基于弱反馈自混合光栅干涉仪的定向约束相位重建技术用于纳米尺度位移测量

《Precision Engineering》：Direction-Constrained Phase Reconstruction for Nanoscale Displacement Measurement with a Weak-Feedback Self-Mixing Grating Interferometer

　　••用于SMI/SMGI传感的方向约束相位重建（DCPR）方法••方向函数由差分包络中线积分得出••PCHIP插值可抑制转折点附近的异常相位增量••在基于Cr-ALG的SMGI系统上进行了验证，并与F–P参考仪进行了对比••逐周期往返RMS值与F–P的对比：8.4 ± 1.7纳米（8微米）；12.4 ± 0.6纳米（12.5微米）

引言
高精度的纳米级位移测量是先进制造、超精密计量以及精密科学仪器领域中的关键基础问题。近年来，精密制造领域的进展凸显了精确过程监控、预测建模以及可靠表面质量评估对于提升制造精度和测量可靠性的重要性。这些方法为提高工艺性能以及构建先进的计量和验证框架提供了有效策略。在这一更广泛的背景下，诸如极紫外光刻、先进封装计量以及扫描探针显微镜等对计量要求极高的应用，使得位移测量的精度需要达到亚纳米级别，这就对测量系统提出了高分辨率、低环境敏感性以及直接计量可追溯性等方面的综合要求。传统的激光干涉仪虽然能够实现高分辨率的位移测量，但通常需要独立的参考臂和测量臂。这样的结构对光学对准、空气折射率的补偿以及环境振动隔离有着严格的要求，限制了它们在紧凑型及集成化应用中的使用。因此，开发兼具紧凑结构、直接可追溯性以及高重建精度的新型纳米级位移计量方法，依然是精密计量领域的一个重要研究方向。

激光自混合干涉术是一种基于光学反馈效应的干涉技术。当从外部目标反射、散射或衍射出的光重新进入激光腔时，反馈场会与腔内场发生相干混合，从而改变激光的输出功率和频率。通过分析这种经过调制的信号，就可以测量出位移、振动以及速度等物理量。由于激光本身同时充当光源和信号混合元件，因此与传统双臂干涉仪相比，SMI在结构紧凑性、自动对准能力以及集成度方面具有显著优势。

然而，传统的SMI是以激光波长作为长度标准的，其精度受到激光波长稳定性以及空气折射率波动的影响，而且难以实现准确的计量可追溯性。为了解决空气折射率带来的问题，研究人员引入光栅作为反馈元件，构建了自混合光栅干涉仪，从而将长度标准从激光波长转变为光栅周期。与通常需要借助外部长度标准进行校准的传统光栅相比，这里所使用的铬原子光刻光栅能够提供更为精细且精度更高的位移参考标准。其光栅周期为(212.7779 ± 0.0021)纳米（k = 1），可直接与Cr 7S3 → 7P4原子跃迁频率相对应，因此无需再对外部节距标准进行额外校准。以该光栅周期作为位移刻度，不仅提升了SMGI位移刻度的精度，还提高了其位移灵敏度。但在利特罗配置下，Cr ALG的一阶衍射效率相对较低，导致SMGI通常处于弱反馈状态，此时自混合条纹近乎正弦波形，仅表现出微弱的方向依赖性不对称性，这也就对后续的相位分析方法提出了更高的要求。

由于SMI和SMGI都没有独立的 External参考臂——也不同于那些通过两个正交通道以及第二个检测通道在硬件层面就能区分运动方向的利特罗型光学线性编码器——位移信息，包括运动方向，完全包含在单通道自混合信号的相位调制中。因此，测量精度在很大程度上取决于相位重建算法。目前已有多种重建方法被提出。条纹计数或跃迁检测方法结构简单，计算量小，但其分辨率受限于条纹周期，且容易受到噪声、反馈状态变化以及误触发的影响。相位解缠方法可以通过估算反馈因子和线宽增强因子来实现高分辨率的位移恢复，但它通常依赖于特定的反馈条件，而且参数估算和迭代计算相对复杂。局部最大值检测方法能够在弱反馈条件下快速重建振动信息，但由于它依赖离散的特征点以及窗口函数来确定运动方向，其分辨率仅能达到条纹级（λ/2）。希尔伯特变换及其变体可以从自混合信号中提取连续的相位信息，这对于提高分辨率和增强抗散斑能力很有好处，但对于单通道准正弦波信号而言，仍需要额外的标准来确定运动方向。特别是在往复运动中速度接近零点时，瞬时相位变化率会趋近于零，且对噪声极为敏感，上述所有方法在转折点处都容易出现相位判断错误，进而导致长期漂移。因此，在连续相位重建过程中如何施加稳定的运动方向约束，以及如何抑制转折点附近的相位误差积累，是限制弱反馈型SMI和SMGI系统实现高精度、长时间连续位移测量的关键问题。

