一种考虑热失效概率约束的滚动轴承时变可靠性基设计优化方法

《Probabilistic Engineering Mechanics》：A time-dependent reliability-based design optimization method for rolling bearings with thermal failure probability constraints

　　摘要
热故障是滚动轴承常见的严重故障模式，尤其是在高速或重载条件下，会导致润滑失效或轴承卡死等严重后果。然而，现有的考虑热特性的优化方法往往忽视了时间相关的不确定性，如动态载荷和环境温度变化，而这些因素都会影响热故障的风险。本研究提出了一种基于可靠性的设计优化框架，用于确定满足热故障概率约束的滚动轴承结构参数设计。首先，通过结合准静态力学模型与热阻法，建立了用于描述轴承动态热响应的热网络模型。随后，开发了一种两阶段时间序列采样方法，用于进行时间相关的可靠性分析，从而高效评估动态工作条件下的热故障概率。为提升轴承的动态承载能力，本文引入了一种优化公式，将优化过程与故障概率估算分离。最后，通过一个关于电动机用深沟球轴承的案例研究，验证了所提方法的有效性。

引言
作为现代旋转机械的核心部件，滚动轴承直接决定了设备的效率、使用寿命及整体运行安全性。在机床电主轴[1]、[2]、新能源汽车驱动电机[3]、[4]以及航空发动机[5]、[6]等高要求应用中，这些轴承需承受复杂的动态载荷，其性能表现对整个系统的运行至关重要。轴承内部因摩擦产生的异常温度升高会显著降低润滑剂的性能，加速材料老化，最终导致润滑失效或轴承卡死等灾难性后果。因此，准确分析运行过程中的热特性并有效降低热故障风险，对于提升轴承的可靠性至关重要。为此，研究人员提出了多种热分析方法。Rabréau等人[7]建立了耦合热-摩擦生热模型，研究不同运动学假设的影响；Hao等人[8]则提出了考虑热-流-固相互作用的对轴承系统的热网络建模方法；Kerrouche等人[9]利用热电类比方法，构建了瞬态热网络模型，用于估算高温高速条件下航空发动机轴承的运行温度；Cabezas等人[10]通过将椭圆热阻理论与状态空间法相结合，并利用摩擦扭矩和材料热性能等参数，预测了轴承的内部热场分布；针对深沟球轴承，Gao等人[11]基于热网络方法建立了热节点模型，并通过有限元仿真与实验验证了其准确性；Jiang等人[12]将热膨胀和位移效应纳入动态力学模型，建立了多节点热网络以描述热量产生过程；此外，Zhan等人[13]提出了一种基于增量学习的卷积神经网络建模方法，可在减少对有限元仿真的依赖的同时构建精确的热网络模型。尽管取得了这些进展，但大多数现有研究仍忽视了轴承在真实工作环境中的动态行为，这成为了一个重要的研究缺口。在实际运行中，载荷、轴转速和环境温度等典型运行参数并非恒定，而是会随时间发生显著变化。如图1和图2所示，与静态基准相比，动态变化的运行条件会显著影响轴承内的热量产生、散失及温度分布，从而导致热故障风险随时间发生变化。若忽视这些时间相关的不确定性，就无法准确评估实际运行条件下的热故障概率，进而影响在动态环境中应用的优化设计的可靠性。

为准确描述动态工作条件下轴承热故障风险的随时间积累与变化规律，本文提出了时间相关可靠性分析的概念。时间相关可靠性是指机械产品在面临时间相关不确定性时，在特定时间内能够保持正常工作性能的概率[14]、[15]、[16]。这一指标可通过时间相关故障概率来衡量，其表达式为：其中T为设计寿命，t为某一特定时间，表示极限状态函数，为与t无关的随机输入，为随机过程。由于通常为隐函数，直接用解析方法求解方程(1)较为困难。因此，人们开发了多种近似方法来高效评估时间相关系统的故障概率。蒙特卡洛仿真方法[17]、[18]通过大量随机样本模拟随机系统行为，理论上可适用于任何复杂的非线性时间相关系统，且当样本量足够大时，其计算结果可逐步逼近精确解。然而，由于需要大量仿真次数，其计算成本往往非常高。交叉率法[19]、[20]、[21]则将复杂的时间相关故障概率计算转化为交叉率估计问题，通常比直接蒙特卡洛仿真具有更高的计算效率。不过，在实际工程问题中，交叉事件往往存在相关性，而泊松假设可能导致故障概率被高估。极值分布法[22]、[23]则将时间相关可靠性问题转化为估计时间区间内系统响应极值概率分布的问题，但其准确性受所选极值分布模型及参数估计方法的影响。首次通过概率法[24]、[25]则是通过确定系统响应首次越过预定安全边界的时间的概率分布来评估故障概率，但对于具有多自由度、强非线性或非马尔可夫特性的系统，其准确性可能会大幅下降。替代建模旨在构建计算成本较低的数学框架，用以近似复杂的、资源密集型的物理或数值模型。常见的替代模型包括响应面法[26]、[27]、克里金法[28]、[29]、径向基函数法[30]、支持向量机法[31]、[32]以及人工神经网络法[33]、[34]、[35]。机器学习的快速发展进一步提升了替代模型处理高度非线性和高维问题的能力。然而，大多数模型仍难以直接替代具有时间相关特性的极限状态函数的响应。

