定制制造拉胀泡沫鞋垫用于足底压力再分布的技术可行性：一项探索性试点与自助重抽样调查

《Materials》：Technical Feasibility of Custom-Fabricated Auxetic Foam Insoles for Plantar Pressure Redistribution: An Exploratory Pilot and Bootstrap Resampling Investigation

　　

本研究调查了荷载模式、分析层次和节点连接刚度对低矮钢穹顶（low-rise steel dome）稳定性和动力行为的影响。分析了三种节点构型和两种荷载场景（对称与非对称）。采用线性屈曲分析（linear buckling analysis, LBA）、二阶分析（second-order analysis, P-Δ）和全几何非线性分析（full geometrically nonlinear analysis, GNA）评估结构稳定性。通过不考虑和考虑几何刚度矩阵（geometric stiffness matrix, K_G）的模态分析（modal analysis）确定动力特性。结果表明，结构响应主要由轴向力的非对称分布控制。对于铰接节点模型，观察到临界荷载乘子（critical load multiplier）下降了68.4%。模态分析显示，非对称荷载不仅降低了第一自振频率，而且从根本上改变了模态结构。整体振动模态消失，模态质量分散到大量模态中，模态置信准则（Modal Assurance Criterion, MAC）保持在0.11以下，证实了振动机制发生了质变。相比之下，对称荷载仅引起轻微的频率降低，同时基本保持了模态振型。研究结果表明，在非对称荷载下，线性分析可能显著高估低矮钢穹顶的稳定性和动力性能。因此，准确评估需要考虑二阶效应、几何非线性和几何刚度。

**研究背景与问题**

低矮钢穹顶（low-rise steel dome）作为空间杆系结构的一种，广泛应用于大跨度工业厂房、商业展馆、车站大厅和体育设施等。其结构行为受几何形状、材料属性以及节点连接设计的显著影响。现有研究大多聚焦于单一因素，如几何缺陷、线性屈曲或动力特性，而缺乏对荷载模式、轴向力、计算模型精细化程度以及节点建模方法等多因素交互作用的综合分析。特别是对于低矮杆穹顶，其对刚度变化和内力分布极为敏感，现有设计实践中常用的简化线性模型可能严重高估结构在非对称荷载下的安全裕度。因此，本研究旨在量化不同模型假设对低矮钢穹顶安全评估的影响，识别决定其动力与稳定性变化的关键因素，从而为设计提供更可靠的理论依据。该论文发表在《Materials》。

**关键技术与方法**

研究人员采用Autodesk Robot Structural Analysis 2023软件建立单层钢穹顶的有限元模型，结构由49个节点和112个杆件组成，分为经线、上环、下环和支撑四组。材料选用S355J2H结构钢，采用线弹性本构模型（E=210 GPa, ν=0.3）。边界条件为铰接支撑。施加两种荷载工况：对称荷载（全节点30 kN竖向力）和非对称荷载（半结构节点竖向力）。节点连接考虑三种变体：支撑与环杆均铰接、仅支撑铰接、全刚性连接。分析采用线性静力分析、线性屈曲分析（LBA）、考虑P-Δ效应的二阶分析、全几何非线性分析（GNA），以及不考虑和考虑轴向力影响的模态分析，通过模态置信准则（MAC）量化振型相似性。

**研究结果**

**3.1.1 K1NS——支撑与环杆释放**
在非对称荷载下，铰接模型（K1NS）的线性屈曲临界荷载乘子α_cr^LBA=1.48，全几何非线性分析后降至α_cr^GNA=0.468，降幅68.4%。模态分析表明，考虑轴向力后，第一自振频率从10.956 Hz降至7.034 Hz，且前五阶振型的MAC值均低于0.11，表明振型发生根本性改变，动态能量分散到大量模态中。

**3.1.2 K2NS——仅支撑释放**
仅支撑铰接模型（K2NS）的α_cr^LBA=1.503，GNA后α_cr^GNA=0.496，降幅67.0%。模态特征与K1NS类似，MAC值低于0.15，证实非对称荷载下轴向力导致模态结构重构。

**3.1.3 RNS——全刚性框架**
全刚性连接模型（RNS）的α_cr^LBA=3.261，GNA后α_cr^GNA=2.150，降幅34.1%。考虑轴向力后，前五阶振型的MAC值最高达0.732，表明振型保持较高相似性，模态结构未发生本质改变。

**3.2.1 K1S——对称荷载下铰接模型**
对称荷载下，K1S模型的α_cr^LBA=2.698，GNA后α_cr^GNA=1.166，降幅56.8%。模态分析显示，考虑轴向力后前三个振型的MAC值分别为0.743、0.743和0.976，振型基本不变，仅频率略有下降。

