基于年龄的依赖型k-out-of-n系统预防性替换方法：通过Copula-排名-模式概率实现

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：Age-based preventive replacement for dependent k-out-of-n systems via copula-ranking-pattern probabilities

　　摘要：预防性更换是冗余系统中的标准策略，但目前针对k-out-of-n:F结构的大多数分析成本模型仍假设组件之间相互独立且寿命连续。本文为组件寿命可能具有依赖性、且寿命可为连续或离散的异构系统构建了一个统一的可靠性维护框架。通过copulas引入依赖关系，而利用基于排序模式概率的表示方法来处理离散性和关联故障问题。该框架可得出系统故障时间分布以及基于年龄的更换策略下的长期平均成本率的一般表达式。对于2-out-of-3:F系统，分析结果给出了连续型、存在关联故障的离散型以及可交换离散型场景下的具体成本率公式，这些公式有助于明确依赖性对决策的影响。基于阿基米德copulas的数值实验表明，依赖性会显著改变最优预防性更换年龄，并影响最低成本率，从而凸显在维护决策中忽略依赖性或离散性所带来的偏差。

引言：在许多安全至关重要的工程应用中，系统设计者依靠诸如k-out-of-n:F结构之类的冗余子系统，以确保在组件出现故障时系统仍能持续运行。这类系统可见于电力系统的保护继电器、控制与安全电路中的投票单元，以及电信或处理网络中的备用模块，其中第k次故障往往会导致高昂的停机或维修成本。在这种情况下，维护管理人员面临着艰难的权衡：过早更换子系统会增加预防性更换成本和停机时间，而过晚更换则可能导致意外故障、更高的修复成本，以及系统可用性或安全性的下降。当组件寿命存在差异、受到相同的环境或负载条件影响，或者在实际操作中是在离散时间点进行检测或更换时，这种权衡会变得更加复杂。针对这些问题，本文研究了具有依赖性、非相同组件的k-out-of-n:F系统在连续型和离散型寿命模型下的基于年龄的预防性更换策略。本文采用k-out-of-n:F定义，即一旦至少有k个组件发生故障，系统即失效；反之，只要故障组件数量少于k个，系统就能继续运行。基于年龄的预防性更换策略在可靠性和维护领域已被广泛研究。Zhao等人[1]对单单元和多单元系统的年龄更换模型进行了全面综述。Safaei等人[2]分析了具有n个依赖组件的可修复串联和并联系统的年龄更换策略。Eryilmaz[3]为由独立指数型组件构成的二进制相干系统提出了基于特征的预防性维护策略预期成本率表示方法。Hashemi等人[4]为复杂的n组件相干系统提出了最优维护策略。Wang等人[5]为由n个独立、异构组件构成的串联和并联系统提出了广义预防性更换框架。最近，Asadi等人[6]回顾了多组件相干系统最优维护策略的各种方法。与本文最为相关的是，Eryilmaz和Bulanik[7]在假设组件独立的条件下，为离散型和连续型异构k-out-of-n系统推导出了年龄更换成本率。总体而言，这些研究证明了基于年龄的更换策略在众多系统中的应用效果。然而，目前大多数关于k-out-of-n结构的模型仍假设组件寿命相互独立且时间尺度连续，因此，在明确考虑依赖性及可能为离散型寿命的情况下，基于年龄的更换策略的相关研究相对较少。为分析诸如k-out-of-n结构之类的多组件系统的可靠性和维护性能，两种概率工具被证明特别有用：系统特征和copulas。系统特征能够以组件寿命的顺序统计量形式，简洁地表示相干系统的寿命；关于特征理论及其应用的详细内容可参见[8]。这一框架已从独立同分布的连续寿命的经典模型，扩展到包含异构、不可交换组件以及可能存在关联故障的离散寿命的情况[9]。另一方面，copulas通过将边际分布与其联合依赖结构分开，为建模组件寿命之间的依赖关系提供了灵活的工具，使得无需更改边际模型即可纳入各种正负依赖模式[10]、[11]。通过结合基于排序模式概率的特征表示方法与基于copulas的模型，可以在连续型和离散型时间环境下，直接用组件边际分布和合适的copula来表示系统故障时间分布，进而得到基于年龄的更换策略下的相关成本函数。尽管有了这些进展，但大多数将系统特征或基于copulas的依赖关系建模与维护优化相结合的研究，仍集中在单单元系统或结构较为简单的串联/并联系统上，且许多研究仍保留着独立性或连续时间假设。在基于特征的研究领域，近期有一些工作利用特征（或生存特征）为不同运行环境和维修假设下的相干多组件系统制定了维护或剩余寿命标准（例如[12]、[13]、[14]、[15]）。与此同时，也有基于copulas的维护模型被提出，用于捕捉更新、以可靠性为中心或计算机系统维护场景中的组件相互依赖关系（例如[16]、[17]、[18]、[19]、[20]），最近还有针对具有依赖组件的k-out-of-n系统的相关研究[21]。尽管如此，针对具有明确建模的依赖性和异构组件的k-out-of-n系统，基于年龄的预防性更换策略的相关研究仍然相对较少，尤其是当允许使用离散寿命模型和关联故障时间时。在这种场景下，同时涵盖连续型和离散型寿命、并能利用排序模式表示方法处理关联故障的统一公式仍然缺乏。此外，现有方法很少将灵活的copula依赖关系纳入系统故障分布和长期平均成本率的推导过程中。本文的主要贡献可总结如下：首先，我们为具有离散组件寿命的k-out-of-n:F系统开发了一种基于copulas、受特征启发的排序模式表示方法，该方法能够明确处理异构边际分布和关联故障时间问题。其次，我们以实际应用中较为重要的2-out-of-3:F系统作为研究对象，随后将分析范围扩展到一般的k-out-of-n:F结构，为具有依赖性、非相同组件的连续型和离散型寿命模型下的基于年龄的预防性更换策略，得出了系统故障时间分布和长期平均成本率的一贯表达式。第三，在可交换离散型场景下，我们得到了简洁的封闭形式结果，这些结果明确了copula的作用，并阐明了依赖性如何影响最优更换决策。最后，通过详细的数值研究，探讨了边际风险行为、依赖强度、copula类型（以Clayton和Frank copulas为例）以及成本参数如何共同影响最优预防性更换年龄和最低成本率，从而说明了在维护规划中忽略依赖性或离散性可能带来的误差。本文的其余部分结构如下：第2节介绍了基于copulas的依赖组件寿命建模框架，并定义了适用于具有离散寿命和可能关联故障的系统的一种基于特征的排序模式表示方法。第3节介绍了维护模型，并定义了基于年龄的预防性更换策略下的长期平均成本率。第4节将分析重点放在2-out-of-3:F系统上，为连续型、离散型以及可交换离散型依赖场景给出了具体的成本率表达式。第5节将分析扩展到一般的k-out-of-n:F系统，分别给出了连续型和离散型场景下的相应成本表达式。第6节通过数值实验，研究了边际寿命行为、依赖结构以及成本参数对最优预防性更换年龄的影响。最后，第7节对本文进行了总结，并探讨了可能的后续研究方向。

