基于多尺度Gegenbauer小波的自适应阈值去噪方法在分数阶时滞系统参数识别中的应用

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Robust parameter identification of fractional-order time-delay systems via multiscale Gegenbauer Wavelet-based adaptive threshold denoising

　　摘要：分数阶时滞系统能够有效描述具有记忆效应和时滞特性的被控对象的动态行为，在物理学、生物医学以及智能控制领域有着重要应用。然而，分数阶参数、时滞参数与系统参数之间的耦合关系，再加上测量信号中的噪声干扰，使得参数识别过程十分复杂，识别精度较低且系统鲁棒性较差。为解决这些问题，本文提出了一种基于多尺度Gegenbauer小波自适应阈值去噪的分数阶时滞系统鲁棒参数识别方法。该方法通过为分数阶积分算子与时滞积分算子构建Gegenbauer小波运算矩阵，将分数阶时滞系统模型转化为代数方程组，从而降低计算复杂度并提升数值稳定性。针对含噪声的信号，该方法还引入了多尺度自适应阈值去噪策略，并结合分尺度识别与最优尺度选择，以在保留系统主要动态特性的同时提高参数估计的精度与鲁棒性。随后，通过非线性最小二乘优化实现分数阶参数、系统参数及时滞参数的联合估计。仿真结果表明，该算法能够对分数阶线性和非线性时滞系统实现高精度的参数识别，并且在不同噪声水平下仍具备良好的鲁棒性。此外，通过液晶光学相控阵波束控制的动态建模与实验数据分析，进一步验证了该方法在实际工程系统中的应用效果与潜力。

引言：许多实际工程系统在动态演化过程中表现出显著的记忆性、时滞特性和非局部特性，这给系统建模与分析带来了日益严峻的挑战。由于微分算子固有的局部性，传统的整数阶模型往往无法准确描述这类复杂的动态行为。相比之下，分数阶系统为刻画这类系统的历史依赖关系及动态演化规律提供了更为有效的框架[1]–[4]，因此被广泛应用于控制工程[5]–[8]、信号处理[9]–[12]、生物医学[13]–[15]、粘弹性力学[16]–[19]以及电磁学[20]–[22]等领域。不过，要利用分数阶模型准确描述复杂工程系统的动态行为，关键在于高精度的模型参数识别。由于这类模型的结构较为复杂，需要识别的参数数量众多，且与分数阶参数、时滞参数及系统系数之间存在强耦合关系。尤其是分数阶参数的变化会对系统动力学产生显著影响，使得参数识别过程更加复杂，容易降低识别精度。同时，实际工程系统不可避免地会受到测量噪声、环境干扰以及随机扰动的影响，这些噪声会掩盖系统的真实动态特性，削弱识别算法提取有效信息的能力，从而导致参数估计出现偏差甚至结果失真。累积的识别误差还会进一步降低模型捕捉被控对象动态特性的能力。因此，针对复杂噪声环境下的分数阶系统开发有效的参数识别策略，对于提升识别精度、增强噪声鲁棒性以及保证模型真实性而言，具有重要的理论与现实意义。

近期研究从多个角度探讨了分数阶时滞系统的参数识别问题。现有方法主要分为两类：第一类是将参数识别问题视为非线性优化问题，利用智能优化算法来估计未知参数；第二类则是通过正交函数或基函数展开来近似分数阶算子，进而将原有的积分-微分方程转化为代数方程以便进行参数估计。基于优化的方法通常通过构建输出误差、频域误差或状态残差等目标函数，将分数阶参数、时滞参数及系统参数的联合估计转化为非线性优化问题，再借助差分进化、粒子群优化以及递归最小二乘等方法求解。这类方法在模型构建方面具有灵活性，适用范围较广，非常适合参数耦合较强的复杂系统。Wang等人[23]在频域框架下将子空间识别与差分进化算法相结合，实现了含时滞分数阶系统的参数联合估计。Narang A等人[24]通过构建线性回归模型来识别系统参数、分数阶参数及时滞参数，并分析了该方法在白噪声条件下的适用性。Zhang等人[25]以及Mansour R等人[26]则分别基于递归识别策略与混合粒子群优化-向量拟合方案，实现了分数阶时滞系统参数的分层或联合估计。尽管这类方法具有很强的灵活性和通用性，但它们本质上依赖于迭代搜索，因此往往存在计算成本高、对初始值敏感以及易陷入局部最优的问题。尤其是在强噪声干扰、系统结构复杂或需识别参数数量众多的情况下，目标函数的全局结构会变得更加复杂，这不仅会影响参数估计的数值稳定性，还会降低识别精度。

