《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Adaptive tracking control of uncertain robots using a novel fractional barrier function
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摘要：本文探讨了针对存在不确定性及性能约束的机器人的神经网络跟踪控制方法。该方案设计了一种新型的预定时间性能函数，其初始下降率可调节，且能提前指定设定时间。此外，还提出了一种新的分数阶屏障函数，与积分型和对数型屏障函数不同，它在系统稳定性证明过程中无需不等式条件。借助该性能函数预
摘要：本文探讨了针对存在不确定性及性能约束的机器人的神经网络跟踪控制方法。该方案设计了一种新型的预定时间性能函数，其初始下降率可调节，且能提前指定设定时间。此外，还提出了一种新的分数阶屏障函数，与积分型和对数型屏障函数不同，它在系统稳定性证明过程中无需不等式条件。借助该性能函数预设误差边界，可将受限误差规范化到(-1,1)区间内。通过反步法，利用规范化误差的分数阶屏障函数设计出机器人控制器。最终，仿真结果验证了该控制策略在保证系统瞬态和稳态性能方面的有效性。
引言：近几十年来，人们采用了多种先进的设计技术来解决机器人控制问题。例如，有研究为两连杆机器人操作臂设计了模糊逻辑跟踪控制器，并将其应用于解耦的三连杆操作臂中[1]。在[2]中，神经网络被用来解决机器人跟踪系统中的死区问题和未知动态问题。为确保机器人跟踪系统的状态能在有限时间内达到滑动面，[3]中提出了一种新的滑模控制策略。在[4][5]中，人们研究了将神经网络与输出反馈技术结合使用，以应对操作臂中不可观测的状态和动态特性。在[6][7][8]中，提出了几种基于状态反馈的神经控制方法，用以降低未知动态对机器人控制的影响。然而，这些研究都是在没有约束条件的情况下对机器人操作臂系统进行控制，且依靠神经网络来处理系统中的未知部分以实现所需控制效果。当存在约束时，这些方法可能会影响机器人系统的控制性能。为减少约束对闭环机器人跟踪系统控制性能的影响，必须妥善处理机器人约束问题。[9]中描述了在非线性系统中首次应用屏障李雅普诺夫函数来防止输出恒定约束的违反。在[10][11]中，对称恒定对数屏障函数被用于机器人操作臂，以防止输出恒定约束的违反。在[12][13]中，时不变对数屏障函数也被用于解决不确定机器人的全状态约束问题。[14][15]分别采用切线恒定屏障函数和自适应模糊控制来应对约束和系统不确定性，以确保不会违反机器人的限制条件。为进一步提高受限控制的精度，[16]提出了基于事件触发的控制方法，并结合指令滤波误差补偿，有效降低了滤波误差，简化了控制器设计。上述研究结果表明，机器人系统的约束要求通常是时不变的。如果约束边界变为随时间变化的状况，前述的屏障函数将不再适用。为抑制不确定性对机器人控制系统的影响并防止约束违反，[17]中研究了基于时变切线屏障函数的神经控制方法。在[18]中，对称对数屏障函数被用于处理机器人系统中时变的状态约束。然而，机器人系统的约束要求往往是非对称的。借助分段函数，对称对数屏障函数被改进为能够处理非对称约束情况的形式[19]。在[20][21][22]中，非对称对数屏障函数被用于为具有时变输出限制的机器人操作臂设计跟踪控制器。基于此，本文提出了一种新型的分数阶屏障函数，它无需在稳定性证明中使用不等式条件。除上述函数外，常用的屏障函数还包括积分型屏障函数[23][24][25]，但由于积分型屏障函数无法直接约束误差，因此无法满足本研究中的性能约束要求。除了状态约束和输出约束外，还需考虑机器人系统的瞬态和稳态性能限制。解决性能约束控制问题的一种方法是预定性能控制，该方法最初由[26]提出。预定性能控制利用传统的指数型性能函数，将受限跟踪问题转化为误差稳定化问题。在此基础上，[27]采用带有预定义跟踪误差边界的预定性能控制，实现了传感器故障检测与补偿，从而为机器人操作臂提供了具有快速固定时间容错能力的控制方案，同时保证了系统的瞬态和稳态性能。通过该性能函数，原有的性能约束控制问题被转化为对变换误差的调控问题。这一思路为后续发展多种基于性能函数的约束控制技术提供了灵感[28][29][30][31][32][33]。