一种用于非线性扩散退化条件下失效时间估计的误差控制型首次击中时间密度近似方法

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：An error-controlled first hitting time density approximation method for failure time estimation under nonlinear diffusion degradation

　　•直接的随机微分方程变换可将非线性扩散退化模型转化为布朗运动穿越问题。•逐阶高阶FHTD近似方法能够捕捉非线性边界形状效应。•可计算的FHTD误差界限有助于根据精度需求选择MTTF/VTTF的阶数。•仿真与真实数据案例均表明，相较于一阶方法，该技术能提升MTTF/VTTF的预测精度。

引言
在预测与健康管理以及可靠性工程中，剩余有用寿命预测是支持基于状态维护、维护计划优化及各类保障性决策的重要技术手段。其有效性取决于准确的故障时间估算结果[1]、[2]、[3]、[4]、[5]。对故障时间的概率估算可直接体现寿命水平及其不确定性，为维护时机确定、可靠性评估及资源分配提供可理解的决策依据。因此，退化建模与故障时间的概率估算构成了剩余有用寿命预测方法的核心问题。

为更准确地反映系统的实际退化机制，并描述退化过程中的随机波动与个体差异，随机退化建模方法被广泛采用[6]、[7]、[8]、[9]、[10]。由于具有直观的物理意义，且能够模拟与系统年龄及退化状态相关的退化过程，由布朗运动驱动的随机扩散过程也被广泛应用。Zhang等人[11]首次将以下随机扩散模型用于退化建模，其中Xt表示真实的退化过程：dXt=μXt,t;θdt+σXt,t;θdBt，其中Bt为标准布朗运动。μx,t;θ表示扩散过程的漂移系数，它是状态x与时间t的函数，参数为θ；σx,t;θ表示扩散系数，且σx,t;θ>0。漂移系数与扩散系数分别代表与系统年龄及当前退化状态相关的退化速率与波动速率。退化过程从t=t0开始，初始状态为x0=Xt0（PXt0=x0=1）。需注意的是，尽管参考文献[11]最初指出该模型遵循方程(1)的形式，但后续分析实际上是基于一种简化模型，即扩散系数为常数，也就是σXt,t;θ≡σB。

目前，已有大量基于上述扩散过程的退化建模研究。Deng等人[8]引入了均值回归特性，采用随机扩散的特殊情况——奥恩斯坦-乌伦贝克过程，来模拟围绕系统均值波动的退化行为并预测系统故障时间。Li等人[12]则采用了与方程(1)一致的退化模型，但假设扩散系数与系统状态无关，仅取决于系统年龄，即σx,t;θ=σt;θ。在后续研究中，[13]将单元间异质性纳入到同时考虑状态与年龄的退化模型中。在上述扩散模型的基础上，Pang等人[9]进一步考虑了不同退化单元间的异质性以及观测不确定性，从而构建出更为灵活通用的剩余有用寿命预测框架。Zhang等人[14]提出了与年龄相关的退化模型，以实现更简单且更精确的退化建模与故障时间预测。与[9]的研究一致，Wen等人[15]也在基于扩散的退化建模中加入了多源不确定性，但由于采用了线性测量方程，使得该模型在工程实现层面更为简洁。为模拟系统退化状态的突变，Wen等人[16]在扩散模型中加入了复合泊松过程，进而拓展了该模型的适用范围。综上所述，这些研究表明，扩散过程能够有效模拟非线性退化，同时仍具备一定的灵活性，其更简单的退化模型可作为特例：（1）当μXt,t;θ=μt;θ且σXt,t;θ=σB时，该模型可简化为基本的非线性维纳过程模型[17]；（2）当μXt,t;θ=μΛt;θ且σXt,t;θ=σBτ′t;θ时，则变为广义维纳过程模型[18]。

