一种用于老化钢筋混凝土结构高效时变可靠性分析的CDF演化方法

《Probabilistic Engineering Mechanics》：A CDF evolution approach for efficient time-dependent reliability analysis of aging RC structures

　　摘要：涉及不确定初始条件的演化问题往往会导致随机建模，其中状态变量作为随机过程演化。经典蒙特卡洛模拟通常用于追踪相关概率分布的随时间变化。然而，其准确性要求进行大量确定性仿真，这使得高维问题的计算成本过高。本文提出了一种高效方法，可用于计算累积分布函数的变化，即便存在众多随机变量。该方法利用积分域与单位立方体子集之间的一一映射关系，能够借助优质的格点集来计算所需积分，相比蒙特卡洛模拟所需的确定性分析大大减少。该方法尤其适用于结构可靠性分析，因为其中的失效概率取决于多个不确定参数。这些概率可能非常小，并且会因材料退化、环境条件变化以及有时被建模为随机过程的非平稳载荷而随时间变化。本文以老化钢筋混凝土结构的耐久性评估为例，重点研究了在气候变化情景下腐蚀损伤的概率随时间的变化情况。

引言：在处理演化问题时，由于存在不确定性，某些初始数据可能被视为具有已知概率分布的随机变量，从而形成随机过程[1]。在每一时刻，该过程由一个随机变量即状态变量构成；而对于每个初始变量值，则对应一个确定性问题，其解为某个样本实现值。这种情况在结构动力学中尤为常见，是由于结构属性、载荷及初始条件存在不确定性所致[2]。一旦有了解决确定性问题的显式或数值方法，就需要确定状态变量的概率分布如何演化，为此通常会使用蒙特卡洛模拟[3][4]。该方法的优点在于无需任何简化假设即可应用于极其复杂的问题，但要想获得精确结果，就需要计算大量样本实现值，这需要相当长的计算时间[5]。在结构可靠性领域，大多数用于评估结构安全性及量化不确定性的计算方法都依赖于对结构或系统基础计算模型的重复运行[6]。为减少所需的仿真次数，人们提出了多种替代暴力蒙特卡洛方法的方法，包括近似可靠性估算方法如FORM[7]和SORM[8]、降低方差并提升收敛速度的技术如重要性抽样[9]和子集模拟[10]，以及基于替代模型或元模型的方法[11]。近年来，当可用数据不足无法确定输入参数的概率分布时，还提出了基于非概率区间的方法来评估工程系统的可靠性[12][13]。

在[2]中，提出了广义密度演化方程作为另一种方法。该方法可转化为一个线性一阶偏微分方程，其系数可通过解决确定性问题得到。随后通过对该偏微分方程的解在初始随机变量联合密度定义的区域内进行积分，即可确定状态变量概率密度函数的演化情况。此方法的优点在于，与蒙特卡洛方法相比，要获得精确解所需的确定性问题求解案例数量要少得多。

近期，还有研究提出直接计算状态变量累积分布函数的演化情况[14][15]。在这种情况下，同样可以通过积分偏微分方程来进行计算，但由于其解的规律性比广义密度演化方程的解更高，因此可以更简便地完成计算，无需使用过于复杂的数值技术。在每一时刻，偏微分方程的解可提供积分域的指示函数，也就是需要积分初始随机变量联合密度的区域，从而得到所需的状态变量分布函数。

本文提出了一种计算该积分的方法，甚至无需求解偏微分方程。即便存在大量初始随机变量，该方法依然适用。为此，会在单位立方体内构建优质格点集[16]，并确定单位立方体子集与积分域之间的一一映射关系。利用这一映射可将格点集中的点映射到积分域，进而轻松计算积分值。当初始变量相互独立时，该方法尤为有效。此时，积分域的概率恰好等于单位立方体对应子集的体积。因此，所需的积分值实际上就是所选点数与格点集中总点数之比。该计算仅需使用初始变量的累积分布函数即可完成，而这些累积分布函数相比相应的概率密度函数而言具有更高的规律性。

所提出的方法为工程结构的可靠性分析带来了显著优势。结构可靠性是众多工程应用中不确定性量化的重要组成部分。在大多数情况下，可靠性评估的重点是估算结构系统达到某一极限状态的概率，比如结构的部分或完全坍塌[17]。本文提出的用于计算状态变量累积分布函数的方法，在处理那些失效概率取决于多个不确定参数的问题时尤为有效，而这正是传统蒙特卡洛模拟方法计算成本极高的原因[18]。此外，当失效概率极低时——这在可靠性问题中很常见——通过采样空间变换技术，即使使用有限数量的格点，也能达到所需的精度。

