一种构建具有Dillon型指数的（向量）弯曲函数的新方法

《Discrete Mathematics》：A new approach for constructing (vectorial) bent functions with Dillon-type exponents

　　摘要：狄龙型布尔函数是从F22n到F2的迹多项式函数，其所有指数均为2n?1的倍数，这类指数被称为狄龙型指数。本文研究了该家族中与迹有理函数相关的一类弯曲函数。具体而言，我们引入了一组新的无限族迹有理函数，并推广了Li等人（2013年）[22]为二进制狄龙型函数所建立的关键弯曲性准则。利用我们所构建的函数族作为结构组件，我们明确构造并描述了三类不同的弯曲函数，每类都是通过具有少量变量的不同桥函数衍生而来的。这些描述要么以显式形式给出，要么借助著名的二进制Kloosterman求和来表达。桥函数的选择至关重要。我们发现，当桥函数为三个变量的乘积时，所得构造会退化，无法产生新的弯曲函数。值得注意的是，我们所研究的前两类布尔弯曲函数可自然扩展为向量弯曲函数。据我们所知，这是在部分扩散类中首次被明确描述的向量弯曲函数类别。此外，我们的理论分析和实验结果表明，这些构造产生的新弯曲函数与任何已知的单项式函数类别均不存在扩展仿射等价关系。

1. 引言
弯曲函数是一种特殊的布尔函数，它与所有仿射函数的距离最大。Rothaus[31]首次定义并命名了这类函数，随后Dillon在其著名的博士论文[12]中对它们进行了系统研究。由于这类函数具有优美的组合特性，且与编码学和密码学有着密切关联，因此吸引了众多学者的关注。迄今为止，关于弯曲函数已有大量研究成果，详细综述可见[24]。对弯曲函数的研究已经持续了约五十年，因其在不同领域（通常相互关联）的理论与实用价值，这一研究依然活跃。人们提出了多种广义概念，包括向量弯曲函数、平台函数[7]、[42]、半弯曲函数[6]、超弯曲函数[37]、负弯曲函数[34]、p元弯曲函数[17]等，取得了诸多进展。

弯曲性的定义也已扩展到向量函数上。为避免歧义，在本文中，“弯曲函数”一词特指“布尔弯曲函数”。若一个从F2n到F2m的(n,m)向量函数H满足对于所有ν∈F2n?{0}，ν?H(x)均为弯曲函数，则称H为弯曲函数。根据Nyberg[29]的研究，只有当m≤n2时才存在向量弯曲函数。与布尔弯曲函数丰富的研究成果相比，目前向量弯曲函数的构造难度更大，相关成果也更为有限（读者可参考[1]、[10]、[23]、[30]、[27]、[28]、[33]、[41]等文献）。

由于目前似乎仍难以完全对弯曲函数进行分类，因此构造、描述及生成这类函数成为了主要的研究方向。一个有趣的研究课题是以多项式形式构造弯曲函数[3]、[4]、[6]、[12]、[14]、[38]。据我们所知，截至目前，已知的有五类单项式弯曲函数（在扩展仿射等价意义下），即形如Tr12n(axd)、且满足适当条件的a∈F22n?的弯曲函数。我们将这些整数d称为弯曲指数（见表1）。

表1. F22n上的已知弯曲指数
| 类型 | 指数d | 代数次数 | 参考文献 |
|------|-------|----------|----------|
| Gold | 2i + 1 | 2 | [16] |
| Dillon | l(2n ? 1) | n | [5]、[13]、[20]、[18] |
| Leander | (2n2+1)/2 | 3 | [4]、[18] |
| Kasami | 22i ? 2, i + 1 | i + 1 | [12] |
| Canteaut-Charpin-Kyureghyan | 22n/3, 22n/3 + 1 | 3 | [3] |

Dillon首次描述了函数Tr12n(ax2n?1)的弯曲性特征。随后，Charpin和Gong[5]以及Leander[18]将这一函数推广到了形如Tr12n(axl(2n?1))、且满足(l,2n+1)=1的函数。在后续研究中，人们进一步探讨了包含多个迹项的狄龙型函数。通过使用Dickson多项式和一些指数求和，[5]中的作者在特定约束条件下给出了布尔函数弯曲性的描述。Mesnager在Charpin-Gong类函数的基础上，增加了另一个基于F4的迹项，即fa,br=Tr12n(axr(2n?1))+Tr12(bx22n?13) [25]、[26]。Li等人[22]研究了如下形式的函数：
(1.1) f(x)=∑i=02n?1Tr12n(aixi(2n?1))+Tr1o(e)(?x22n?1e)，其中e|2n+1，ai∈F22n，o(e)是满足o(e)|2n且e|2o(e)?1的最小正整数。这些作者给出了描述这类函数弯曲性的充要条件。不过，人们仍需要更明确的描述，为此可能需要对系数ai和?，或整数i和e施加某些限制。例如，在[22]中，通过限制项数，人们发现了几类新的二项式、三项式和四项式弯曲函数。此外，作者还研究了在所有系数ai相等条件下的多迹项函数。

