磁悬浮系统中采用高阶隐式数值方法的状态估计

《Control Engineering Practice》：State estimation in a magnetic levitation system using higher order implicit numerical methods

　　

摘要翻译：
当数字控制系统以相对较大的采样时间运行时，使用高阶数值控制模型可提高状态估计质量与反馈控制的鲁棒性。本文展示了如何利用隐式单步积分方法（如二阶隐式中点规则和高斯配点格式）在极大采样时间下实现高精度状态估计。研究人员首先介绍了基于隐式中点规则的非线性Luenberger观测器的离散时间变体，然后将牛顿观测器的概念扩展到高阶隐式离散时间系统模型。这种简单形式的移动 horizon 估计器能够方便地包含不确定控制输入的估计。在一系列针对磁悬浮系统采用非线性反步控制的实验中，研究人员证明了所提出的估计器在低采样率下性能显著提升。详细的误差分析阐明了不同估计器采样时间的极限，并证明高阶估计不会影响二阶控制实现的理论误差阶次O(h²)。

论文解读文章：

**研究背景与问题**

在现代控制工程中，动态系统的状态信息对于预测性维护、系统辨识以及先进控制系统至关重要。然而，由于传感器成本、安装限制或物理不可达性，往往无法直接测量全部状态，因此需要借助观测器（Observer）结合系统数学模型与可用测量值进行状态估计。非线性控制律通常在连续时间域设计，但实际实现几乎都基于数字控制设备，仅能以离散方式更新被控对象输入。在较小采样时间下，准连续控制实现（即直接在每个采样时刻计算连续控制律）可维持闭环稳定；然而快速采样会加剧量化效应、增加运行成本，并通常需要更昂贵的仪器。相反，在大采样时间下采用准连续实现会导致闭环性能恶化，甚至使系统失稳。为突破这一限制，Kotyczka和Thoma（2021）提出了基于隐式中点规则（implicit midpoint rule）的采样数据控制实现方法，该方法通过对被控对象和期望闭环动力学进行二阶精度离散，将性能退化与失稳的临界采样时间显著推迟。然而，该控制结构在每个采样周期需要完整的状态向量，即使连续控制律仅依赖部分输出，因此必须配套设计离散时间状态估计器。传统的连续时间观测器通常采用显式欧拉法离散，在大采样时间下可能造成闭环不稳定；而隐式格式虽能增大允许的采样时间，但如何将其系统地用于非线性观测器设计并保持高阶精度，仍是一个待解决的关键问题。

**研究内容与结论**

针对上述问题，本文在磁悬浮系统上系统地研究了基于高阶隐式数值方法的状态估计方案。研究人员首先将非线性Luenberger观测器用隐式中点规则离散化，提出了两种实现方式（分别在采样区间中点或端点使用测量值），并证明了状态可显式计算，计算量与显式欧拉离散相当，但实验允许的采样时间最多可扩大至4倍（达21 ms）。随后，研究人员将经典牛顿观测器（Newton observer）推广至隐式离散时间系统模型，并将过去输入作为未知量纳入估计框架，从而补偿输入通道中的不确定性和未建模扰动。该观测器在每个时间步仅需求解一个线性方程组，实验可实现高达39 ms的采样时间，接近连续时间实现观测器的参考方案。通过将观测器与更高阶的Gauss配点法（s=2或s=3阶段，分别具有四阶和六阶精度）结合，进一步改善了低速采样下的估计与闭环性能。实验覆盖了从5 ms到39 ms的宽采样时间范围，并通过设定值变化、误差范数分析以及扰动实验全面评估了各方案的性能。结果表明，所提出的离散时间观测器能够保持控制实现的理论二阶精度O(h²)，且不会引入显著的额外振荡。该研究的重要意义在于：利用概念简单、数值稳定的隐式高阶方法，可以在极大采样时间下实现高性能的状态估计与反馈控制，从而为低成本、基于摄像头的低速位置反馈等新应用开辟了道路。

**主要技术方法**

研究人员采用以下关键技术方法：（1）隐式中点规则离散化：用于将连续Luenberger观测器转化为隐式离散时间形式，利用测量值的两种取值方式（中点测量和边界测量）实现显式状态更新；（2）牛顿观测器适配：构造包含N个测量方程和隐式离散动态方程的非线性方程组，通过Gauss-Newton迭代求解，将过去输入视为未知量以补偿扰动，并利用上一时刻解作为初始猜测以单次迭代完成更新；（3）Gauss配点法扩展：将隐式中点规则推广至多阶段Gauss配点格式（s=2和s=3），得到四阶和六阶精度的离散模型用于牛顿观测器；（4）实验平台：使用实验室规模的磁悬浮系统（铁磁体由电磁铁悬浮于塑料导向管中），通过Speedgoat目标机和Simulink Real-Time实施实时控制与状态估计，激光干涉仪提供位置测量，基于分流电阻电压计算电流和磁链。

**研究结果**

**4.1 设定值变化研究**：通过四个连续设定值变化（9 mm至16 mm，经一阶滞后平滑）实验，测得不同观测器方案的最大允许采样时间。LB-MP-1和LB-MP-2分别可达14 ms和21 ms，而显式欧拉离散的Luenberger观测器（LB-Eul）仅为5 ms。牛顿观测器NE-MP、NE-GA-s2和NE-GA-s3分别可达30 ms、39 ms和39 ms，与连续参考实现LB-CT的45 ms接近。在给定采样时间下，所提出的离散观测器闭环行为明显优于LB-Eul，且与LB-CT高度一致。

**4.2 误差分析**：采用离散L2范数评估三种误差：与连续实现的位置误差、与设定值的位置误差、与过渡完成后平均位置的位置误差。结果表明，观测器方案均保持了离散控制实现的二阶收敛阶次，误差随采样时间线性增长，且离散观测器引入的额外误差与LB-CT同量级，未造成显著退化。

**4.3 扰动行为**：在稳定悬浮于12 mm后施加持续50 ms的3 V未建模输入扰动，在10 ms和23 ms采样时间下进行分析。结果显示，估计输入的牛顿观测器（NE-MP）比Luenberger观测器（LB-MP-1/2）受扰动影响更小，控制器反应更有效；高阶高斯配点牛顿观测器（NE-GA-s2/s3）比NE-MP具有更快的恢复速度和更少的振荡。

**讨论与结论**

讨论部分强调了大采样时间下未建模摩擦力（如铁体与塑料导向管相互作用）对稳态误差和振荡的影响，并指出离散时间观测器在其稳定性极限内不会引入额外显著振荡。输入估计机制是牛顿观测器在扰动场景下表现优越的关键原因。研究的结论部分指出：本文提出了基于隐式高阶数值方法的两种离散时间状态估计途径，在磁悬浮系统上实现了比显式欧拉离散Luenberger观测器最多大8倍的采样时间，几乎接近连续实现观测器的极限。该采样速率与常规相机的帧率匹配，为未来基于摄像头的低成本位置反馈控制提供了可行性。同时，多步积分方案的扩展也是值得探索的研究方向。总体而言，实验验证了概念简单的方法在非线性采样数据系统状态估计中的有效性，其在慢速乃至间歇采样场景中具有广泛的应用潜力。