在不可压缩各向同性超弹性中同时强制执行多凸性和真应力-真应变单调性：应用于神经网络本构模型

《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》：Concurrent enforcement of polyconvexity and true-stress-true-strain monotonicity in incompressible isotropic hyperelasticity: application to neural network constitutive models

　　

为构建本构模型而设计的物理增强神经网络（PANNs）近期因适用于多种材料行为而受到广泛关注。在此，研究人员根据本构不等式研究的最新进展重新审视了各向同性不可压缩超弹性的经典框架。研究人员表明，对于一大类不可压缩应变能函数，多凸性（polyconvexity）蕴含真应力-真应变单调性（TSTS-M）。由此得到的弹性定律同时满足物理上合理的Legendre-Hadamard（或椭圆性）条件以及随应变增加应力增加的概念。这些结果随后指导了四个不同PANNs的架构，这些PANNs随后分别针对三组不同的实验数据进行校准。研究人员表明，不同的PANN参数化——虽然先验地满足相同的本构约束——在描述材料行为方面具有不同的近似能力。此外，即使不同的参数化在校准范围内表现相当，它们在预测方面也显示出显著差异。这一观察引发了对PANNs预测能力的批判性讨论，这也对通过神经网络对更复杂材料行为进行建模具有重要意义。

**论文解读：多凸性与真应力-真应变单调性在不可压缩超弹性中的同时强制执行及其在神经网络本构模型中的应用**

**研究背景与问题**

超弹性本构模型的历史可追溯至Mooney、Wall和Rivlin的早期工作，此后涌现了大量基于不变量或主拉伸的应变能函数形式。然而，从众多候选模型中选择并校准合适的本构模型过程繁琐且需要大量专业知识。物理增强神经网络（PANNs）作为函数逼近器，提供了比传统模型更大的灵活性，已被证明适用于多种材料行为，从而简化了模型选择过程。尽管不可压缩超弹性与PANN本构建模的研究已相当深入，但研究人员仍重返这一简单框架，主要基于两个原因：第一，近期关于各向同性超弹性中本构不等式的研究再次引发了对不可压缩边缘情况的疑问；第二，PANNs在训练数据之外的外推行为受到的关注相对较少。在可压缩各向同性超弹性中，研究人员列出了若干普遍认为物理合理的要求：材料框架无差异、材料对称性、无应力无能量未变形构型、多凸性（polyconvexity）进而秩一凸性，以及体积增长条件。此外，各向同性超弹性材料期望表现出随应变增加应力增加的特性。然而，近期研究表明，多凸性本身并不能确保无约束单轴拉伸中真应力响应的单调性。因此，真应力-真应变单调性（TSTS-M）应被添加到物理合理的本构约束列表中。值得注意的是，研究人员尚未发现任何可压缩应变能函数能同时对所有可变形状态满足多凸性和TSTS-M。但在高度受限的不可压缩情况下，情况大为简化：本研究证明，对于一大类多凸应变能函数，在不可压缩条件下TSTS-M是自动蕴含的。本研究还探讨了PANNs的外推问题，发现即使先验满足相同本构约束的不同PANN参数化，在校准范围内表现良好时，其外推行为仍存在显著差异，这引发了对PANNs预测能力的批判性讨论，并对通过神经网络建模更复杂材料行为具有启示意义。该论文发表在《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》。

**主要关键的技术方法**

研究人员采用的主要技术方法包括：理论证明基于Ball（1976）的多凸性充分条件，借助majorization理论重新证明并扩展至不可压缩情形，推导出多凸性蕴含Hill不等式进而蕴含TSTS-M的结论。在PANN构建方面，使用单隐藏层（16个节点）的前馈神经网络（FFNN），以softplus激活函数，通过输入凸神经网络（ICNN）和凸单调神经网络（CMNN）架构实现先验的多凸性约束。基于四种参数化（基于不变量I₁, I₂及其平方根，基于主拉伸λ_k，基于符号奇异值ν_k）构建四个PANN模型。模型校准采用Adam优化器，最小化第一Piola-Kirchhoff应力的均方误差（MSE），实验数据来自Treloar（1944）的硫化橡胶、Plagge和Klüppel（2017）的EPDM聚合物以及Zhang等（2024）的DLP材料（共三个数据集）。忽略试剂与具体培养、质粒构建等操作步骤。