在[39]中，人们研究了如下形式的函数：∑i=0d?1Tr1m(aix(l+i2n+1d)(2n?1))+Tr1o(d)(?x22n?1d)，其中系数ai∈F2n，满足a1=a2=…=ad?1，且a0≠a1。我们注意到，(1.1)式中在F22n上定义的函数实际上可以用更一般的形式表示为：
(1.2) f(x)=g(x2n?1)，其中g是从F22n到F22n的函数，且满足当y∈{0}∪{y∈F22n?:y2n+1=1}时，有g(y)∈F2。在[37]中，Charpin和Gong提出了另一类重要的弯曲函数——超弯曲函数。Carlet和Gaborit后来从布尔函数的角度总结了Charpin和Gong的成果[9]，指出(1.2)中的形式与他们描述中的要求相符。

在本文中，我们引入了一类特殊的函数，其定义为：
(1.3) R={Tr12n(ax2n?1+b):a,b∈F22n?}。
集合R中的这些函数被称为迹有理函数，同时也属于狄龙型函数。我们以这类函数作为构建模块，并推广[22]中针对二进制情况提出的准则，研究了形如(1.4)的函数的弯曲性：h(x)=F(f1(x),f2(x),…,ft(x))，其中F(X1,X2,…,Xt)是F2[X1,X2,…,Xt]中的约化多项式。我们将这类函数F称为桥函数。直观上，变量较少且沃尔什谱中零点较多的桥函数更适用于谱分析。在本文中，我们考虑了三类函数F(X1,X2,…,Xt)∈{X1, X1X2, X1X2+X1X3+X2X3}。显然，X1对应于直接使用构建模块本身，而X1X2代表两个模块最简单的非线性耦合方式。第三种桥函数，结合合适的构建模块，曾被Carlet用来生成k抗毁函数[8]，后来Tang等人也用它作为修正项来生成新的弯曲函数，其中fi=Tr12n(uix) [36]。我们的主要贡献包括描述了三类具有相应桥函数的弯曲函数。据我们所知，这是首次利用迹有理多项式通过这种方法研究弯曲函数。

为了确定h1(x)=F(f1)的弯曲性，其中F(X1)=X1，即h1=Tr12n(a1x2n?1+b)，且a1∈F22n?、b∈F2n?，我们专注于计算与某些有理函数相关的指数求和，这类有理函数的分子次数为1，分母次数为2。此外，我们还给出了使得h1为弯曲函数的(a1,b)对数量的计数公式，该公式取决于F2n上Kloosterman求和的零点个数。对于其他非平凡的桥函数，该方法涉及将特定的指数求和分解为相关求和的组合。当F∈{X1X2, X1X2+X1X3+X2X3}时，可以得到两类弯曲函数。相反，若F=X1X2X3，我们可以证明由此产生的弯曲函数h4会始终退化。本研究的另一个重要贡献是将我们的两类函数扩展为向量弯曲函数，据我们所知，这是目前首次对部分扩散类函数进行明确描述。最后，我们探讨了扩展仿射等价关系，发现我们的函数类中包含了一些与现有任何单项式弯曲函数类别均不存在扩展仿射等价关系的新弯曲函数。

本文的其余部分结构如下：第2节介绍一些符号和预备知识，包括(1.2)式中函数弯曲性的判定准则以及一些有用的指数求和。第3节将讨论分为两部分。在第一部分，我们介绍了构造弯曲函数的方法，并描述了三类不同的弯曲函数。我们还提供了证明，说明当选择第四种桥函数时，所得函数会退化。在第二部分，我们扩展了之前的两个定理，得到了两种向量弯曲函数的构造方法。第4节探讨了扩展仿射等价关系，第5节则对全文进行总结。

2. 预备知识
2.1 符号与背景
一个m变量的布尔函数f是从向量空间F2m到二元域F2的映射。由于F2m通常与有限域F2m视为同一事物，我们也可以将f看作是从F2m到F2的映射。所有m变量布尔函数的集合记为Bm。函数f的支持集定义为supp(f)={x∈F2m:f(x)=1}。supp(f)的元素个数被称为f的汉明重量，记为wt(f)。

表示布尔函数有两种主要方式。第一种称为代数标准形（ANF），在这种形式下，我们将f表示为一个m变量多项式：
f(x1,x2,…,xm)=?I∈P(M)aI∏i∈Ixi，其中aI∈F2，P(M)表示集合M={1,2,…,m}的幂集。这种表示属于商环F2[x1,x2,…,xm]/(x12⊕x1, x22⊕x2, …, xm2⊕xm)，并且是唯一的。如果一个多项式F(X1,X2,…,Xt)在F2[X1,X2,…,Xt]中对应于某个布尔函数f的代数标准形，则称该多项式为约化多项式。函数f的代数次数定义为deg(f)=max{|I|:aI≠0}。