术语定义：考虑一个由n个具有离散寿命随机变量T1、T2……Tn的依赖组件构成的系统，其中第i个组件的边际累积分布函数为Fi，i=1……n。由于这些分布为离散型，因此两个或多个组件可能会同时发生故障。在本文中，组件寿命被假设为非负随机变量。在离散型场景下，随机向量T=(T1……Tn)的取值范围为Nn，其中N={1,2,3……}。我们约定对于所有的i=1……n，都有Fi(0)=0。

模型设定：在本文中，我们采用k-out-of-n:F配置，即当至少有k个组件发生故障时，系统就会失效；反之，只要故障组件数量小于k，系统就能继续运行。组件的维护可在时间τ进行预防性更换，或在系统发生故障时进行修复性更换，以先发生者为准。每次维护行动中，发生故障的组件会被新组件替换，而仍在运行的组件则会进行恢复处理。

2-out-of-3:F系统的分析：现在我们来分析一类名为2-out-of-3:F系统的特殊系统，这类系统的组件具有异构性。此类系统在三个组件中有两个发生故障时就会失效。换句话说，在这种特定情况下，只有当至少有两个组件正常工作时，系统才能正常运行。此外，我们还考虑了与预防性维护和修复性维护相关的实际成本结构。组件的更换可在预定的时间进行预防性更换。

一般k-out-of-n:F系统的分析：现在我们将之前的分析扩展到一般的k-out-of-n:F系统。在本节中，我们假设1≤k≤n，用T1……Tn表示各组件的寿命，用?Tsys?Tk:n表示系统寿命，即组件寿命T1……Tn的第k个顺序统计量。与之前类似，我们考虑基于固定时间τ>0的更换策略。如果Tsys≤τ，则在系统故障时进行修复性更换；而只要系统仍在运行，就在时间τ进行预防性更换。

边际分布和成本如何影响成本函数：在本小节中，我们研究边际寿命分布的结构和成本参数如何影响系统成本函数的行为。我们的目标是区分不同组件可靠性特性（通过不同的风险率形状体现）以及不同成本情景对最优更换策略的影响。为了分离这些影响，我们分析了两种依赖关系情况：独立性（乘积copula）以及由Clayton copula建模的依赖关系情况。

结论与未来工作：本文开发的框架将基于特征的排序模式表示方法与copula模型相结合，用于分析具有异构、依赖组件以及连续型和离散型寿命的k-out-of-n:F系统的基于年龄的预防性更换策略。从结构层面来看，我们展示了这种基于弱顺序关系的排序模式表示方法，如何为离散寿命模型中关联故障的处理提供自然框架，以及如何表达……

CRediT作者贡献说明：Nuria Torrado：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，可视化，验证，监督，软件，方法论，研究，形式分析，概念构思。Murat Ozkut：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，可视化，验证，监督，软件，方法论，研究，形式分析，概念构思。

利益冲突声明：作者声明他们不存在任何已知的可能影响本文所报告工作的财务利益或个人关系。

Nuria Torrado | Murat Ozkut