**研究结果**

**2.1 多凸性（Polyconvexity）**
回顾了多凸性的定义：存在关于F、CofF、detF的凸函数G，使得应变能函数W(F)=G(F, CofF, detF)。多凸性蕴含秩一凸性（Legendre-Hadamard椭圆性），从而保证稳定性与无穷小扰动的实波速。在不可压缩情形（detF=1）下，多凸性由关于F和CofF的凸函数G(F, CofF)确保。

**2.2 真应力-真应变单调性（TSTS-M）**
TSTS-M定义为：Cauchy（真）应力σ相对于Hencky（真）应变logV的单调性，即运算?σ^(logV₂)?σ^(logV₁), logV₂?logV₁?>0对所有V₁≠V₂成立。该条件等价于Zaremba-Jaumann应力率的正定性，并可通过共转对数应力率扩展为共转稳定性公设（CSP）。

**2.3 不可压缩情形下的TSTS-M与Hill不等式**
在不可压缩条件下，Kirchhoff应力τ等于Cauchy应力σ，Hill不等式简化为?D^ZJτ/Dt, D?>0且trD=0，等价于约化应变能函数W^_red^inc在剩余两个主对数应变上的严格凸性，称为弱形式的Hill不等式。

**3.1 基于主拉伸的参数化**
**3.1.1 Ball定理的多凸性充分条件**
重新陈述Ball（1976）定理：若W由g(λ, a)定义，g为凸、单调递增且对其前三个与后三个参数分别具有置换不变性，则W多凸。通过majorization理论（3.1.2节）详细证明了Ball原证明中关键不等式的合法性。

**3.1.3 Majorization在各向同性超弹性中的应用**
证明：若f(λ)为凸、单调递增、置换不变，则f(λ)≤f(tλ₁+(1?t)λ₂)，其中λ为F=tF₁+(1?t)F₂的奇异值。

**3.1.4 对Hill不等式的蕴含**
证明：满足Ball条件的W在不可压缩下可表为W^(logλ₁, logλ₂, logλ₃)，且由于指数函数的严格凸性以及g的严格单调性（或严格凸性），W^在logV上严格凸，从而满足Hill不等式，进而满足TSTS-M。

**3.2 基于不变量的参数化**
推论：若W(F)=Ψ(K₁, K₂)，其中K₁=∥F∥_p，K₂=∥CofF∥_q为Schatten p-范数，且Ψ凸且单调递增（在K₁或K₂上严格），则W多凸且满足Hill不等式。该推论统一了多种经典模型（如Ogden模型、Mooney-Rivlin模型）的已知结果，并指出Truesdell经验不等式仅要求一阶导数正性，缺乏凸性条件，因此过弱。

**3.3 未解决问题：不可压缩下多凸性是否蕴含TSTS-M？**
通过反例展示：存在满足Ball条件之外的多凸应变能函数（如W=(λ₁?λ₂λ₃)⁴+…），其W^在logV上非凸，但约化函数W^_red^inc凸，故仍满足弱Hill不等式和TSTS-M。因此，不可压缩下多凸性是否一般蕴含TSTS-M仍为开放问题。

**4. PANN本构建模**
**4.1 神经网络作为本构模型方程**
采用单隐藏层FFNN，softplus激活，通过ICNN/CMNN实现凸性与单调性。构建四种PANN：基于不变量I₁, I₂（PANN–I）、基于平方根不变量√I₁, √I₂（PANN–√I）、基于主拉伸（PANN–λ）、基于符号奇异值（PANN–ν）。前三种因满足Ball条件或推论而先验满足多凸性与TSTS-M；PANN–ν基于符号奇异值多凸性，但TSTS-M不一定先验保证。

**4.3 简单加载路径的应力预测**
给出不可压缩下单轴拉伸（UX）、等双轴拉伸（BX）、纯剪切（PS）的变形梯度与应力计算公式，用于后续校准。

**5. 不同PANN公式应用于实验数据的比较**
**5.1 数据集与模型校准**
采用Treloar硫化橡胶（56数据点）、EPDM聚合物（271点）、DLP材料（14点）的UX、BX、PS实验数据。所有模型均使用16节点单隐藏层，Adam优化器，150000步校准。

**5.2 模型内插性能**
PANN–I/λ/ν在Treloar数据上表现相近，PANN–I稍差；EPDM数据中PANN–ν最优，PANN–λ中等，PANN–I/I最差；DLP材料上PANN–I/I显著劣于PANN–λ/ν。表明即使满足相同本构约束，不同参数化的近似能力存在差异。

