶层的固化）和下尾部分的持续性（贫困陷阱）。我们的研究通过运用随时间变化的混合Copula框架来衡量美国不同出生群体间的代际收入流动性，填补了这一空白。我们的研究思路基于两个理念。首先，借鉴Durlauf等人（2023）的方法，我们将代际固化程度定义为观测到的父母与子女永久收入联合分布与独立性基准之间的标准化Bhattacharyya–Hellinger–Matusita距离。在完全流动的情况下（即统计独立），这一距离为零；而当联合分布逐渐偏离独立状态时，这一距离则会趋近于1。由于该距离取决于Copula密度，因此它能综合体现所有父母与子女收入分位数对之间的依赖关系。这样的汇总指标不受收入单调变换的影响，即使边际收入分布发生变化，不同群体间的比较依然可行。其次，遵循Yang等人（2022）的方法，我们将Copula模型视为具有不同尾部依赖特性的各个Copula函数的随时间变化的凸组合，并利用核加权局部似然法将Copula参数作为群体年份的平滑函数来估算。这种混合结构能够体现代际流动性研究中发现的非线性且不对称的依赖模式。同时，它还能实现自然的分解：通过分析各个组成部分的权重和依赖参数随时间的变化趋势，可以判断整体固化程度的变化是源于上尾部分、下尾部分还是两者兼有。这种方法是对IGE、等级-等级回归以及绝对流动性比率等方向性流动性指标的补充，而非替代。它提供了一种从分布角度审视代际持续性演变的新途径。

我们利用来自收入动态面板调查（PSID）的1987年至2021年的数据，得出了三个主要结论。首先，以Hellinger距离指数Sρ来衡量的代际依赖关系在20世纪80年代末和90年代相对稳定。这一稳定性与Lee和Solon（2009）的研究结果大致一致，他们也通过基于回归的方法发现，20世纪70年代中期出生的群体的流动性是稳定的。此后，这一指数从2000年左右开始急剧上升，到2010年代时，其数值已接近90年代水平的三倍，这表明整个收入分布与独立性基准的偏差显著增大。其次，Copula分解表明，这种上升主要与上尾部分的持续性增加有关。用于衡量上尾部分依赖关系的Gumbel Copula权重在研究期内显著上升，这说明高收入家庭的财富持续性正在增强，即高收入父母更有可能培养出高收入子女。相比之下，用于衡量下尾部分依赖关系的Clayton Copula系数则没有出现显著的趋势，这意味着在此期间下尾部分的持续性并未增强。第三，按种族和地理区域进行的subgroup分析显示，群体内部的等级依赖关系存在差异，其中西部的上升趋势最为明显。

本研究有三方面的贡献。首先，我们将Yang等人（2022）提出的随时间变化的混合Copula模型引入到代际流动性研究领域。这一模型提供了一种全分布范围的衡量指标，能够补充当前该领域中普遍使用的基于回归和等级的分析方法，这也正是Chetty等人（2017）和Durlauf等人（2023）所倡导的。其次，混合Copula结构使我们能够分别追踪上尾部分和下尾部分的依赖关系随时间的变化情况，从而实现对Hellinger指数变化的详细分解，而这正是单一系数指标所无法做到的。第三，我们的研究证实，2000年后该指数的上升与财富持续性的增强有关，而非下尾部分持续性的显著强化。这些发现为我们进一步研究导致收入分配顶端持续性存在的机制提供了依据。

本文的其余部分结构如下：第二节介绍随时间变化的混合Copula框架，并定义代际固化程度指标。第三节描述PSID数据及样本的构建过程。第四节汇报估算结果。第五节为结论部分。

片段一：随时间变化的代际流动性的定义与衡量方法
本节阐述了本文所使用的代际固化程度衡量方法。其概念基础是完全代际流动性的基准，即父母与子女永久收入之间处于统计独立状态。在完全流动的情况下，父母的家庭背景对子女的命运几乎没有影响，此时父母与子女永久收入的联合分布等于他们各自边际分布的乘积。一旦出现任何偏离这种状态的情况……

片段二：数据
本研究中所分析的实证数据来源于收入动态面板调查（PSID），这是一项由密歇根大学调查研究中心开展的具有全国代表性的纵向家庭调查。PSID在代际流动性研究中被广泛使用。该调查始于1968年，最初是对美国贫困状况的大规模调查，最初在40个州抽取了数千户家庭作为样本。PSID的一个关键特点在于，家庭成员之间能够保持一致性。我们利用匹配样本数据，将1987年至2021年间的所有观测值分为五个队列，即20世纪80年代、90年代、2000年代、2010年代和2020年代，以此进行一致性排序检验。所有参考队列与目标队列组合的一致性检验完整结果分别列于表2和表3中。在所有队列组合中，括号内所示的家庭层面聚类引导p值对于H0+和H0?而言都非常大，因此这些检验未能从统计学上得出结论。

在本文中，我们采用了时变混合copula模型，来研究1987年至2021年间美国代际收入依赖关系是如何随时间变化的。通过让copula权重和依赖参数在不同队列年份中平滑变化，我们的模型能够捕捉到父母与子女永久收入之间整体联合依赖结构的变化。Hellinger指数在20世纪90年代相对稳定，但在2000年后急剧上升。

作者声明没有已知的可能影响本文所述工作的竞争性财务利益或个人关系。

我们感谢共同编辑Joachim Winter以及两位审稿人提出的有益意见。蔡宗武的研究部分得到了中国国家自然科学基金的支持（项目编号：72595875、72595870、72033008、72133002）。刘冠南的研究得到了中国国家自然科学基金的支持（项目编号：72273112）。罗学洪的研究得到了福建省自然科学基金的支持（项目编号：2026J0011239）。

蔡宗武|刘冠南|龙伟|罗学洪
美国堪萨斯大学经济学系，堪萨斯州劳伦斯市，邮编66045