对于两个正整数m和n，且满足n|m时，我们可以定义从F2m到F2n的迹函数：
Trnm(x)=x+x2?+x22?+?+x2(m/n?1)n。

从F2m到F2的每一个非零布尔函数f都有唯一的多项式表示形式：
f(x)=∑j∈ΓmTr1o(j)(ajxj)+?(1+x2??1)，其中aj∈F2，o(j)表示满足条件的整数个数，-Γm表示模2m?1的每个循环陪集恰好选一个元素的整数集合，其中包括仅包含0的平凡陪集；-o(j)表示包含j的陪集的大小；-?=wt(f)mod2。函数f在ω∈F2m处的沃尔什变换定义为：
Wf(ω)=∑x∈F2m(?1)f(x)+Tr1m(ωx)。

弯曲函数的定义如下：
定义1：如果对于所有ω∈F2m，都有Wf(ω)2=2m，则称布尔函数f∈Bm为弯曲函数。

弯曲函数仅存在于m为偶数的情况下。从现在开始，我们假设m=2n，其中n为正整数。关于弯曲函数的一个显著特点是，它们总是成对出现。如果一个布尔函数f是弯曲函数，那么可以通过考虑值{Wf(α):α∈F2m}的符号来定义另一个弯曲函数f?。具体来说，有：
(?1)f?(x)=2?nWf(x)。我们将f?称为f的对偶函数。在很多情况下，找到给定弯曲函数f的对偶函数并非易事。

F2m中的一个重要子集被称为单位圆。对于有限域F2m中的每个元素x，我们定义：
x￣=x2?。

F2m的单位圆是由以下集合构成的：
(2.1) U={η∈F2m:η2?+1=ηη￣=1}。

所谓的极坐标分解非常有用，它表明F2m中的每个非零元素x都可以唯一表示为x=λy，其中λ∈U，y∈F2n?。U与子域F2n之间存在对应关系，可以利用这种关系将U上的指数求和转换为F2n上的指数求和。

引理2.1[32]：设m=2n为正整数，A∈F2m?F2n为固定元素，U如方程(2.1)中所定义。那么我们有：
U?{1}={u+Au+A￣:u∈F2n}。

下面的引理探讨了在特征为偶数的有限域上，特定二次方程在U中的解的个数问题[2]、[15]、[35]。引理2.2：设m=2n为偶数正整数，且a、b∈F2m?满足Tr1m(ba2)=0。那么二次方程x2+ax+b=0的解的情况为：
(1) 当且仅当b=aaˉ且Tr1n(ba2)=Tr1n(1aaˉ)=1时，方程的两个解都在单位圆上；
(2) 当且仅当b≠aaˉ且(1+bbˉ)(1+aaˉ+bbˉ)+a2bˉ+aˉ2b=0时，方程在单位圆上恰好有一个解。

2.2 形如f=g(x2??1)的狄龙型函数
部分扩散类（PS）[12]是最重要的弯曲函数类别之一，它是基于被称为部分扩散的经典几何构造定义的。

定义2：设m=2n为偶数。F2m的一个部分扩散是指F2m中一组两两之间仅有平凡交集的n维子空间。如果这类子空间的并集等于F2m，则称该部分扩散为扩散。

形如f(x)=g(x2??1)的布尔函数代表了众所周知的部分扩散函数中的一个特殊子类，对应的扩散被称为Desarguesian扩散[24，第346页]。如果一个定义在F2m上的布尔函数f满足f(0)=0，且f的支持集与0一起构成了F2m中某个部分扩散的2n?1个元素的并集，则称该函数属于PS?类。Dillon证明了，如果f属于PS?类，那么deg(f)=m2=n [12]。

在[37]中，Youssef和Gong研究了定义在域F2m上的布尔函数，这类函数与所有形如Tr1m(axi)+?的函数（其中a∈F2m，?∈F2，且gcd(i,2m?1)=1）的汉明距离等于2m?1±2n?1。他们将这些函数称为超弯曲函数，并通过序列证明了这类函数的存在。后来，Carlet和Gaborit将这些序列的应用场景转化到了布尔函数领域[9]。

