具有超线性增长系数的随机微分方程的随机θ方法的不变测度

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Invariant measures of the stochastic theta method for stochastic differential equations with super-linearly growing coefficients

　　摘要：本文提出随机θ方法，用于近似那些漂移系数和扩散系数都可能呈超线性增长的随机微分方程的不变测度。首先，我们证明了由随机θ方法生成的数值解对应的数值不变测度的存在性与唯一性；接着，证明了该数值不变测度会收敛于相应随机微分方程的精确不变测度。此外，我们还通过一些数值模拟来验证这些理论结果。这项工作可视为[Y. Jiang等人，《数值算法》83(4)(2020)，第1531–1553页]中结果的延伸，将其应用到扩散系数呈超线性增长的情形。由于向后欧拉-马鲁亚马方法其实是随机θ方法的一种特例，因此本研究所得结果也可视为[W. Liu等人，《应用数值数学》184(2023)，第137–150页]中关于向后欧拉-马鲁亚马方法结果的推广，将其应用到随机θ方法上。

引言：随机微分方程的不变测度有着广泛的应用。在经典的种群模型中，不变测度与物种的持续存在性密切相关[1]、[2]；在生成型扩散模型中，不变测度既是前向噪声过程的稳定终态分布，也为逆向生成过程提供了明确的靶分布，从而确保了理论上的稳定性与采样一致性[3]、[4]。尽管不变测度在诸多领域都具有重要意义，但其显式形式往往难以获得。因此，选择合适的数值方法来近似不变测度并开展严谨的数值分析显得极为重要。本文采用随机θ方法，探讨其近似具有超线性增长系数的随机微分方程的不变测度的能力。

随机θ方法是一类用于处理随机微分方程的数值方法——因为将θ设为零即可得到经典的欧拉-马鲁亚马方法，而将θ固定为1则可得向后欧拉-马鲁亚马方法[5]。作为最常用的数值方法之一，随机θ方法已被广泛应用和研究。接下来，我们首先从不同角度梳理现有的关于随机θ方法的文献，随后再介绍本文的研究目的及主要贡献。

近几十年来，随机θ方法已被应用于各类随机微分方程。Higham等人研究了具有马尔可夫切换结构的随机微分方程[6]；Huang将其应用于随机延迟微分方程[7]；Li和Gan则用它处理随机延迟积分微分方程[8]；Liu等人研究了带延迟的随机霍普菲尔德神经网络[9]；Chen等人考察了一类具有随机周期解的随机微分方程[10]；Niu等人探讨了自由随机微分方程的相关问题[11]；Yuan和Zhu则将其用于随机麦肯-弗拉索夫方程[12]。即便使用标准布朗运动之外的噪声来驱动随机微分方程，随机θ方法在数值近似中依然有其作用。Li等人将其应用于由分数布朗运动驱动的随机微分方程[13]；Wang等人则用它处理由泊松跳跃过程驱动的某些随机微分方程[14]；Chen等人研究了由时变莱维噪声驱动的随机微分方程[15]。

如果不对θ取零值，随机θ方法属于隐式方法。隐式方法的一个天然优势在于能够处理具有超线性系数的随机微分方程。在有限时间强收敛性方面，Wang等人在一定的耦合单调性条件下，证明了随机θ方法对于随机微分方程的平均平方收敛速率[16]；在平凡解的稳定性方面，Zong和Wu研究了随机θ方法的平均平方指数稳定性，并分析了不同θ值对处理超线性系数的影响[17]；在近似随机微分方程的精确不变测度方面，Jiang等人利用随机θ方法，对那些漂移系数呈超线性增长但扩散系数仍满足线性增长条件的随机微分方程的不变测度进行了数值近似[18]。

在本文中，我们进一步证明了：即便扩散系数也呈超线性增长，由随机θ方法生成的数值不变测度依然会收敛于精确的不变测度。因此，本文的结果可视为对[18]中结果的拓展，将其应用到了漂移系数和扩散系数都呈超线性增长的随机微分方程场景。如前文所述，向后欧拉-马鲁亚马方法是θ值为1时的随机θ方法特例，因此本文的结果也可视为对[19]中关于向后欧拉-马鲁亚马方法结果的推广。需要说明的是，[18]和[19]中的技术无法直接用于得到本文的结果——当θ取小于1的值时，随机θ方法中仍存在显式部分，我们需要对其进行处理。