基于可靠性的设计优化方法将可靠性分析融入优化框架，旨在找到满足特定可靠性约束的设计方案[36]、[37]、[38]、[39]、[40]。近年来，人们开发了多种先进的计算策略，以提高RBDO方法的准确性和效率[41]、[42]、[43]。尽管如此，轴承热故障问题仍存在诸多计算和方法上的挑战，包括耦合的瞬态热-力响应使得极限状态函数极为复杂，时间相关不确定性的非平稳传播使得传统稳态假设不再适用，以及在设计空间和时间域内反复进行可靠性评估所带来的高昂计算成本。为应对这些挑战，已有不少针对轴承的RBDO研究。例如，Baklouti等人[44]提出了一种结合混合方法与受限非支配排序遗传算法的多目标优化策略；为解决循环载荷下累积损伤导致的疲劳故障问题，Shi等人[45]推导出了适用于疲劳可靠性设计的载荷谱下的疲劳状态方程；此外，Jiang等人[46]还开发了一种包含整数变量的主轴轴承RBDO方法，该方法旨在在将结构可靠性和几何相关性视为非线性约束的前提下，同时最大化轴承的疲劳寿命和油膜厚度。传统的RBDO方法通常处理的是时间无关的可靠性约束，即极限状态函数不显式依赖于时间。而当优化问题涉及时间相关的可靠性约束——即极限状态函数会随时间变化，且故障可能在任何服务周期内发生时——则属于时间相关基于可靠性的设计优化问题，即TDRBDO。在这一领域，传统RBDO方法面临着巨大的计算挑战，因为时间相关可靠性分析本身就需要大量计算资源。在设计空间和整个时间域内反复进行评估，常常会形成计算瓶颈，从而严重限制复杂工程系统的优化进程。

为解决上述挑战，本文提出了一种新的滚动轴承TDRBDO方法，该方法将时间相关的热故障分析纳入其中。通过结合高效的两阶段时间序列采样策略与解耦的单循环优化框架，该算法使设计人员能够在严格满足热可靠性约束的前提下，最大化轴承的动态承载能力。本文其余部分的结构如下：第2节详细阐述热网络模型的建立过程；第3节介绍所提出的TDRBDO方法；第4节通过一个针对电动机轴承优化的案例研究，验证该方法的有效性；最后，第5节总结主要研究结论。

片段摘录
滚动轴承的准静态模型
滚动轴承的内部几何关系及其力学平衡是计算其摩擦生热特性的基础。基于准静态假设[47]、[48]，如图3所示，可以对第j个滚动元件进行受力分析。作用在该滚动元件上的力包括来自内圈和外圈的法向接触力以及，离心力，陀螺力矩，以及由此产生的切向摩擦力矩。

所提出的方法
本文提出了一种适用于滚动轴承的TDRBDO方法，该方法考虑了动态载荷下的热故障约束。该方法的核心思想包括：（1）采用两阶段时间序列采样策略，高效估算时间相关的热故障概率；（2）通过将参数优化循环与可靠性分析循环解耦，实现高效的结构性参数优化。

案例研究
为验证所提方法的有效性，本章以电动机中常用的6208型深沟球轴承为研究对象，进行了案例分析。电动机轴承在高速且载荷变化的条件下极易发生热故障，此时摩擦产生的热量会导致润滑剂性能下降甚至轴承卡死；在冷却条件有限的这类应用中，这种热故障模式往往比疲劳或磨损更为严重。

结论
本文提出了一种基于可靠性的滚动轴承设计优化框架，该框架能够考虑动态运行条件下的热故障风险。首先，通过将准静态分析与热阻法相结合，建立了用于描述轴承在动态条件下瞬态温度变化的热网络模型。其次，提出了基于两阶段采样的热故障概率估算方法。通过识别关键样本，可...

CRediT作者贡献声明
潘柏松：撰写——审阅与编辑，指导，资金获取。向永勇：撰写——审阅与编辑，验证，软件，资金获取。李一帆：撰写——审阅与编辑，原始稿撰写，可视化，软件，方法论，概念构思。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文工作的利益冲突。

数据可用性
本研究生成的原始数据及处理后的数据，可在合理请求下从相应作者处获取。

结果可重复性
本文中用于数值计算的所有核心公式均已完整呈现。需要相关计算代码的读者可联系相应作者获取。

利益竞争声明
? 作者声明不存在任何已知的、可能影响本文工作的财务利益或个人关系。

致谢
所有作者衷心感谢浙江省自然科学基金重大项目（编号LD22E050009）以及浙江省自然科学基金（编号QN26E050028）的资助。

李一帆 | 向永勇 | 潘柏松
中国浙江省杭州市浙江工业大学机械工程学院，邮编310023