**5.3 模型外推性能**
所有PANN模型在Treloar数据上内插表现相似，但外推时预测的Cauchy应力响应在定性和定量上差异显著。基于不变量的PANN–I/I模型，其应力系数c₁, c₂呈现Sigmoid形状，导致大变形下应力增长趋势不同（PANN–I的d₁二次增长，PANN–√I线性增长）。即使相同架构的不同随机初始化实例在外推中表现一致，但不同架构间差异巨大。

**5.4 未解决问题：是否需要对“理想弹性”的Cauchy应力曲率施加约束？**
尽管PANN模型满足TSTS-M，Cauchy应力单调递增，但部分模型在大变形下曲率为负，与理想弹性体期望的刚度递增不符。研究人员谨慎推测，可能需要对Cauchy应力曲率施加额外约束，但这会引入无穷回归问题，且与真实实验数据中不可避免的非弹性效应相矛盾。

**总结讨论**

本研究重新审视了超弹性的本构约束，特别是在不可压缩语境下。主要结果之一是：对于一大类各向同性应变能函数，多凸性蕴含Hill不等式，进而蕴含TSTS-M。据此，研究人员提供了若干先验满足这些约束的PANN架构。通过校准至多组实验数据，说明即使受限于相同本构要求，参数化选择仍影响PANN的近似能力。在保证多凸性和TSTS-M的组合方面，基于Ball（1976）条件定义的架构既通用又强大，其性能仅被基于符号奇异值多凸性的架构（PANN–ν）超越，但后者可能无法先验保证TSTS-M。更重要的是，即使不同PANN架构遵循相同本构约束且内插质量相当，其外推行为可能差异巨大。这引出两个问题：我们的本构约束集是否足以保证物理合理的外推？在多个大致等效的PANN架构中应如何选择？对于第一个问题，或许值得重新考虑纯现象学的预测能力，转而采用融合了独立于宏观实验数据的额外考量（如基于链统计的分子模型）的简单模型。对于第二个问题，PANN本质上是参数化函数，参数推断方式影响最终模型及其预测。参数数量与数据点数量的微妙平衡尤为关键。从纯粹物理角度看，在先验满足相同本构约束的模型集合中，无法确定应优先选择哪一个。本研究的关键启示是：高近似能力的物理增强化方法并不自动产生具有确定预测能力的材料模型。这些观点不仅适用于不可压缩超弹性本构建模，更可能以加剧的方式延伸至更复杂的PANN应用。

**研究结论部分翻译**
在本贡献中，研究人员重新审视了超弹性的本构约束，特别是在不可压缩语境下。一个主要结果是：对于一大类各向同性应变能函数，多凸性蕴含Hill不等式，进而蕴含TSTS-M。因此，研究人员提供了若干先验充分满足这些约束的PANN架构。通过校准至多组实验数据，说明了即使受限于相同本构要求，参数化选择仍影响PANN的近似能力。在保证多凸性和TSTS-M的组合方面，基于Ball（1976，定理5.2）条件定义的架构既通用又强大，其性能仅被基于符号奇异值多凸性的架构（cf. Geuken等，2025, 2026）所超越，但后者可能无法先验保证TSTS-M。更重要的是，即使不同PANN架构遵循相同本构约束且内插质量相当，其外推行为可能差异巨大。这进而引出两个问题：（i）我们的本构约束集是否足以保证物理合理的外推？（ii）在多个大致等效的PANN架构中应如何选择？对于第一个问题，或许值得重新考虑纯现象学的预测能力，转而采用融合了独立于宏观实验数据的额外考量（如基于链统计的分子模型）的简单模型。对于第二个问题，应牢记PANN本质上是参数化函数，参数推断方式影响最终模型及其预测。参数数量与数据点数量的微妙平衡近期已被讨论，且对PANN训练尤为相关。从纯粹物理角度看，在先验满足相同本构约束的模型集合中，无法确定应优先选择哪一个。本研究的关键启示是：高近似能力的物理增强化方法并不自动产生具有确定预测能力的材料模型。最后，研究人员强调，此处提出的问题不仅适用于不可压缩超弹性本构建模，更可能以加剧的方式延伸至更复杂的PANN应用。