**3.2.2 K2S——对称荷载下仅支撑释放**
K2S模型的α_cr^LBA=2.766，GNA后α_cr^GNA=1.759，降幅36.4%。模态分析表明，轴向力主要引起质量分数在水平方向上的轻微重新分配，但基本的整体振型保持不变。

**3.2.3 RS——对称荷载下全刚性框架**
RS模型的α_cr^LBA=3.730，GNA后α_cr^GNA=2.703，降幅27.5%。模态分析中，MAC对角线值在0.93~0.97之间，非对角线值接近零，确认模态结构几乎完全保留。

**讨论与结论**

研究结果表明，非对称荷载是决定低矮钢穹顶稳定性和动力响应的关键因素。在铰接模型中，线性分析方法显著高估承载力（超过两倍），而全几何非线性分析揭示实际失稳荷载仅约为线性屈曲荷载的46.8%。刚性连接显著提高了穹顶的抗失稳能力。最原创的发现来自考虑轴向力的模态分析：非对称荷载下，几何刚度矩阵的引入不仅降低了自振频率，更从根本上改变了模态结构——整体模态消失，动态能量分散于大量模态中，MAC值低于0.11，表明形成了新的弯扭耦合模态。对称荷载下，轴向力仅引起频率降低，模态结构基本不变（刚性模型MAC达0.986）。因此，可靠的评估必须采用包含几何刚度矩阵的模态分析和全几何非线性分析。考虑轴向力的模态分析可作为识别结构空间刚度丧失的诊断工具，为空间杆系结构的安全评估开辟新途径。

**研究结论翻译**
所进行的研究表明，低矮钢穹顶的静力和动力响应在很大程度上由荷载模式、节点连接建模方法以及数值分析的精细化程度共同决定。结构对非对称荷载最为敏感。在铰接平行和支撑连接模型中，采用全几何非线性分析使临界荷载乘子从1.48降至0.468，降幅达68.4%。这意味着实际失稳发生在约46.8%的线性屈曲分析对应荷载下。这一结果明确表明，经典线性分析在非对称荷载下显著高估了结构的承载力。采用刚性节点连接显著提高了穹顶的抗失稳能力。对于框架模型，临界系数从3.261降至2.150，降幅明显小于铰接模型。这证实了连接刚度对低矮杆穹顶整体稳定性的重要影响。本工作最具原创性的结果来自考虑轴向力影响的模态分析。对于非对称荷载，引入几何刚度矩阵不仅导致第一自振频率降低（从10.956 Hz降至7.034 Hz），而且更重要的是，从根本上改变了结构的模态结构。在不考虑轴向力的模型中，前三个振动模态具有整体性，分别对应X、Y、Z方向的主导位移。考虑轴向力后，动态能量分散到大量振动模态中，前几阶模态的主导性消失。对前200阶模态的分析表明，每个模态在所有平移方向均具有非零质量贡献，表明动态响应存在强烈的空间耦合。振动特性的根本改变进一步由模态置信准则（MAC<0.11）的极低值所证实。这意味着考虑轴向力后，不仅存在模态顺序的改变或自振频率的降低，还产生了性质全新的振动模态。经典的弯曲和扭转模态被复杂的弯扭模态所取代，这些模态源于非对称应力分布和受压构件的局部刚度丧失。因此，带有几何矩阵的模态分析描述了一种与经典模态分析不同的结构动态状态。对于对称荷载，观察到不同的作用机制。临界荷载乘子的降低幅度显著小于非对称荷载，轴向力对动力特性的影响主要限于自振频率的降低。在刚性连接模型中，MAC值达到约0.986，证实了几乎完全相同的振动模态得以保留。这意味着应力状态降低了结构的有效刚度，但未显著改变变形机制。仅在铰接连接模型中观察到振动模态形状的部分一致性丧失。所得结果表明，非对称荷载是决定低矮杆穹顶稳定性安全和动态响应的因素。在此条件下，使用经典模态分析和线性屈曲分析可能导致对结构行为的错误评估。可靠的分析需要借助几何刚度矩阵考虑轴向力的影响，并采用全几何非线性分析。所呈现的结果还表明，考虑几何刚度矩阵的模态分析可作为识别结构空间刚度丧失的有价值的诊断工具。观察到的模态结构变化和质量分数分散可被视为结构接近失稳状态的指标，这为使用模态分析评估空间杆系结构的安全性开辟了新的可能性。