学习结构一致的Koopman建模中的可逆观测量

《Neurocomputing》：Learning invertible observables for structurally consistent koopman modeling

　　摘要：理解从分子相互作用到气候模式等各种系统的复杂动态，一直是科学和工程领域的核心挑战。Koopman算子通过将非线性动力学转化为可处理的线性形式，提供了一种强大的数学框架。然而，现有方法存在诸多局限性，包括不可逆性、对系统输入的处理不足以及无法表示测量分布。我们提出了一种基于Koopman算子且具备可逆性的框架，该框架以条件归一化流为原理，在统一的观测流程中解决了这些问题。我们的方法提供了一种结构化的架构，能够支持可逆的观测函数，明确以外部输入为条件，并体现动态系统的概率特性。这一模块化且可扩展的框架有助于高效地学习Koopman观测量，以及其在不同系统中演变的有限维线性近似模型。消融实验验证了各组分的必要性。在模拟数据及真实世界数据上的实验表明，该方法具有较强的抗缺失信息、低频测量和噪声干扰的能力，展现出构建结构合理、精确的真实世界现象模型的潜力。

引言：非线性动力系统在自然和工程领域普遍存在，但其复杂性给建模、分析和控制带来了持续挑战。Koopman算子通过将非线性演化表示在具有线性动力学的观测空间中，为连接非线性和线性视角提供了理论基础。但在实际应用中，基于Koopman算子的方法面临着三大结构建模难题：理论上的不可逆性、输入的非封闭性以及分布的不可识别性。这些限制促使人们寻求一种结构一致的Koopman框架，能够在单一建模流程中同时解决这三大问题，同时保持精度和物理可解释性。

Koopman算子通过将非线性动力学嵌入到更高维的函数空间中，为其提供了全局线性表示[24]。与平衡点附近的局部线性化不同，这种表述方式使得谱分析成为可能，通过特征值和特征函数可以描述系统的稳定性、周期性以及长期行为[5]、[9]、[22]、[40]。自该理论提出以来，相关研究已取得显著进展[4]、[30]、[32]、[33]、[37]、[53]。但由于需要具有表达力的观测量以及对无限算子进行有限维近似，实际计算仍然十分困难。为应对这一挑战，人们提出了多种数值方法，如动态模态分解及其变体[7]、[21]、[28]、[36]、[38]、[42]、[44]、[49]，其中许多方法已在实践中取得成功[1]、[25]。

尽管已有诸多进展，但基于Koopman算子的建模仍受到三大结构挑战的限制，从而影响其精度和可解释性。首先，当观测量不具备双射性（即理论上的不可逆性）时，潜在表示就无法还原系统的真实动态，这会削弱预测能力，也会影响具有物理意义的模态分析。其次是输入的非封闭性：通过算子分解对输入进行建模会破坏函数的封闭性，使得谱分析无效；而简单地将输入与测量值相拼接，则会在模型复杂度固定的情况下降低表达能力，且随着输入维度的增加，这一限制会愈发严重。第三是分布的不可识别性：确定性映射或固定的不确定性模型无法准确表示测量空间上的真实条件分布，从而导致系统内在动态和随机效应被模糊处理[13]、[14]、[15]。这些问题在现实世界系统中极为常见[54]，而现有的解决方法往往是对这些问题分别处理，而非在统一的Koopman框架内解决，这限制了Koopman建模在复杂系统中的应用范围。

为了解决上述问题，人们引入了可逆神经网络用于Koopman学习，这类网络能够生成具有双射性的观测量，实现精确重建，从而更准确地识别不变子空间[11]、[16]、[17]、[31]。不过，目前这类应用主要局限于自主系统领域。从更广泛的角度来看，这类架构属于归一化流家族，这类模型旨在实现双射、条件性和概率性的映射[3]、[23]、[35]、[50]，因此归一化流为解决Koopman建模中的核心问题提供了理想的基础。

借助归一化流的优点，我们提出了一种结构一致的Koopman框架，该框架能够学习出可逆的观测坐标，通过这些坐标，非线性动力学可以更有效地用有限维线性Koopman模型来近似表示。这种方法既能够实现精确重建，又能自动识别观测量，无需像传统方法那样针对特定问题进行特殊设计。我们的方法以模块化方式将可逆的特征提取器与归一化流组件相结合，从而能够灵活地适配各种不同的动力系统。该设计在单一建模架构中统一解决了理论上的不可逆性、输入的非封闭性以及分布的不可识别性等问题（见图1）。

Koopman表示学习中的结构挑战：Koopman算子理论通过将非线性动力学表示为观测空间中的线性演化，从而实现了谱分析、长期预测以及模态解读等功能。在数据驱动的场景中，现有方法大致可分为两类：固定字典法，如扩展动态模态分解[49]、带控制的动态模态分解[DMDc][36]以及子空间DMD[subDMD][42]；以及基于学习的方法，如结合字典学习的EDMD-DL。

建模：为满足上述需求，我们采用归一化流作为与Koopman算子一致的观测量。归一化流是一种生成模型，它通过可微且具有双射性的变换，将简单的基准分布转换为复杂的分布。从形式上来看，我们设定，其中在上具有双射性，且以为基础，这样就能够实现精确的恢复以及密度估计，其中是的雅可比矩阵，而则表示该雅可比矩阵的行列式。这种表述方式明确了其与现有基于INN的Koopman方法的区别。

实验：我们将实验分为四组：具有代表性的建模示例、定量基准对比、消融与鲁棒性研究，以及模块化扩展分析。代表性示例用于评估KNIF在具有自主性、输入驱动型、随机性、多输入多输出、非平稳性以及空间分布式动态特性的模拟系统和真实世界系统中的表现。基准对比则通过测试集的重建均方误差来评估不同方法的效果。

结论：现实世界中的动力系统受到非线性相互作用、外部作用力以及随机扰动的影响，因此产生的测量数据往往存在噪声、不完整，且过于复杂，难以直接进行精确建模。我们提出了一种统一的、可逆的Koopman框架，该框架可以直接从原始测量数据中学习出观测坐标，以及Koopman演变的有限维线性近似模型。现有的Koopman方法很少能同时应对理论上的那些结构性挑战。

CRediT作者贡献说明：谢东明：撰写——初稿、软件工具、方法论、概念设计。曾哲轩：撰写——初稿、指导工作。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。

致谢：本研究部分得到了中国国家自然科学基金的支持，项目编号分别为62573207和U25B6013。谢东明于2024年从中国湖北省武汉市的华中科技大学人工智能与自动化学院获得工学学士学位，目前他正在该校攻读博士学位。他的研究兴趣包括科学计算中的人工智能、非线性动力学以及生成模型。

谢东明|曾哲轩
中国湖北省武汉市华中科技大学人工智能与自动化学院，邮编430074