对于扩散过程模型而言，系统故障时间被定义为首次通过时间（FPT），在本文所研究的固定故障阈值ω穿越问题中，它也即首次到达时间（FHT），也就是性能退化过程Xt,t≥t0首次越过固定故障阈值ω的时刻，即τX=inft≥t0:Xt≥ω,Xt0=x0，其中τX的概率密度fXt体现了系统故障时间的概率分布，也就是首次到达时间密度（FHTD）。在当前研究背景下，FPT与FHT均指退化过程首次达到故障阈值的随机故障时间。FHTD则表示该故障时间的概率密度，可用于描述其概率分布，进而用于推导MTTF与VTTF值。对于剩余有用寿命预测而言，剩余有用寿命可理解为从当前时间与当前退化状态开始，到未来首次达到故障阈值为止的剩余时间。因此，准确的FHTD估算为故障时间估算及概率剩余有用寿命预测提供了基础。

方程(1)中的退化模型具有通用性，而求解扩散过程的FHTD仍然是一项极具挑战性的任务。仅有少数特殊情况下存在封闭形式解；例如，对于标准布朗运动，到达线性边界的首次通过时间分布为逆高斯分布[19]。由于精确分布往往难以处理，因此在大多数实际应用中都需要采用近似方法来估算FHTD。为在实时工程应用中实现快速在线剩余有用寿命估算，以支撑维护决策制定，预测与健康管理领域的诸多方法都是通过变换阈值穿越问题来计算FHTD，而所采用的变换技术本质上就是里恰尔迪变换[20]。这种变换方法通过数学变量替换，将给定的边界与扩散过程映射为另一组边界-扩散对，使得FHTD更容易被估算。这类时空变换在Kolmogorov[21]、Cherkasov[22]和Shirokov[23]的研究中已有探讨，最终由里恰尔迪[20]进行了形式化定义。这种方法能为扩散过程的FHTD给出近似的封闭形式表达式，但经过变换后的扩散过程必须满足特定条件。Zhang等人[11]首次将这种变换方法引入剩余有用寿命预测领域，将方程(1)描述的通用扩散过程的首次通过时间问题，转化为具有时变边界的标准布朗运动首次通过问题。然而，无论是Zhang还是可靠性工程领域的其他学者，都未曾明确说明哪些类型的扩散过程可以转化为标准布朗运动以便进行FHTD计算。此后，基于Si等人[24]提出的一个简单假设（如果标准布朗运动在某一特定时间t恰好触及边界，那么在t之前就已经超出边界的概率可以忽略不计），人们推导出了具有封闭形式的解析解。满足这一假设的近似方法也被称为一阶切线近似。这种近似方法在基于退化的剩余有用寿命预测相关研究中被广泛采用：上文提及的[9]、[12]、[13]、[15]、[16]等研究均采用了这一结果，并在此基础上进一步考虑了退化的其他方面（如多源不确定性与突变行为）。此外，[25]中的研究也值得关注，其核心方法依然是一阶切线近似，但近似目标有所不同：它是对FHT的累积分布函数进行近似，而非概率密度函数。除此之外，在预测与健康管理领域之外，相关的数学与应用学科还提供了许多用于计算首次通过时间密度的方法，比如积分方程方法[26]、[27]，以及基于福克-普朗克方程的偏微分方程方法[28]、[29]。不过，将这些方法应用于实时剩余有用寿命预测时，由于需要设置时空网格，可能会导致较高的计算复杂度。因此，对于本文所研究的特定问题，即非线性扩散退化模型的故障时间估算或剩余有用寿命预测，一阶切线近似仍然被广泛使用，也是本文改进工作的主要目标。

然而，由于复杂的故障机制以及载荷与环境条件的时变性，系统退化过程往往表现出复杂的非线性特征。例如，轴承的磨损与疲劳裂纹通常涉及与当前状态相关的加速退化，而处于应力状态下的电子元件则常常会出现与状态相关的故障率上升以及退化过程的波动。这些机制会导致扩散模型（方程(1)）中的漂移系数μ?与扩散系数σ?变得时变且与状态相关。因此，经过变换后，跨越故障阈值的问题就转变为跨越具有复杂非线性形状的时变边界的问题。在这种情况下，尽管一阶切线近似在计算上较为简单，但它直接忽略了时变边界的更高阶形状信息，从而导致较大的近似误差，进而使FHTD及其统计量（MTTF与VTTF）的估算出现明显偏差。