命题2.1[9]、[37]：设n为正整数，q=2n，ω为Fq2的原根。设f是定义在Fq2上的布尔函数，且满足f(0)=0以及对于所有x∈Fq2有f(ωq+1x)=f(x)。此时，f为超弯曲函数当且仅当向量(f(1),f(ω),f(ω2),…,f(ωq))的权重等于q2。在命题2.1中，条件f(ωq+1x)=f(x)对所有x∈Fq2成立意味着f具有式(1.2)所给出的特定形式。命题2.2：设n为正整数，q=2n，ω为Fq2的本原元素。若函数f定义在Fq2上且满足对所有x∈Fq2有f(ωq+1x)=f(x)，则f为弯曲函数当且仅当存在函数g(x)使得f(x)=g(xq?1)。证明：任何定义在Fq2上的函数f都可以唯一表示为多项式形式f(x)=∑i=0q2?1aixi，其中ai∈Fq2。由于对所有x∈Fq2都有f(ωq+1x)=f(x)，可得∑i=0q2?1aiω(q+1)ixi=∑i=0q2?1aixi。根据多项式表示的唯一性，可推出ai(ω(q+1)i+1)=0，因此当(q?1)?i时，ai必然为0。既然充分性已成立，由此即可证明该命题。□如命题2.2所示，对所有x∈Fq2有f(ωq+1x)=f(x)这一条件等价于存在函数g使得f(x)=g(xq?1)。若f(0)=0，那么向量(f(1),f(ω),f(ω2),…,f(ωq))的权重为q2，进而可推出1=∑i=0q(?1)f(ωi)=∑i=0q(?1)g(ωi(q?1))=∑λ∈U(?1)g(λ)=(?1)f(0)。这样一来，命题2.1中所述的超弯曲函数条件便与方程(2.2)中弯曲函数的特征相一致。若f(0)=1，类似的分析也适用于f+1。由此可得结论：布尔函数f(x)=g(xq?1)为弯曲函数当且仅当其为超弯曲函数。此外，由于f(x)=g(xq?1)的定义域是Desarguesian展开集{uFq:u∈U}中某些子空间的并集，因此若f为弯曲函数，则要么f∈PS?，要么f+1∈PS?。命题2.3给出了Dillon型函数f的沃尔什变换的显式表达式，若其存在对偶函数，也可轻易推导出来。具体而言，当方程(2.2)的条件成立，即f(x)=g(xq?1)为弯曲函数时，其沃尔什变换可表示为Wf(α)=q(?1)g(αq2?q)，对任意α∈Fq2均成立。相应地，其对偶函数为f?(x)=g(xq2?q)。2.3. 一些相关的指数和命题2.4表明，形如(1.2)的函数的弯曲性可归结为求和∑λ∈U(?1)g(λ)的值，而这对一般的g函数来说可能较为困难。[22]和[39]中采用的策略是将指数和分解为部分和，再研究这些部分和与其他指数和之间的关系。二进制Kloosterman和的定义如下：对于每个a∈F2n?，Kn(a)=∑x∈F2n(?1)Tr1n(1x+ax)，此处规定10等于0。根据Lachaud和Wolfmann在[20]中的研究成果，我们知道集合{Kn(a):a∈F2n}恰好包含了区间[?2n2+1+1,2n2+1+1]内的所有4的倍数。以下引理给出了Kloosterman和的变体。引理2.3：设n为正整数，q=2n。对于任意a∈Fq?，有(2.4)∑y∈Fq,Tr1n(ay)=1(?1)Tr1n(y)=?12Kn(a)。证明：注意到∑y∈Fq,Tr1n(ay)=1(?1)Tr1n(y)=∑y∈Fq,Tr1n(ay)=1,Tr1n(y)=01?∑y∈Fq,Tr1n(ay)=1,Tr1n(y)=11=2n?1?2#D，其中D={y∈Fq:Tr1n(ay)=1,Tr1n(y)=1}。显然，集合D的基数满足4#D=∑u1,u2∈F2∑β∈Fq(?1)u1Tr1n(β)+u2(Tr1n(cβ2b2)+1)=q+∑β∈Fq(?1)Tr1n(β)?∑β∈Fq(?1)Tr1n(cβ2b2)?∑β∈Fq(?1)Tr1n(β+cβ2b2)=q?Kn(cb2)。因此，我们得到M1=12∑c∈Fq,Kn(c)=0∑b∈Fq?{1}(q?Kn(cb2))=12Nq(q?2)?12∑c∈Fq,Kn(c)=0∑b∈FqKn(cb2)=12Nq(q?3)，最后的等式是因为∑b∈FqKn(cb2)=∑b∈FqKn(b)=∑b∈Fq∑x∈Fq(?1)Tr1n(1x+bx)=q。由此可得，M=M0+M1=N(q?2)+12Nq(q?3)=12N(q2?q?4)。证毕。□示例1：设q=23，w为Fq2中的本原元素，其最小多项式为m(x)=x6+x4+x3+x+1∈F2[x]。考虑集合A={(w,1),(1,w9)}。经验证，A中的元素对(a,b)满足条件(1)和(2)，因此对应的h1为弯曲函数。接下来，我们将研究当F2=X1X2时的h的弯曲性。