冻结雅可比多步迭代求解器中奇异性解析表征的洛朗级数框架：在五阶Newton–Jarratt–Newton方法中的应用

《Mathematics》：A Laurent-Series Framework for Analytical Characterisation of Singularities in Frozen-Jacobian Multi-Step Iterative Solvers: Application to the Fifth-Order Newton–Jarratt–Newton Method

　　

研究人员建立了一种洛朗级数（Laurent-series）框架，用于对任意以参数(λ, α, β)参数化的三步冻结雅可比（frozen-Jacobian）迭代算子中的奇异性进行解析表征，其中λ控制预测步，(α, β)为权函数系数，并将该框架应用于五阶Newton–Jarratt–Newton（NJN）方法。研究确立了三项核心结果。其一，任一具有二次权函数（β≠0）的算子在f的每个简单临界点处均具有阶数为m = d(d+1)+1的极点，其中d为渐近多项式次数，该结论与λ和α无关；当β=0时极点阶数降为m = d+1，恢复经典Jarratt类结果。其二，对每个固定的λ，存在唯一的参数对(α*(λ), β*(λ))在五阶收敛约束下使洛朗留数|a-1|最小；对于NJN（λ=2/3）方法，显式解α*=1/4、β*=3/8首次从解析角度论证了这些设计取值的合理性。其三，洛朗有效性半径ρL = infzs∈S?{zc} |zc?zs|是单极点表示有效的精确域边界；满足|z0?zc| ? κ的初值可保证框架适用。

研究背景方面，非线性方程求根的高阶多步迭代法在工程与科学计算中应用广泛，其中冻结雅可比（frozen-Jacobian）策略通过减少雅可比矩阵重算次数提升效率。然而，此类算子在非根临界点附近的局部解析结构长期缺乏统一刻画，权函数形式与参数选择对奇异性阶数及收敛行为的影响机制不明，经典Jarratt类结果仅覆盖线性权函数特例。该研究正是为填补这一空白，在《Mathematics》发表，旨在给出任意三步冻结雅可比算子奇异性阶数的解析判据，并为五阶Newton–Jarratt–Newton（NJN）方法的参数设计提供严格依据。

关键技术方法上，研究人员构建了以(λ, α, β)参数化的三步冻结雅可比迭代算子通用形式，引入渐近展开与洛朗级数（Laurent series）在简单临界点邻域的局部表示，通过符号代数推导误差函数的极点结构；在此基础上定义洛朗留数（Laurent residue）|a_-1|作为奇异性强度度量，并在固定λ下以五阶收敛条件为约束求解(α, β)最小化问题；最后提出洛朗有效性半径（Laurent Validity Radius）ρ_L作为单极点表示成立区域的几何边界。

研究结果部分，摘要确立的三项结论在正文中对应如下内容。关于极点阶数表征，研究人员证明当权函数为二次（β≠0）时，算子在f的简单零点处误差映射具有阶m = d(d+1)+1的极点，d为渐近多项式度，结论独立于λ、α；β=0时退化为m = d+1，与经典Jarratt类一致。关于最优参数对，研究人员针对固定λ在五阶收敛约束下最小化|a_-1|，得出唯一解(α^*(λ), β^*(λ))；代入NJN的λ=2/3获显式α^*=1/4、β^*=3/8，从而首次解析解释该经验参数。关于洛朗有效性半径，研究人员定义ρ_L = inf_zs∈S?{zc}|z_c?z_s|，证明其为单极点洛朗展开有效的精确边界，初值满足|z₀?z_c| ? κ时迭代落入有效域。

讨论与结论翻译部分，研究人员指出该洛朗框架将奇异性阶数、最优权系数与有效性半径三者统一，既推广了Jarratt类线性权结论，又赋予NJN方法参数以留数极小化诠释；ρ_L的引入使迭代器局部适定性可由临界几何距离定量判定。结论为：任意三步冻结雅可比算子的极点阶数由权函数次数显式决定；五阶NJN的最优参数对为(1/4, 3/8)；洛朗有效性半径给出了单极点表征的真实边界，上述结果共同构成高阶冻结雅可比方法奇异性解析设计的理论基础。