考虑微结构尺寸效应的周期层状介质中的波传播：一种容差建模方法

《Materials》：Wave Propagation in a Periodically Layered Medium, Taking into Account the Effect of Microstructure Size: A Tolerance Modelling Method

　　

所考虑的介质是沿其厚度H方向（x₃轴方向）周期层化、并置于不可变形基底上的介质。它由许多重复的薄层组成，每层厚度为h（相对于H较小）。每层由偶数个“亚层”构成。在该介质中，可识别出一个小的重复单元，称为周期性胞元（periodicity cell）。为了在分析周期层状介质的动力学行为时考虑该单元尺寸的影响（即所谓的微结构尺寸效应，microstructure size effect），研究人员采用了容差建模方法（tolerance modelling method）。推导出的方程具有常系数，并主要针对周期层状介质的动力学问题计入了微结构尺寸效应。该效应通过沿x₁轴（平行于层）传播、位移分量沿x₃轴（即垂直于层）的波传播实例加以展示。推导了所考虑介质中波传播速度的公式，并分析了与介质结构相关的各种参数的影响。此外，在较低波传播速度范围内，结果通过著名的渐近模型（asymptotic model）得到了验证。

**论文解读**

**研究背景与问题**
复合材料中周期性结构（如层合板）广泛应用于机械、土木、船舶、航空航天等领域，因其可实现轻质高强。然而，描述此类周期层化介质动力学行为的微分方程带有高度振荡、不连续的功能系数，难以直接用于具体问题分析。传统均匀化方法（如渐近法）虽能导出平均化方程，但通常忽略微结构尺寸效应（即周期长度效应、色散现象）。该效应在介质振动问题中可能具有重要影响，因此需要发展能同时考虑宏观与微观动态特性的建模方法。容差建模方法（tolerance modelling method）提供了一种替代途径，能将原始控制方程替换为具有常系数（或缓变系数）的平均化模型方程，其中部分系数显式依赖于微结构尺寸。本研究旨在将容差方法应用于不可变形基底上的周期层合介质，建立波传播模型，并分析横波传播速度，以揭示微结构尺寸效应。

**研究工作与结论**
研究人员针对沿厚度方向（x₃轴）周期层化的介质，应用容差建模方法推导了平均化控制方程。该方程具有常系数，且包含与微结构尺寸参数h（层厚）相关的项，从而描述了微结构尺寸效应。随后，以沿x₁轴（平行于层）传播、位移分量垂直于层（x₃方向）的横波为例，求解了容差模型的特征方程，得到两种横波传播速度：与介质宏观结构相关的较低基本波速，以及与周期层状微结构相关的较高波速。同时，引入渐近模型（忽略微结构尺寸效应）作为对比，该模型仅能给出较低波速。通过数值计算，分析了无量纲微结构参数δ、密度参数?、杨氏模量参数ε以及非均匀比γ对波速的影响，并比较了两种不同衰减函数φ₁和φ₂下的结果。研究表明：较低和较高波速均随δ增大而增大；较低波速对衰减函数形式更敏感，而较高波速几乎不受影响；波速随密度参数?增大而减小，随刚度参数ε增大而增大；非均匀比γ对波速的影响依赖于其他参数，且较低波速在容差模型与渐近模型下几乎一致，验证了模型的有效性。该研究发表于《Materials》。

**关键技术方法**
研究所用的主要关键技术为容差建模方法（tolerance modelling method）。该方法基于微?宏分解（micro?macro decomposition），将位移表示为宏观位移与波动幅度之和，并引入波动形状函数（fluctuation shape function）描述微结构引起的位移振荡。通过平均算子（averaging operator）和残差正交条件（residual orthogonality condition），将高度振荡的原始方程转化为常系数平均化方程，其中部分系数显式依赖于微结构尺寸参数h。本研究未涉及具体试剂或培养操作，也不包含样本队列来源，仅基于理论推导与数值计算。

**研究结果**
**5.1 Preliminaries**
研究人员定义了无量纲波速参数υ_?（容差模型较低波速）、υ₊（容差模型较高波速）和υ₀（渐近模型波速），并引入两种衰减函数φ₁和φ₂（式(27)和(28)）。通过计算相关系数，确定了无量纲微结构参数δ、密度参数?、刚度参数ε和非均匀比γ。

**5.2 Diagrams of Results**
- **图4（固定ε=?=0.5，不同γ）**：较低波速υ₀、υ_?和较高波速υ₊均随δ增大而增大。衰减函数φ₁对应的波速小于φ₂对应的波速，且差异在较低波速中更明显。γ增大时，较低波速增大，较高波速减小。容差模型与渐近模型的较低波速几乎重合。
- **图5（固定ε=γ=0.5，不同?）**：波速随δ的变化趋势同上。?增大时，较低和较高波速均减小。衰减函数的影响在较低波速中更显著，但不同?下的波速比几乎相同。
- **图6（固定γ=?=0.5，不同ε）**：ε增大时，较低和较高波速均增大。衰减函数的影响在较低波速中更显著。ε较小时，较低波速差异较小，而较高波速差异较大。
- **图7（固定δ=0.1，不同?）**：较低和较高波速均随?增大而减小。衰减函数φ₁对应的波速小于φ₂对应的波速，且差异在较低波速中更明显，几乎不随?变化。
- **图8（固定δ=0.1，不同ε）**：波速随ε增大而增大。衰减函数的影响在较低波速中更显著。γ较大时，较低波速差异较小，较高波速差异较大。当ε趋近1时，差异趋近于1。
- **图9（固定δ=0.1，不同γ）**：较低波速随γ增大先缓慢减小后缓慢增大（如?=ε=0.5时），较高波速随γ增大先急剧减小，然后缓慢减小，最后在区间[0,1]末端快速增大。衰减函数的影响很小，且?的变化几乎不影响差异，但ε增大时差异减小。

**总结与结论**
论文的讨论部分指出，容差建模方法成功将具有高度振荡、不连续系数的方程转化为常系数方程，从而能够分析微结构尺寸效应。对于单方向横波传播问题，容差模型推导出两种波速：与宏观结构相关的基本较低波速，以及与微结构相关的高波速，而渐近模型仅能给出较低波速。计算结果表明：两种波速均依赖于微结构参数，且较低波速对衰减函数更敏感；波速随密度参数增大而减小，随刚度参数增大而增大；非均匀比对波速的影响因其他参数而异。研究结论可总结如下：
1. 容差方法可将描述周期层合对象的方程替换为常系数容差模型方程。
2. 容差模型方程包含依赖于微结构尺寸参数h的项，从而能分析微结构参数对波传播等问题的效应。
3. 应用容差模型于单方向横波传播，得到两个波速：与宏观结构相关的较低基本波速，以及与微结构相关的较高波速。
4. 本研究展示了容差方法在微非均匀结构热力学问题中的又一应用，该方法具有通用性。
5. 渐近模型仅能考虑较低波速，用于对比验证。
基于计算结果，较低波速对微结构参数的依赖性更强，且衰减函数形式对较低波速影响更大，而较高波速几乎不受衰减函数影响。密度和刚度参数对波速的影响规律与文献一致，即波速随密度增加而减小、随刚度增加而增大。非均匀比γ的影响则依赖于其他参数。容差模型的较低波速与渐近模型几乎完全一致，验证了模型的可靠性。