定理3.2：设q=2n，其中n为大于或等于6的正整数，且a1,a2∈Fq2?，满足a1≠a2，同时b∈Fq?。此时，函数h2(x)=F2(f1,f2)=f1f2为弯曲函数当且仅当满足以下条件：(1)b=1，a1∈Fq?，Tr1n(a1)=1，且a2∈Fq2?\Fq；(2)b=1，a2∈Fq?，Tr1n(a2)=1，且a1∈Fq2?\Fq。证明：首先可知，由于a1和a2的对称性，条件(2)可直接由条件(1)推导得出。对于α=(s1,s2)∈F22，有WF2(s1,s2)=2(?1)s1s2。因此，方程(3.3)可化为(3.5)q+1+ξ(a1,b)+ξ(a2,b)?ξ(a1+a2,b)=2(?1)h2(0)，其中ξ(?,b)的定义如方程(2.6)所示。为简便起见，我们将方程(3.5)的左侧记为Θ。证明过程需根据b的不同取值进行分类。情况1：b=1。根据方程(2.7)，有(3.6)ξ(a,1)={1+(?1)Tr1n(a)q,若a∈Fq，否则为1。假设a1∈Fq，则必须有Tr1n(a1)=1。注意，当且仅当a1+a2∈Fq时，a2才属于Fq。若a2∈Fq且Tr1n(a2)=1，那么根据方程(3.2)，h2=f1=f2，而这样的函数不可能是弯曲函数。若a2?Fq，则ξ(a2,1)=ξ(a1+a2,1)=1，此时Θ=q+1+1+(?1)Tr1n(a1)q+1?1=2。由于h2(0)=Tr12n(a1)Tr12n(a2)=0，我们可以推断出h2是弯曲的；因此条件(1)成立。若a1和a2都不属于Fq，则Θ=q+1+1+1?1=q+2，这意味着h2(x)不是弯曲的。情况2：b∈Fq??{1}。我们将证明当n≥6时h2不是弯曲的。对于所有a∈Fq2?，有ξ(a,b)=(1?Kn(aa￣1+b4))(?1)Tr12n(a￣b1+b2)。于是，Θ=q+1+(1?Kn(a1a1￣1+b4))(?1)Tr12n(a1￣b1+b2)+(1?Kn(a2a2￣1+b4))(?1)Tr12n(a2￣b1+b2)?(1?Kn((a1+a2)(a1￣+a2￣)1+b4))(?1)Tr12n((a1￣+a2￣)b1+b2)。结合这些事实，1+(?1)Tr12n(a1￣b1+b2)+(?1)Tr12n(a2￣b1+b2)?(?1)Tr12n((a1￣+a2￣)b1+b2)=2(?1)Tr12n(a1￣b1+b2)Tr12n(a2￣b1+b2)，且|Kn(a)|≤2n2+1+1，我们得出Θ>q?2?Kn(a1a1￣1+b4)(?1)Tr12n(a1￣b1+b2)?Kn(a2a2￣1+b4)(?1)Tr12n(a2￣b1+b2)+Kn((a1+a2)(a1￣+a2￣)1+b4)(?1)Tr12n((a1￣+a2￣)b1+b2)。因此，Θ>q?2?3(2n2+1+1)=2n2(2n2?6)?5>2，当n≥6时。所以，Θ=±2不成立，从而当b∈Fq??{1}且n≥6时，h2(x)不是弯曲的。至此证明完毕。□根据方程(3.1)，定理3.2中描述的弯曲函数h2可表示为(3.7)h2(x)={Tr12n(a2xq?1+1)，若x?Fq；0，若x∈Fq。若Tr12n(a2)=0，则h2退化为f2，后者是弯曲的，如定理1所述。相反，若Tr12n(a2)=1，则h2在点0处与f2不同；具体来说，h2(0)=0而f2(0)=Tr12n(a2)=1。这体现了对R族函数的额外兴趣：除了平凡函数（即当a∈Fq?时），函数Tr12n(axq?1+1)要么是弯曲的（如定理3.1所示），要么仅在一点上与弯曲函数不同（当Tr12n(a)=1时）。此外，定理3.2也很有趣，因为h2=f1f2无法产生其他类型的弯曲函数。接下来，我们将描述第三类弯曲函数，由F3=X1X2+X1X3+X2X3表示。定理3.3设q=2n，其中n>2，a1,a2,a3∈Fq2?两两不同且a1+a2+a3≠0，同时F3=X1X2+X1X3+X2X3。那么，若满足以下条件之一，则h3(x)=F3(f1,f2,f3)是弯曲的：-b=1，(1) a1、a2、a3以及a1+a2+a3都不属于Fq?，则{a1,a2,a3}中至多有一个元素的绝对迹为1；-b∈Fq??{1}，(2) 2(?1)h3(0)=2(?1)u(a1)u(a2)+u(a1)u(a3)+u(a2)u(a3)+(?1)u(a1+a2+a3)k(a1+a2+a3)?∑i=13(?1)u(ai)k(ai)，其中k(x)=Kn(xx￣1+b4)，u(x)=Tr12n(x￣b1+b2)。证明其结构与定理3.2类似，但由于参数a1、a2、a3的选择更多，分析更为复杂。