受上述研究的启发，[34]进一步发展了一种基于预定性能的自适应鲁棒控制策略，结合基于模糊的成本函数优化，以应对模糊不确定性，实现机器人操作臂良好的瞬态和稳态跟踪性能。此外，[35]改进了传统的预定性能函数，实现了对性能函数下降率的灵活调整，从而优化了系统的瞬态和稳态跟踪性能。与传统的指数型性能函数不同，[36]将预定性能控制应用于具有随机噪声的柔性关节操作臂系统，将跟踪误差限制在预定义的范围内。通过引入速度函数，操作臂可在进入残差区域之前按照预定义的速度收敛，从而消除初始条件对跟踪性能的影响。[37]中的有限时间预定性能控制方案通过正的时变性能界限和可行的初始误差约束，将跟踪误差限制在预定义范围内，确保规范化后的变换误差始终严格保持在(-1,1)区间内。[38]提出了一种针对存在不确定性和干扰的机器人操作臂的单调管形预定性能控制方法。该方法通过滑动函数消除了传统预定性能控制的初始可行性约束，并借助预定义时间的辅助系统和模糊近似提高了控制的鲁棒性。对于具有时变非对称输出约束的非线性且强耦合的串联操作臂系统，[39]设计了一种全局预定义时间的非奇异终端滑模预定性能控制方案。该方法通过分解操作臂子系统简化了控制器设计，并构建了一个与初始状态无关、具有可调稳定时间的预定性能函数，从而实现预定义时间的跟踪误差收敛。然而，上述大多数预定性能控制方案都依赖于误差变换，这增加了控制器设计的复杂性。将预定性能函数与屏障函数相结合，可以有效解决这一问题。近年来，借助屏障李雅普诺夫函数，性能约束问题已逐渐转化为类似状态约束的问题[40][41]。例如，在[42]中，就使用了指数型边界函数和对称对数屏障函数来防止性能约束的违反。为确保机器人系统的瞬态和稳态性能，有研究基于传统性能函数和非对称对数屏障函数设计了跟踪控制器，将指定的性能边界作为时变约束条件[43]。此外，还有研究为受限非线性系统开发了动态事件驱动的自适应动态规划方法，旨在在多玩家非零和微分游戏中降低计算和通信开销，同时保持最佳的跟踪性能[44]。前述文献中推荐的性能控制策略虽能有效保障非线性系统的性能，但无法控制达到稳态边界所需的时间。为提升航天器姿态跟踪性能，[45]采用了一种新的有限时间性能函数。为解决现有复合控制方法中不可控的收敛时间问题，[46]将预定义时间稳定性理论与预定性能控制及屏障函数策略相结合。该方法采用基于伯恩斯坦多项式的预定性能函数和指数型屏障李雅普诺夫函数，对全部误差演化进行约束，从而为不确定的机器人操作臂实现精确的预定义时间跟踪控制。据作者所知，目前关于机器人操作臂的预定时间性能跟踪控制的公开研究非常少，如何在预定时间内实现所需的控制性能仍是一个未解之题。基于前述讨论，本文设计了一种新型的预定时间性能函数，作为位置误差的约束边界。随后，又提出了一种新的分数阶屏障函数，可与神经网络及预定时间性能函数相结合，从而确保机器人系统的跟踪控制性能。以下是本文的主要贡献总结：•提出了一种新的纯分数阶屏障李雅普诺夫函数。基于该屏障函数的控制方法能够处理对称和非对称约束问题。与现有的对数型及积分型屏障函数[11][18][20][23][24]不同，基于该屏障函数设计的控制器在系统稳定性分析过程中无需额外的不等式条件。•提出了一种新型的预定时间预定性能函数，其基数可变。与大多数现有的机器人跟踪控制研究[42][43]中采用的固定指数基数不同，该函数使得指数衰减特性可以灵活调整，同时也能任意设定跟踪误差进入预定义稳态边界的预定时间。•借助所构建的函数f(Υi)，可通过合理选择控制参数，使受限误差在性能约束范围内呈指数级收敛到接近零的值。此外，还利用神经网络提升了机器人跟踪系统的鲁棒性。
章节节选：机器人的动力学：n连杆刚性机器人的动态模型如[12][22]所示：M(q)q¨+C(q,q˙)q˙+G(q)=τ(t)?JT(q)f(t)，其中q、q˙和q¨分别表示关节角度（位置）、角速度和角加速度。为便于推导机器人控制器，我们令χ1=q，χ2=q˙，此时动态模型(1)可转化为状态方程：{χ˙1=χ2，χ˙2=M?1(χ1)(τ(t)?Mcg)}，其中Mcg(χ1)=JT(χ1)f(t)+C(χ1,χ2)χ2+G(χ1)，M为n×n阶的对称正定惯性矩阵，C(χ1,χ2)属于Appointed-time prescribed performance control design：为使规范化变量Υi始终处于|Υi|?