与基于优化搜索的方法相比，基于正交函数的代数识别方法主要是从函数逼近的角度来解决这一问题。这类方法通过使用正交多项式、调制函数或小波基函数来近似分数阶积分算子与微分算子，将原有的分数阶微分方程转化为代数方程或参数线性化方程，从而实现系统参数的识别。Li等人[27]基于频域信息，将分数阶系统的参数估计问题转化为一系列非线性方程的求解问题。Gao等人[28]引入了多项式调制函数，并将其与分数阶分部积分相结合，将待识别系统转化为代数方程。Ahmed S等人[29]则通过积分方程方法来识别分数阶模型的参数与时滞项。此外，勒让德小波、切比雪夫小波以及哈尔小波[30]–[34]也被用来构建分数阶积分或微分的运算矩阵，旨在提高识别的代数化程度与计算效率。这类方法在一定程度上可以避免对分数阶微分项进行直接的数值离散化，因而具有公式表述清晰、求解效率较高以及数值实现相对稳定等优点。不过，现有的大多数方法都依赖于固定的基函数展开形式，缺乏针对系统动态变化、强参数耦合以及时滞效应的自适应调整能力。而且在噪声环境下，固定基函数展开难以有效区分有效的动态信息与噪声成分，这可能会引入近似误差，降低参数估计的精度。特别是对于那些结构复杂且受到强噪声干扰的分数阶时滞系统，其鲁棒性及抗噪声能力仍有进一步提升的空间。

综上所述，现有的基于优化搜索的方法在多参数联合估计方面具有较大的灵活性，但在高维参数空间以及噪声环境中，它们往往存在计算成本高、对初始值敏感以及易收敛到局部最优等问题。而基于正交函数的代数识别方法虽然能够避免对分数阶导数进行直接数值计算，但目前采用勒让德、切比雪夫、哈尔等小波的方法大多依赖于固定基函数，这限制了它们对不同动态特性和噪声分布的自适应表达能力。尤其是当分数阶参数、系统系数与时滞参数之间存在强耦合关系时，测量噪声还可能因分数阶运算与时滞计算而被进一步放大，进而降低参数识别的精度以及模型输出重构的性能。因此，本研究要解决的核心问题是如何在避免对分数阶项进行直接数值微分的前提下，提升含噪声分数阶时滞系统的参数识别精度、数值稳定性以及噪声鲁棒性。

本研究旨在解决在噪声测量条件下，分数阶时滞系统中系统系数、分数阶参数及时滞参数的联合识别问题。为了克服传统数值微分方法容易放大测量噪声、固定正交基函数缺乏参数可调性，以及传统时滞项离散化方案精度不足等缺陷，本文提出了一种基于多尺度Gegenbauer小波自适应阈值去噪的鲁棒参数识别方法。首先，利用参数化的Gegenbauer小波构建分数阶积分运算矩阵与时滞运算矩阵，将分数阶时滞微分模型转化为代数矩阵模型。随后，通过对观测信号进行基于尺度特征的噪声估计与自适应阈值收缩处理，并根据验证误差选择合适的分解尺度。最后，采用带约束的非线性最小二乘方法来联合估计系统系数、分数阶参数及时滞参数。