对于α=(s1,s2,s3)∈F23，我们可以轻易得出WF3(s1,s2,s3)的如下表达式：WF3(s1,s2,s3)={0，若s1+s2+s3=0；4(?1)s2s3，若s1+s2+s3=1}，这将方程(3.3)简化为(3.8)ξ(a1,b)+ξ(a2,b)+ξ(a3,b)?ξ(a1+a2+a3,b)=2(?1)h3(0)。我们将方程(3.8)的左边记为Θ，然后根据b的值继续证明。情况b=1。回想一下，若ai∈Fq，则假设Tr1n(ai)=1。如果a1、a2、a3都属于Fq?，那么方程(3.8)和引理2.5可得：Θ=2+(?1)Tr1n(a1)q+(?1)Tr1n(a2)q+(?1)Tr1n(a3)q?(?1)Tr1n(a1+a2+a3)q。这简化为：Θ=2?2q。因此，方程(3.8)不成立，h3(x)不是弯曲的。如果三个元素中恰好有一个不属于Fq，不失一般性，我们假设a1、a2∈Fq?而a3?Fq，且Tr1n(a1)=Tr1n(a2)=1。根据方程(3.2)，我们有h3=f1=f2，这意味着h3显然不是弯曲的。如果{a1,a2,a3}中有两个元素不属于Fq，我们假设a1∈Fq且Tr1n(a1)=1，而a2和a3都不属于Fq。在这种情况下，我们有：Θ=1+(?1)Tr1n(a1)q+2?ξ(a1+a2+a3,1)。这简化为：Θ=3?q?ξ(a1+a2+a3,1)。如果h3(x)是弯曲的，那么必然有a1+a2+a3∈Fq?，这也意味着a2+a3∈Fq?。这就引出了：Θ=2?q(1?(?1)Tr1n(a2+a3))。因此，我们需要Tr1n(a2+a3)=0才能确保h3(x)是弯曲的。然而，我们发现：h3=f1(f2+f3)+f2f3=Tr12n(a1xq?1+1)Tr12n(a2+a3xq?1+1)+Tr12n(a2xq?1+1)Tr12n(a3xq?1+1)。因此它简化为：h3=Tr12n(a2xq?1+1)，这意味着h3退化为f2。现在假设a1、a2、a3都不属于Fq。根据方程(3.8)，必须有a1+a2+a3?Fq。为了确保h3(0)=0，我们需要满足{Tr12n(a1),Tr12n(a2),Tr12n(a3)}中至多只有一个元素的值为1。情况b∈Fq??{1}。根据方程(2.8)，ξ(ai,b)=(1?Kn(aiai￣1+b4))(?1)Tr12n(ai￣b1+b2)，对于i=1,2,3，此时h3(x)是弯曲的当且仅当2(?1)h3(0)=∑i=13(?1)u(ai)(1?k(ai))?(?1)u(a1+a2+a3)(1?k(a1+a2+a3))=∑i=13(?1)u(ai)?(?1)u(a1)+u(a2)+u(a3)+(?1)u(a1)+u(a2)+u(a3)k(a1+a2+a3)?∑i=13(?1)u(ai)k(ai)=2(?1)u(a1)u(a2)+u(a1)u(a3)+u(a2)u(a3)+(?1)u(a1+a2+a3)k(a1+a2+a3)?∑i=13(?1)u(ai)k(ai)。至此证明完毕。□示例2设q=23，且w∈Fq2，如示例1中所定义。我们选择集合B={(w,w3,w5,1),(w,w3,w17,w9)}。B中的四元组(a1,a2,a3,b)分别满足条件(1)和(2)。可以验证，B中的每个四元组对应的h3都是弯曲的。备注2基于上述分析，h3的某些弯曲条件可能导致其退化；这些条件已被省略。由于已经考虑了所有可能的参数值，定理3.3中给出的条件既是充分的也是必要的。至于两个保留的条件，当b=1时，a1、a2、a3的特征描述相当直接。然而，当b∈Fq??{1}时，我们给出了一个涉及四个Kloosterman求和的关系式，但这不够清晰，也无法得到令人满意的结果。如果我们能更深入地理解这四个求和式，或许就能更清晰地描述系数a1、a2、a3和b的特征。基于目前的分析，考虑通过选择具有更多变量或更高代数次的桥函数来构造Dillon型弯曲函数，然后再研究它们的性质，这是合理的。不过必须承认，即便这些桥函数具有更多变量或更高代数次，生成的弯曲函数仍可能发生退化。例如，如果我们令F4=X1X2X3，就可以提出如下命题：命题3.2设q=2n，其中n>2，a1、a2、a3∈Fq2?两两不同且a1+a2+a3≠0，同时h4=F4(f1,f2,f3)=f1f2f3。那么(1)如果b=1，那么h4(x)会退化为h2，也就是说，函数h4变成了R中两个函数的乘积；(2)如果b∈Fq??{1}，那么当n≥6时h4不是弯曲的。证明通过直接计算，我们有{WF4(000)=6，WF4(100)=WF4(010)=WF4(001)=WF4(111)=2，WF4(110)=WF4(101)=WF4(011)=?2。