用于同轴直升机建模与控制的自学习物理信息Koopman神经网络：PIKoopman

《Control Engineering Practice》：Self-learning physics-informed Koopman neural networks for coaxial helicopter modeling and control: PIKoopman

　　摘要：本文提出了一种基于深度神经网络和Koopman算子的物理信息驱动的共轴直升机动力学建模框架。首先，构建了结构化的Koopman公式，以确保模型的物理可解释性和因果一致性。具体而言，该方法在构建观测量时加入了运动学和动力学拓扑约束，同时在网络训练过程中引入基于物理的正则化项。其次，为提高建模效率，提出了基于差分进化超带法的超参数优化策略。该策略通过优化兼顾精度与可控性的联合目标，自动完成观测量的构建过程。此外，还设计了一种自适应时间窗模型预测控制器，当满足终端状态条件时，通过动态缩短预测时间窗来降低计算复杂度。实验结果表明，所提出的PIKoopman方法在噪声环境下具有更高的建模精度，而其学习得到的模型借助自适应预测时间窗机制，能有效减轻在线计算负担。

引言：共轴直升机因其高效性及操作灵活性而备受关注。然而，其动力学模型本质上具有非线性、强耦合特性，并且存在多种不确定性因素（Coleman, 1997; Wang, Phang, Cui, Cai, Chen, Lee, 2012）。这种复杂性源于流场的旋转特性、流动的非稳态性以及空气粘性等因素（Shukla等，2017）。此外，高速旋转时叶片尖端产生的跨音速激波会严重影响气动性能，进而引发振动和声学噪声（Doerffer, Szulc, Embuena, Suarez, 2014; Yuan, Zhu, 2015）。再者，风速变化和湍流等外部干扰还会进一步加剧这些不确定性。以往关于共轴直升机动力学的研究大多采用基于第一性原理的建模方法。传统方法通常结合刚体运动学与风洞实验（Chen等，2018），或运用叶元理论和非均匀来流方法来近似计算气动载荷（Chen, Xiao, Zheng, Alagappan, Feroskhan, 2024; Koehl, Rafaralahy, Boutayeb, Martinez, 2012; Xu, Wang, Chen, Li, 2022）。基于频率响应的系统识别方法也被尝试过（Lin等，2013），但通常仅限于在特定工作点附近的线性近似。因此，这类方法往往需要一些简化假设，从而可能忽略关键的固有非线性动力学特征，限制了其通用性。Koopman算子理论提供了一种数据驱动的建模方法，它能将非线性系统映射到希尔伯特空间中，仅基于输入输出数据就能得到线性表示（Brunton, Budi?i?, Kaiser, & Kutz; Tan, Xue, Guo, Li, Cao, Chen, 2025）。虽然深度学习技术显著推动了观测函数自动发现进程（Han, Hao, Vaidya, 2020; Jin, Hou, Ge, Gao, Yi, Li, Feng, Zhong, 2025; Lusch, Kutz, Brunton, 2018），但纯数据驱动的方法在数据有限或存在噪声时往往无法保持物理一致性。物理信息神经网络则为这一问题提供了有力解决方案，它通过嵌入物理定律来提升模型的泛化能力。已有研究开发了如PIKN这样的方法（Liu等，2024），它们通过在损失函数中加入正则化项来强制遵循物理约束，从而引导训练过程。另外，由于同一个物理系统在高维空间中可能存在多种数学上线性化的表示形式，因此人们还引入了能量差约束来确保物理一致性（Wang等，2024）。类似の物理损失策略也在其他研究中得到应用，其在工业领域的灰箱时间序列预测中展现出良好效果（Liu, Yan, Cao, Ma, Zhao, Liu, 2025; Yan, Han, Law, Yin, 2025）。但对于机械系统而言，仅依靠软正则化而不明确嵌入系统的拓扑结构是不够的。忽视结构信息往往会导致运动学和动力学耦合关系无法被准确捕捉，从而使生成的线性模型中出现虚假的代数耦合关系，违背因果关系。因此，将严格的反馈结构约束明确嵌入建模过程中，对于保证模型的物理合理性至关重要。尽管基于学习的Koopman方法提升了建模精度，但手动调整深度神经网络架构仍然耗时且计算成本高昂。为解决这一问题，本文采用了基于强盗算法的超参数优化策略，即将超带法与差分进化法相结合，形成一种名为差分进化超带法的混合优化方法（Awad等，2021）。该方法通过采用多保真度策略来加速优化过程，通过对目标函数进行低成本近似，同时优化连续型和离散型的超参数，如学习率、批量大小以及神经元数量。通过有效利用并行计算资源，DEHB能够自动为不同旋翼尺寸和飞行环境下的无人机确定最优网络配置，大幅降低计算成本。模型预测控制作为一种基于优化的控制方法，被广泛应用于无人机（Folkestad, Wei, Burdick, 2022; Narayanan, Tellez-Castro, Sutavani, Vaidya, 2023）、自动驾驶车辆（Cibulka, Hani?, Korda, Hrom?ík, 2020; Xiao, Zhang, Xu, Liu, Liu, 2022）以及无人水面艇（Li等，2022）的控制中。它能够在考虑各种约束条件的情况下，逐时间步解决最优控制问题（Korda and Mezi?, 2018）。虽然模型预测控制所采用的在线滚动优化策略能够及时纠正误差，但传统的模型预测控制公式在处理高维状态变量时往往会面临计算难题，尤其是在那些计算资源有限的直升机系统中（?awryńczuk, 2024）。为解决稳定性与计算效率之间的平衡问题，本文提出了自适应时间窗模型预测控制方案。AHMPC（Griffith等，2018）能够根据运行需求动态调整预测时间窗的长度，当系统状态接近终端不变集时，通过缩短时间窗来降低计算负荷。本文旨在通过提出物理信息Koopman框架，解决在强气动耦合和外部干扰条件下对共轴直升机动力学进行建模的问题。该框架能够同时确定最优超参数和观测函数，从而准确捕捉系统的复杂动力学特性。本文的主要贡献如下：1）针对共轴直升机的结构特点，构建了结构化的Koopman算子建模框架。利用直升机动力学中固有的严格反馈结构，构建了有限维的Koopman近似模型，确保所学到的线性模型既能准确反映系统的物理拓扑结构，又能保持一定的近似精度。2）提出了一种基于物理信息的自动化Koopman建模方法。通过物理约束和先验条件，使模型结果与物理规律保持一致。同时，采用DEHB驱动的优化框架，通过优化兼顾精度与可控性的联合目标，自动完成观测量的构建。3）基于所学到的Koopman线性模型，设计并实现了自适应时间窗模型预测控制器。该控制器能够根据系统状态动态调整预测时间窗，从而在保持相近闭环跟踪性能的同时，有效减轻在线计算负担。本文的其余部分结构如下：第2节介绍本文所涉及的预备知识，包括共轴直升机的动力学特性以及Koopman算子理论。第3节阐述所提出的物理信息结构化Koopman模型以及DEHB驱动的自动化建模框架。第4节基于构建的线性模型设计自适应时间窗模型预测控制器。第5节利用收集到的数据建立Koopman线性预测器，验证其预测性能，并展示AHMPC的控制效果。最后，第6节给出结论。