为了解决这些问题，本文提出了一种基于Cr ALG的SMGI（SMGI-Cr）的、用于连续位移分析的方向约束相位重建（DCPR）方法。该方法以希尔伯特变换得到的连续解析相位为基础，通过自混合信号的差分包络来导出方向函数，从而对相位增量施加物理符号约束，抑制运动转折点附近的异常增量，进而减少相位抖动，避免在多次往复循环中出现误差积累。与需要在半波长间隔处检测离散局部最大值的局部最大值检测方法不同，DCPR可以直接恢复连续的亚条纹相位；而且与需要估算反馈因子和线宽增强因子、且相位稳定性提升效果有限的相位解缠方法以及单独的希尔伯特变换方法相比，DCPR无需进行此类估算，同时能在转折点附近显著提高相位稳定性。与我们之前提出的基于多尺度小波系数矩阵来识别运动方向的CWHT方法相比，DCPR用一维差分包络积分和局部转折点校正替代了计算量较大的连续小波变换，从而形成了更为简洁的处理结构，更适合实现低延迟的流式处理。

该方法首先通过数值模拟进行评估，随后在SMGI-Cr系统上与商用法布里-珀罗干涉仪进行了对比验证：首先在10微米的正弦位移条件下获取数据来校准位移刻度，然后再将该刻度因子应用到在8微米正弦位移条件下获取的独立数据集中。

内容片段
SMGI信号模型
在SMGI系统中，光栅充当位移敏感元件；光栅的横向运动会产生周期性的相位调制，这一特性被用来实现纳米级的位移测量。与传统SMI不同，传统SMI中是外部腔体长度的变化来调制光学的往返相位（见图1(A)），而在SMGI中，位移信息主要编码在光栅相位中，位移分析的刻度则由光栅周期决定。

正弦运动的位移重建
为了在受控条件下验证DCPR的有效性，我们构建了SMGI的数值模型作为测试工具。位移测试的目标是幅度为8微米、频率为1赫兹的正弦运动，采样率为20千赫兹，光栅周期为212.778纳米，线宽增强因子为4.6。在参数扫描过程中，反馈因子取值为{0.05, 0.10, 0.15, 0.20, 0.22, 0.30, 0.40, 0.50, 0.60, 0.80, 1.00}，同时还会加入零均值高斯噪声，信噪比则在10到某个数值之间进行扫描。

结论
本文针对单通道、弱反馈型SMI/SMGI位移传感系统中方向判断错误的问题进行了研究，这类系统中准正弦波信号的方向依赖性不对称性较弱，且运动转折点附近的相位对噪声极为敏感。本文提出了一种DCPR方法。该方法以希尔伯特解析相位作为连续相位增量的来源，通过相位变化率的局部最小值来确定运动转折点，进而……

利益冲突声明
作者声明自己不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。

CRediT作者贡献说明
常志坤：概念构思。宋宋：初稿撰写、方法论研究、实验分析、概念构思。朱伟：实验研究。陈东青：方法论研究。邓晓：文章审阅与编辑、项目监督、资源协调。

利益冲突声明
? 作者声明自己不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了中国国家自然科学基金[项目编号62475195]、上海市科学技术委员会2025年度基础研究计划——“集成电路”项目[项目编号25JD1403800]、小米青年人才计划以及上海市自然科学基金[项目编号24ZR1471300]的支持。

宋宋|常志坤|陈东青|朱伟|邓晓