区间值cr-凸函数的分数阶Hermite–Hadamard型不等式及人工神经网络分析

《Symmetry》：Fractional Hermite–Hadamard-Type Inequality for Interval-Valued cr-Convex Functions with Artificial Neural Network Analysis

　　

本文在一致分数阶微积分框架下研究了区间值函数的Hermite–Hadamard型不等式。首先，利用一致分数阶积分算子，针对cr-凸区间值函数建立了新的结果。通过适当选择参数，所得不等式涵盖并推广了许多已知的Hermite–Hadamard型结果。为说明理论结果，给出了一个显式数值算例及图形表示。此外，研究人员将人工神经网络（ANN）模型用作计算近似工具，在较宽参数域内考察不等式左端、中端和右端的中心-半径形式。数值输出表明，所训练的ANN模型在逼近解析表达式方面具有较高的预测精度。

该论文发表于《Symmetry》，研究了区间值cr-凸函数在一致分数阶微积分框架下的Hermite–Hadamard型不等式，并结合人工神经网络（artificial neural network, ANN）对不等式的数值行为进行了分析。

## 研究背景与问题

Hermite–Hadamard不等式是凸分析中的经典结果，刻画了凸函数在区间中点处的函数值与积分均值及端点函数值之间的关系。自Moore建立区间分析基础后，区间值函数的积分不等式成为活跃方向。Sadowska将Hermite–Hadamard不等式推广到区间值凸函数，后续研究进一步将其延伸至Riemann-Liouville分数阶积分、调和凸性和模糊区间值等情境。近期提出的cr-凸函数通过中心-半径序（center-radius order, cr-order）比较区间，提供了统一处理区间值凸性的框架。然而，已有结果多基于Riemann-Liouville分数阶积分，一致分数阶积分因其核函数含有幂函数与奇异加权项，需要不同的积分核处理与变量替换。因此，将Hermite–Hadamard型不等式从Riemann-Liouville框架推广到一致分数阶框架，并借助ANN实现多参数域上的快速数值近似，是本研究的主要动机。

## 研究内容与结论

研究人员首先利用一致分数阶积分算子，对cr-凸区间值函数建立了新的Hermite–Hadamard型不等式。该不等式通过参数的特殊选取可退化为Riemann-Liouville分数阶结果、经典区间值Hermite–Hadamard不等式以及实值一致分数阶结果，因此涵盖并推广了多个已知结论。随后给出显式数值算例，验证了所得不等式的有效性。在数值部分，研究人员构造了一个前馈ANN模型，对不等式左端、中端和右端的中心-半径形式进行回归拟合。使用幂律型端点函数生成5000个满足cr-凸条件的样本，按70%、15%、15%划分为训练、验证和测试集，以Levenberg–Marquardt反向传播算法训练网络。测试集上的决定系数（R²）、均方误差（mean squared error, MSE）、均方根误差（root mean squared error, RMSE）和平均绝对百分比误差（mean absolute percentage error, MAPE）表明ANN预测值与解析表达式高度一致。该研究表明，前馈神经网络能够有效逼近多参数的分数阶区间不等式，但ANN仅作为计算近似工具，不能替代解析证明。重要结论是：所建立的一致分数阶Hermite–Hadamard型不等式扩展了经典理论，而ANN分析为快速参数探索和可视化提供了可靠手段。

## 关键方法

研究采用的主要方法包括：（1）利用一致分数阶积分算子替代Riemann-Liouville算子，对cr-凸区间值函数进行积分处理；（2）采用中心-半径序比较区间值，并用中心-半径形式表示区间量；（3）选择幂律型端点函数，通过验证二阶导数非负性保证cr-凸性，生成数值样本；（4）构建含10个输入神经元、20个隐藏神经元和6个输出神经元的前馈ANN，使用Levenberg–Marquardt反向传播算法训练，并固定随机种子以确保可重复性；（5）以R²、MSE、RMSE、MAPE评价精度。研究不涉及样本队列来源。

## 主要结果

### 3. Hermite-Hadamard不等式与主要定理

该部分在一致分数阶积分算子定义下证明了定理8。定理8给出一个双端不等式，其证明基于cr-凸性定义、非负核函数与单调积分保持cr-序，并通过变量替换将积分化为一致分数阶积分形式。后续评注指出，通过参数退化可恢复Riemann-Liouville分数阶结果、经典区间值Hermite–Hadamard不等式以及实值一致分数阶结果。数值算例用显式区间值函数验证了不等式左端、中端和右端之间的cr-序关系，说明理论结果具有可验证性。

### 4. ANN分析

该部分为观察不等式左端、中端和右端三项在参数域上的数值行为，构造了前馈ANN模型。数据生成采用幂律型端点函数，并验证其满足cr-凸性；随后将区间量转换为中心-半径表示，以左端、中端和右端的中心与半径共六个分量作为网络输出。网络训练过程中的误差直方图显示预测误差集中在零线附近，说明ANN预测值接近精确值；均方误差曲线随训练轮次下降，训练、验证和测试曲线趋于一致，表明模型具有泛化能力；回归图显示网络输出与目标值之间有很强的一致性。最终，ANN对左端、中端和右端中心及半径分量的预测与精确值吻合，说明该网络能够很好地近似一致分数阶Hermite–Hadamard不等式中的各项。

### 5. 结论

研究人员在一致分数阶微积分框架下，对cr-凸区间值函数建立了Hermite–Hadamard型不等式，将经典区间不等式扩展至一致分数阶领域。通过适当选择参数，已有结果可作为特例被恢复。同时，ANN模型被用于研究不等式各项的数值行为，幂律采样函数被证明满足cr-凸性，并通过固定随机种子保证了完全可重复性。定量指标和回归方程显示解析表达式与ANN预测之间具有良好的一致性。该研究为分数阶区间不等式的数值探索提供了一种快速计算工具，也为进一步研究其他类型的区间值分数阶不等式提供了可借鉴的分析与计算结合路径。