符号说明：M表示光滑流形；H表示希尔伯特空间；∥·∥2表示欧几里得范数。对于矩阵A∈Rn×m，∥A∥F表示其弗罗贝尼乌斯范数；A?表示其转置矩阵，A?表示其摩尔-彭若斯伪逆矩阵。对于集合S和矩阵A，A?kS:={x∣Akx∈S}表示在矩阵A作用下的S的k步原像集合。对于向量x，x^表示由深度神经网络预测得到的输出状态值。

文章片段：

共轴直升机的基本模型描述：当在复杂的气动环境中运行时，上下旋翼产生的气流会导致明显的气动耦合现象。本文研究的直升机模型如图1所示。直升机的参考坐标系定义如下：W{Xw,Yw,Zw}表示采用东北下坐标系的固定坐标系，而B{Xb,Yb,Zb}则表示以直升机本体为参考的坐标系。此时，直升机的动力学特性就可以用相应坐标系来表达。

结构化Koopman建模：在为复杂动力系统近似构建Koopman算子时，如果仅依赖通用观测量，往往无法捕捉到系统背后的物理结构。不过，共轴直升机属于欠驱动机械系统，其运动遵循严格反馈机制。可以利用这一级联特性作为观测空间内的结构约束，从而确保所学到的线性模型具有物理合理性。具体而言，对于共轴直升机……

基于自适应时间窗的Koopman模型预测控制：在获得线性预测模型后，便可利用它来设计用于控制直升机动力学的模型预测控制器。模型预测控制的目的是在满足线性约束的前提下，最小化二次型成本函数，从而将问题转化为可求解的凸优化问题。通过追踪目标升力状态z=ψ(x)，可以通过求解以下最优控制问题来得到最优控制指令uk：min∑i=0N?1(∥zk+i|k?zk+i|kref∥Q2+∥uk+i|k∥R2)+∥zk+N|k?zk+N|kref∥P2Subjectto:zi+1=Azi+Bui,zi?ziref∈Eui∈U?i∈{0,1,…,

仿真与性能评估：本节将对所提出的PIKoopman方法进行性能评估。通过高精度仿真数据，将其建模精度与传统方法以及近期出现的其他方法进行比较。此外，还在模拟的轨迹跟踪任务中测试了AHMPC的性能，以体现自适应时间窗技术在控制应用中的效率优势。

结论：本文提出了一种基于Koopman算子的物理信息驱动数据驱动建模方法。PIKoopman框架将结构约束明确嵌入观测量构建过程中，同时在训练损失函数中加入物理正则化项。此外，还采用了自动化建模策略来提升优化效率。通过仿真验证，PIKoopman方法能够有效实现对系统各组成部分动力学的系统化建模，并在保证模型性能的同时实现各要素间的平衡。

作者贡献说明：Qing Sun负责监督工作及方法论设计；Yuhao Lin负责原始稿撰写、模型验证及软件相关工作；Dajun Du负责资源协调；Zhi Chen负责数据收集与整理工作；Minrui Fei负责项目管理及资金筹措工作。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

Qing Sun|Yuhao Lin|Dajun Du|Zhi Chen|Minrui Fei
中国上海200444，上海大学机电工程与自动化学院，电站自动化技术上海重点实验室