根据方程(3.3)，我们可以得出h4是弯曲的当且仅当(3.9)4(?1)Tr1m(a1b)Tr1m(a2b)Tr1m(a3b)=3(q+1)+ξ(a1,b)+ξ(a2,b)+ξ(a3,b)+ξ(a1+a2+a3,b)?ξ(a1+a2,b)?ξ(a1+a3,b)?ξ(a2+a3,b)。将上述等式的右边记为Θ，我们根据b=1和b∈Fq??{1}两种情况继续证明。情况b=1。由于参数a1、a2、a3的对称性，我们只需研究以下四种子情况即可。子情况(1)：对于所有的i=1,2,3，都有ai∈Fq且Tr1n(ai)=1。根据方程(2.8)，我们有Θ=3(q+1)+4(1?q)?3(1+q)=4(1?q)。此时方程(3.9)不成立，h4也不是弯曲的。子情况(2)：对于i=1,2，有ai∈Fq且Tr1n(ai)=1，而a3?Fq。注意到a1+a2∈Fq且Tr1n(a1+a2)=0，根据方程(3.1)，我们有f2=Tr12n(a2xq?1+1)=Tr12n(a1+a1+a2xq?1+1)=f1。这意味着h4=f1f3，即h4退化为h2。子情况(3)：有a1∈Fq且Tr1n(a1)=1，而i=2,3时ai?Fq。由于a1+a2和a1+a3都不属于Fq，我们有Θ=3(q+1)+1?q+2+ξ(a1+a2+a3,b)?2?ξ(a2+a3,b)=2q+4+ξ(a1+a2+a3,b)?ξ(a2+a3,b)。如果a2+a3?Fq，那么Θ=2q+4。因此，方程(3.9)不成立，h4也不可能是弯曲的。如果a2+a3∈Fq，那么Θ=2q+4+q(?1)Tr1n(a1+a2+a3)?q(?1)Tr1n(a2+a3)=4+2q(1?(?1)Tr1n(a2+a3))。为使方程(3.9)成立，必须有Tr1n(a2+a3)=0。与子情况(2)类似，我们有f3=f2，进而h4退化为f2。子情况(4)：对于所有的i=1,2,3，都有ai?Fq。由于我们有Θ=3(q+1)+3+ξ(a1+a2+a3,b)?ξ(a1+a2,b)?ξ(a2+a3,b)?ξ(a3+a1,b)，我们需要区分ai+aj是否属于Fq的不同情况。如果对于所有i≠j，都有ai+aj?Fq，那么Θ=3(q+1)+ξ(a1+a2+a3,b)，此时方程(3.9)不成立。如果a1+a2∈Fq，a2+a3?Fq且a3+a1?Fq，那么我们有Θ=3(q+1)+3+1?(1+q(?1)Tr1n(a1+a2))?2=4+q(3?(?1)Tr1n(a1+a2))，同样方程(3.9)不成立。注意，如果a1+a2和a2+a3同时属于Fq，那么也意味着a1+a3∈Fq。由于(TR1n(a1+a2),TR1n(a2+a3),TR1n(a3+a1))的权重之和不为三，即存在某个ai+aj使得Tr1n(ai+aj)=0，那么h4就会退化。情况b∈Fq?{1}。其证明与定理3.2中的相应情况类似，此处不再详述。□备注3从上述讨论可以看出，桥函数起着至关重要的作用，因为某些选择可能导致函数退化，即所得的弯曲函数其实可以用更简单的桥函数来生成。因此，识别出那些桥函数并进一步描述由它们产生的真正新的弯曲函数，是一个值得研究的课题。3.2.两类Dillon型向量弯曲函数当b=1时，我们可以发现定理3.1和定理3.2中描述的函数可以很容易地扩展为向量弯曲函数。为便于说明，我们给出条件C1的定义：定义3如果一组元素a1,a2,…,at位于Fq2中，并且对于每一个非零向量(v1,v2,…,vt)∈F2t，都有∑i=1tviai?Fq，那么这组元素就满足条件C1。需要指出的是，这样的元素组总是存在的。具体来说，设yi∈Fq，对于i=1,2,…,n，它们是向量空间Fq在F2上的基，同时存在a1∈Fq2，使得ai+ai￣=yi。显然，集合{a1,a2,…,an}满足条件C1。定理3.4设a1,a2,…,an?1是一组满足条件C1的n?1个元素，且对于i=1,2,…,n?1，都有Tr12n(ai)=0。定义fi=Tr12n(aixq?1+1)。那么，向量H1(x)=(f1,f2,…,fn?1)就构成了一个(2n,n?1)维的向量弯曲函数。证明我们定义V={x∈Fq:Tr1n(x)=0}。由于V是一个维度为n?1的F2线性空间，我们可以为V选取基y1,y2,…,yn?1，并且让ai+ai￣=yi。这样，集合{a1,a2,…,an?1}就满足条件C1，而定理3.1则表明H1(x)具有向量弯曲性。□第二类向量弯曲函数如下所示。定理3.5设a1∈Fq且Tr1n(a1)=1。