本研究的主要贡献如下：(1) 构建了Gegenbauer小波分数阶积分运算矩阵与时滞运算矩阵，将分数阶线性和非线性时滞系统的微分模型转化为有限维代数矩阵模型。这种表述方式避免了對含噪声观测信号进行直接数值微分，为系统系数、分数阶参数及时滞参数的联合识别提供了统一的代数表达形式。(2) 提出了一种多尺度Gegenbauer小波自适应阈值去噪方法。该方法利用Gegenbauer小波的参数可调性及多尺度局部表征能力，根据不同尺度下小波系数的统计特征自适应确定阈值；同时引入了低阶系数保留策略，以减少去噪过程中有效系统动态信息的损失。(3) 构建了一个集成多尺度去噪、尺度依赖型参数识别以及最优尺度选择的识别框架。该方法通过在不同尺度下利用重构信号分别进行参数估计，并根据已识别模型的输出误差来确定最优尺度，从而在噪声抑制与保持系统动态特性之间取得平衡。(4) 通过分数阶线性时滞系统、分数阶非线性时滞系统以及液晶光学相控阵波束操控系统的实验数据，对所提出的方法进行了验证。同时与基于哈尔小波、切比雪夫小波及勒让德小波的方法进行了比较，以评估该方法的参数识别精度、噪声鲁棒性以及工程应用价值。

问题表述与Gegenbauer小波运算矩阵的构建：本节首先给出了本研究中所分析的分数阶时滞系统的数学描述，并明确了相应的参数识别目标。随后简要介绍了后续推导中所需的Caputo分数阶导数、分数阶积分以及Gegenbauer小波的基本原理。在此基础上，构建了用于分数阶积分运算及时滞运算的Gegenbauer小波运算矩阵。

基于多尺度Gegenbauer小波自适应阈值去噪的参数识别方法：实际工程中的分数阶时滞系统常常会受到测量噪声、环境干扰以及采样误差的影响，从而导致输入输出数据中存在较强的噪声成分。噪声的存在会降低系统动态特性的可辨识性，进而降低分数阶参数、时滞参数及系统系数的估计精度。尤其是对于分数阶时滞系统而言，其动态特性...

数值仿真：为验证基于多尺度Gegenbauer小波自适应阈值去噪的分数阶时滞系统参数识别方法在噪声环境下的有效性及鲁棒性，本文开展了系统的数值仿真实验。考虑到测量误差与环境干扰在实际工程系统中普遍存在，这些数值仿真主要在含有噪声的条件下进行。

实验验证：为验证所提出的参数识别方法在真实系统中的适用性，本研究选取了液晶光学相控阵波束操控系统作为实验对象。在实际运行过程中，该系统具有明显的时滞特性、动态非理想性以及噪声干扰，这些特点很好地反映了工程应用中分数阶时滞系统参数识别的实际挑战。

结论：为解决分数阶时滞系统在噪声干扰下识别精度低且鲁棒性差的问题，本文提出了一种基于多尺度Gegenbauer小波自适应阈值去噪的鲁棒参数识别方法。在该方法中，通过构建用于分数阶积分算子与时滞积分算子的Gegenbauer小波运算矩阵，将分数阶时滞系统模型转化为一系列代数方程。

资金支持：本研究得到了陕西省教育厅重点科学研究计划项目的资助[项目编号：25JR084]。

作者贡献说明：余金阳：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、验证、软件、方法论、研究、形式分析、概念构思。王春阳：撰写——审阅与编辑、监督、资源协调、项目管理、方法论、资金获取、概念构思。刘学莲：写作——审稿与编辑、指导、概念设计。谢达：写作——审稿与编辑、指导、项目管理。于晓宁：写作——审稿与编辑、指导。利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文所述工作的已知财务利益或个人关系。于金阳|王春阳|刘学莲|谢达|于晓宁|金继良中国吉林省长春市130022，长春科技大学电子与信息工程学院