在那些由于非平稳条件导致达到特定极限状态的概率随时间变化的时变可靠性问题中，计算累积分布函数的变化情况尤为重要。事实上，可靠性问题始终都与时间密切相关[19]。例如，即便载荷属于准静态载荷，其强度也会随时间发生变化；而材料强度特性也可能因先前承受的载荷或内在的退化机制而改变[17]。因此，时变可靠性分析方法对于明确考虑退化过程和载荷中的不确定性、同时提供整个使用寿命期间的结构安全性概率估计至关重要。随着越来越多的结构和基础设施接近或超过其初始设计寿命，这类方法的重要性日益凸显[20][21][22]。此外，环境条件和与气候相关的因素也在迅速变化，给建筑环境带来了新的风险，无论是从危害还是退化过程的角度来看[23][24]。这些变化要求在可靠性分析中考虑非平稳条件，这些条件会影响载荷和结构的抗力[25]。对于温度序列，可通过奇异谱分析将其分解[26]，并像在[27]中针对腐蚀速率所做的那样，将其明确纳入受温度影响的退化过程评估中。在本研究中，先分离出长期效应和季节性效应，再将剩余部分视为随机过程，并用卡尔亨-洛夫展开法对其进行近似，这不仅大幅提升了可靠性问题的维度，还能更真实地描述由温度引起的不确定性。

因此，开发能够有效应对时变结构可靠性问题、克服蒙特卡洛方法的缺陷并充分考虑各类不确定性来源的方法至关重要。在耐久性分析和维护领域，准确评估钢筋混凝土结构的退化情况具有重要意义。鉴于退化模型中存在诸多不确定性来源，采用概率方法显得尤为必要[28]。因此，本文重点介绍了所提出的基于累积分布函数的方法，用于评估在气候变化条件下老化钢筋混凝土结构的腐蚀损伤概率随时间的变化情况。

本研究与其他现有工作不同之处在于，它采用了基于累积分布函数的时变可靠性建模方法，并将温度建模为经卡尔亨-洛夫展开法近似的随机过程。虽然这会大幅增加问题的维度，使得传统蒙特卡洛模拟难以实现，但却能更真实地反映气候带来的不确定性，从而提高耐久性预测的可靠性。

第2节介绍了概率密度演化方法以及所提出的基于累积分布函数的方法，并通过一些基准结构问题的可靠性分析示例加以说明。第3节探讨了在气候变化条件下，因碳化作用而导致的钢筋混凝土结构腐蚀的耐久性评估方法，随后在第4节通过具体数值算例对该方法进行了应用。最后，第5节总结了全文内容。

背景与符号说明：设(Ω,A,P)为一个概率空间。其中Ω是所有可能结果的集合，A是定义在Ω上的σ代数，包含所有事件，而P:A→[0,1]则是概率测度，即定义在(Ω,A)上的一个测度，满足P(Ω)=1。此外，设Rs为n维欧几里得空间，B(Rs)为其对应的波莱尔σ代数。

若映射Θ:Ω→Rs满足B(Rs)-可测性，即对于B(Rs)中的任意集合A，都有{Θ∈A}∈A，其中{Θ∈A}表示Θ?1(A)={ω∈Ω:Θ(ω)∈A}，则称Θ为(向量值)随机变量。

腐蚀起始：混凝土的碳化是一种随时间发展的自然现象，它会降低混凝土的pH值，从而导致钢筋发生腐蚀。近年来，碳化引发的腐蚀问题受到了更多研究关注[38]，人们也开发出了多种数学模型，根据混凝土质量、混凝土保护层厚度、相对湿度以及环境中的二氧化碳浓度等关键参数来预测碳化深度。

案例研究：本文提出的用于评估可靠性累积分布函数演化情况的方法，被用于分析意大利比萨市某一地区的碳化腐蚀概率随时间的变化情况。该结构假定建于2000年，研究的是处于无雨环境且外部为钢筋混凝土覆盖的结构（nm = 0）的情况。分析过程中既考虑了当前稳定的气候与环境条件，也考虑了未来的情景。特别是新一代……

结论：在那些某些初始参数为随机变量的演化问题中，本文提出的方法能够帮助我们确定某些重要量的概率分布随时间如何变化。将该方法应用于时变可靠性问题后得到的结果表明，即便面临高维且失效概率较低的情况，只需极少数的样本实现值就足以初步得出解决方案的估计值，而且该方法的……

作者贡献说明：菲利波·兰迪：写作——审稿与编辑、写作——初稿撰写、可视化、验证、软件开发、方法论、研究实施、形式分析、数据整理、概念构思。马西米利亚诺·卢切西：写作——审稿与编辑、写作——初稿撰写、验证、监督、方法论、研究实施、形式分析、概念构思。

资金支持情况：本研究未获得任何外部资金支持。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。

致谢：作者暂无需要致谢的内容。

菲利波·兰迪 | 马西米利亚诺·卢切西
意大利比萨大学土木与工业工程系，Largo Lucio Lazzarino, 56122 比萨