在Fq2中选取n个元素a21,a22,…,a2n，它们满足条件C1，同时定义gi=Tr12n(a2ixq?1+1)，对于i=1,2,?,n，那么H2(x)=(f1g1,f1g2,…,f1gn)就是一个(2n,n)维的向量弯曲函数。在[27]中，作者提出了判断形如Trn2n(arxr(q?1))的向量函数是否为弯曲函数的充分必要条件，这类函数被构建成(2n,n)维函数。然而，该工作中并未明确给出这些判定依据。据我们所知，定理3.4和定理3.5是迄今为止首例明确描述了具有Dillon型指数的向量弯曲函数的结果。4.所构造弯曲函数的扩展仿射等价性本节探讨了所构造的弯曲函数之间的扩展仿射等价性。我们将研究这些函数的性质及其相互关系，确保所给出的定义和结果准确无误。首先，回顾一下，如果两个定义在有限域F2m上的布尔函数μ(x)和ν(x)存在一个仿射置换A和一个仿射布尔函数L，使得μ=ν°A+L，那么就说这两个函数是扩展仿射等价的。当提出一类新的弯曲函数时，有必要确定它是否与现有的函数类不等价。然而，通常没有高效的方法来判断两个弯曲函数是否具有扩展仿射等价性。许多已知结构的特定弯曲函数类之间的扩展仿射等价关系至今仍不清楚。所有的Dillon型弯曲函数的代数次数均为m2，这意味着它们与Gold、Leander或Canteaut-Charpin-Kyureghyan型单项式弯曲函数不存在扩展仿射等价性。在我们的构造中，函数集R构成了弯曲函数的基础。函数类h1直接由R衍生而来，而函数类h2和h3则是通过将R中的函数经过非线性变换得到的。鉴于在F22n上，只有当n为偶数时才存在代数次数为n的Kasami弯曲函数，我们知道函数类h1与Kasami函数类不存在扩展仿射等价性。在F28上进行的实验表明，函数类h1也与Dillon型单项式函数不存在扩展仿射等价性。因此，函数类h1与所有已知的这类单项式弯曲函数均不存在扩展仿射等价性。至于[22]、[39]中提到的两类布尔弯曲函数，即∑i∈DTr1m(ax(ri+s)(q?1))+Tr1o(d)(?xq2?1d)和∑i=0d?1Tr1m(aix(l+iq+1d)(q?1))+Tr1o(d)(?xq2?1d)，在F26上的实验也表明函数类h1与这两类函数均不存在扩展仿射等价性。在[22]的定理2中，作者研究了形如(4.1)Tr1m(axl(q?1)+bx(q+1e?1)(q?1)+cx(q+1e+1)(q?1))+Tr1t(?xq2?1e)的一般迹二次多项式的弯曲性。值得注意的是，所有的Dillon指数在F26、F28和F210上分别对应于两个、两个和四个分圆余弦类。因此，在这些域上，所有的Dillon型弯曲函数都可以用方程(4.1)来描述。对于更大的域F2m，当m≥12时，要在个人计算机上验证扩展仿射不等价性已经变得不切实际。因此，函数类h1与方程(4.1)中所描述的函数类之间的等价性仍然不确定。尽管如此，如果h1确实是弯曲函数，由于其代数次数最多为m2，那么当b=1时，有Tr1m(a1)=0；而当b∈Fq??{1}时，有Tr1m(a1b(1+b2))=Tr1n(a1+a1￣b(1+b2))=0，这些结果与定理3.1中的迹条件相符。进一步，由于对于b∈U，有b?1?j∑k=0,k(q+1)+jevenq?2b?k(q+1)=b?j?1，若j为奇数，则结果为0，若j为偶数，则结果为b?j?1bb￣1+bb￣；而对于b?U，则有b?1?j∑k=0,k(q+1)+jevenq?2b?k(q+1)=b?j?1bb￣1+bb￣。因此，项xq2?1的系数为∑k=1,kevenq?2bq2?2?k(q+1)={1，若b=1；1b(1+b2)，若b∈Fq??{1}。由于h1是弯曲函数，其代数次数不超过m2，所以当b=1时，Tr1m(a1)=0；而当b∈Fq??{1}时，Tr1m(a1b(1+b2))=Tr1n(a1+a1￣b(1+b2))=0，这些结果与定理3.1中的要求一致。这些类的特征与著名的Kloosterman和密切相关。选择桥函数是一个关键的考虑因素。通过对函数h4的分析，我们证明了新的桥函数并不一定会产生新的弯曲函数。通过扩展定理3.1和定理3.2，我们得到了两类具有明确特征的矢量弯曲函数，它们属于部分扩散类。此外，我们还发现，我们的函数类中包含了一些弯曲函数，这类函数并非与任何已知的单项式弯曲函数类具有扩展仿射等价性。方程(4.2)中的显式多项式形式表明，h1类与其他具有固定迹项数的Dillon型弯曲函数类是不同的。Ziran Tu|Sihem Mesnager|Xiangyong Zeng|Nian Li|Yupeng Jiang|Yanan Deng