从这一视角来看，现有剩余有用寿命预测文献中仍有三个方面的不足之处亟待解决。首先，尽管基于变换的计算方法被普遍使用，但能够被有效转化为标准布朗运动以便进行FHTD估算的扩散退化过程类型，很少有文献明确说明。其次，一旦问题被转化为布朗运动跨越非线性时变边界的问题，除了经典的一阶切线公式之外，仍然缺乏具有收敛性解释的系统性近似方法。第三，分布层面的近似误差如何影响MTTF与VTTF，以及如何利用这种影响来选择合适的计算阶数，目前也尚未得到充分量化。因此，我们开展这项工作的主要动机，就是为非线性扩散退化过程的FHTD近似开发一种具有构造性且误差可控的方法，这类模型被广泛用于复杂系统的可靠性建模。该方法将基于变换的简化、逐阶高阶近似以及FHTD到统计量的误差传播机制应用于此类退化建模场景，从而实现更准确的故障时间统计量估算，并便于对一阶切线近似的误差进行分析。具体而言，本研究的主要贡献可总结如下：（1）针对非线性扩散退化模型，提出了一种可验证且具有构造性的直接随机微分方程变换方法。该方法以切尔卡索夫函数作为适用性判据，明确了何时可以将扩散退化过程转化为标准布朗运动以便进行FHTD近似，给出了相应的构造性映射方式，将非线性退化效应转化为时变边界，并阐明了其与经典里恰尔迪变换之间的对应关系。（2）针对经过变换后的布朗运动边界穿越问题，开发了一种逐阶进行且误差可控的FHTD近似方法。该方法以经典的一阶切线近似为基础，通过基于杜宾级数的递归计算，逐步纳入了一阶方法所忽略的非线性边界形状信息。（3）通过应用巴拿赫不动点定理于逐阶近似所诱导的压缩映射，并将由此产生的FHTD近似误差传递到MTTF与VTTF上，从而得到了可计算的误差界限。这些界限将分布层面的近似误差与故障时间统计量的估算误差联系起来，为实际工程应用提供了基于精度的阶数选择准则。

本文的其余结构如下：第2节介绍了在非线性扩散退化条件下，用于FHTD近似与故障时间估算的具有构造性且误差可控的方法，包括直接随机微分方程变换、逐阶近似方案以及相关的误差界限。第3节通过仿真研究验证了所提方法的有效性，结果表明其在多种非线性退化场景下都能提升估算精度。第4节通过XJTU-SY全寿命轴承退化数据集与LED加速退化数据集的案例研究，展示了该方法在真实工程数据中的应用效果。最后，第5节对全文内容进行总结与讨论。轴承案例用于检验所提方法在机械退化数据上的适用性，而LED案例则进一步验证了该方法在真实电子产品中的应用稳定性。结论：对于非线性扩散退化过程，能够准确且可评估地近似计算首次失效时间密度，仍是失效时间估计和剩余使用寿命预测中的核心问题。尽管一阶近似在失效时间估计中具有较高的计算效率，但在强非线性、时间不均匀以及状态依赖性的退化情况下，其准确性可能会大幅下降。为解决这一问题，本文建立了一种有效的……CRediT作者贡献说明：布志远：写作——审稿与编辑、写作——初稿撰写、可视化、软件、方法论、形式分析、数据整理、概念构建；龙兵：写作——审稿与编辑、项目管理、概念构建；刘振：写作——审稿与编辑、监督、资源协调；王景远：写作——审稿与编辑、监督、概念构建；耿航：写作——审稿与编辑、监督。未引用的参考文献[47]、[48]、[49]。利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。致谢：本研究得到了中国国家自然科学基金委员会的支持，项目编号为U2330206。感谢西安交通大学和中国浙江长兴苏洋科技有限公司提供的轴承数据集[37]，以及余某提供的LED加速退化数据集[46]。布志远|龙兵|刘振|王景远|耿航