与Jiang等人的[18]相比，允许扩散系数呈超线性增长会给矩估计和耦合估计带来更多困难。在[18]所设定的线性增长和全局利普希茨条件下，|g(x)|2和|g(x)?g(y)|2这两个量可以直接通过1+|x|2和|x?y|2来控制，但对于呈超线性增长的扩散系数而言，这样的估计方式并不适用。在本文中，我们利用耦合强制性和单调性条件，同时控制漂移项和扩散项。通过引入Mk=Xk?θhb(Xk)和Rk=(Xk?Yk)?θh(b(Xk)?b(Yk))，我们得到了形式为(2θ?1)h2|b(Xk)|2和(2θ?1)h2|b(Xk)?b(Yk)|2的额外负耗散项。这些项对于建立均匀矩界和指数耦合估计至关重要。此外，当θ＜1时，与向后欧拉-马鲁亚马方法相比，显式的漂移项需要额外的处理。

在结束第一节之前需要指出，还包括截断欧拉法、驯化欧拉法、投影欧拉法、米尔斯坦法以及显式稳定化方法在内的多种其他数值方法，也被用于近似随机微分方程的不变测度[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]、[28]，相关内容可参考这些文献及其引用的文献。

本文的其余结构如下：第二节介绍数学基础并重新阐述随机θ方法；第三节阐述并证明主要结果；第四节给出数值算例；第五节则总结全文、讨论相关问题并展望未来研究方向。

数学预备知识：在本节中，我们将为本文后续内容给出一些基本设定、符号说明以及有用的引理。在整篇论文中，我们均以完备概率空间(Ω,F,P)作为研究背景。若a为向量，则用欧几里得范数表示其大小，若a为矩阵，则用希尔伯特-施密特范数表示其大小。欧几里得空间中向量a和b的内积记为?a, b?。a和b中的较大值记为a∨b，较小值记为a∧b。对于向量或矩阵a，aT表示其转置矩阵。

主要结果：在本节中，我们证明了由随机θ方法生成的数值解对应的不变测度的存在性与唯一性，同时探讨了该数值不变测度向对应真实不变测度的收敛性。为了证明数值不变测度的存在性与唯一性，我们首先建立了两个辅助结果：引理3.1给出了数值解的均匀二阶矩界，而引理3.2则展示了指数平均平方...

数值算例：本节我们通过两个数值算例来验证上述理论结果。算例4.1考虑一个具有超线性系数的标量均值回归型模型：dX(t)=(1?2X(t)?5X3(t))dt+X2(t)dW(t)，初始条件为X(0)=5。在此模型中，b(x)=1?2x?5x3，g(x)=x2。很容易验证假设2.1-2.3成立——实际上，假设2.1在q=3、L=8的条件下成立；假设2.2在l1=4、β=4的条件下成立；假设2.3在l2=9、c1=1、α=3的条件下成立。因此根据第三节中的定理，可知存在...

结论、讨论与未来研究：本文采用了随机θ方法，来近似那些漂移系数和扩散系数中包含超线性项的随机微分方程的不变测度。我们证明了由随机θ方法生成的数值解对应的数值不变测度的存在性与唯一性，同时也证明了该数值不变测度会收敛于相应随机微分方程的精确不变测度。由于在推导过程中使用了二阶矩，相关系数...

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究的利益冲突或个人关系。

作者贡献：所有作者对本文的贡献程度相同，姓名按字母顺序排列。

CRediT作者贡献说明：李晓彤：撰写原始稿件、获取研究资金、进行形式化分析、负责数据整理；刘伟：参与文章审阅与编辑、承担研究指导工作、开展相关调研、获取研究资金；肖文杰：撰写原始稿件、进行形式化分析、参与概念构思。

利益冲突声明：作者声明不存在任何已知的、可能影响本文研究的财务利益或个人关系。

李晓彤|刘伟|肖文杰
中国南京，江苏第二师范学院数学系，邮编210013