具有诺维科夫扰动的九阶罗森瑙-川原-RLW（nRK-RLW）方程的八阶守恒差分格式：一种递归紧算子方法

《Journal of Computational and Applied Mathematics》：Eighth-order conservative difference schemes for the ninth-order Rosenau-Kawahara-RLW (nRK-RLW) equation with Novikov perturbations: a recursive compact operator approach

　　摘要：本文针对带有诺维科夫扰动的九阶罗森瑙-川原-RLW方程，建立了递归紧致算子矩阵分析方法。在周期边界条件下，提出了两种八阶差分格式：两级非线性克朗克-尼科尔森格式（方案A）和三级线性化格式（方案B）。这两种格式均能达到O(τ2+h?)的精度，并保持离散能量守恒。通过将矩阵分解与离散能量技术相结合，严格证明了数值解的存在性、唯一性、稳定性及收敛性。数值实验验证了理论结果，显示出在长时间积分过程中具有高精度和良好的能量守恒性能。

引言：非线性波动现象广泛存在于物理和工程领域，包括流体力学、等离子体物理学以及固体物理学。对非线性色散波的系统研究始于KdV方程[1]，该方程描述了单向浅水孤立波，且拥有无穷多组守恒律[2][3][4]。然而，由于假设非线性较弱，KdV方程在模拟波与波之间以及波与壁面的相互作用时存在局限。为解决这些问题，人们引入了规则长波方程或本杰明-博纳-马奥尼方程来描述小振幅长波[5][6][7][8]，同时发展出罗森瑙方程用于描述密集离散系统中的相互作用，例如非线性LC传输网络[9][10][11][12]。为描述更高阶的色散效应，川原[13]提出了五阶KdV型方程。此后，又出现了结合川原型色散项与RLW/BBM型规则化的模型，应用于浅水及海岸工程领域[14][15][16]。罗森瑙-川原-RLW方程作为一种统一模型，也得到了系统研究[17][18][19]。最近，左[20]研究了七阶RK-RLW方程，并为其数值解开发了六阶守恒型有限差分格式。与此同时，迪米特里恩科等人[21]为一维和二维下的广义罗森瑙-RLW方程开发了四阶紧致守恒型差分格式。此外，源自浅水理论的诺维科夫型扰动能够产生峰形孤子解[22][23]。在本研究中，我们考虑带有诺维科夫型扰动的九阶罗森瑙-川原-RLW方程：ut+αupux+βux?γuxxt+μu3x+εu?xt+σu?x?λu?xt+θu?x+ηu?xt+ωu?x=s[(p+1)up?1uxuxx+upu3x]，其中x∈[xl,xr]，t∈[0,T]，并施加以下初始条件和周期边界条件：u(x,0)=u?(x)，u(x+L,t)=u(x,t)，x∈[xl,xr]，t∈[0,T]。从物理意义上讲，nRK-RLW-诺维科夫方程[1.1]可用于模拟流体力学中的复杂非线性波动现象，包括波与壁面的相互作用、浅水中的高频色散波以及非线性声波传播。这些现象在海岸工程、海上结构设计以及水下声学领域具有重要意义[24]。该方程包含了三个基本的物理要素：高阶色散效应、由混合导数项表示的粘性耗散作用，以及诺维科夫型扰动。它涉及高达九阶的空间导数，同时还包含多种非线性项，这对高精度数值计算带来了巨大挑战。与七阶模型[20]相比，该方程通过强化色散、耗散及扰动结构扩展了理论框架。尽管这一九阶周期系统的严格适定性仍是一个未解问题，但相关的高阶KdV型方程以及诺维科夫方程的局部适定性已得到证明[25][26]。鉴于上述理论缺陷和数值限制，亟需为该九阶模型开发出高精度且能保持物理结构的数值格式。推动这项研究的因素有三个。首先，包括紧致有限差分格式[27][28]以及指数时间步进格式[4]在内的高阶数值方法，能够在相对粗糙的网格上获得令人满意的精度，从而在长期模拟中有效降低计算成本，同时还能精确描述细微的波形特征。近期的一些例子包括用于克莱因-戈登-扎哈罗夫系统的四阶紧致守恒格式[29]，以及用于克莱因-戈登-狄拉克方程的保结构积分器的长期误差估计[30]。其次，许多色散波偏微分方程都具有质量与能量等内在守恒律，而那些能够保持这些守恒量的离散守恒格式，能够提升数值计算的长期稳定性和定性精度[31][32][33][43]。这促使人们越来越关注为罗森瑙型方程、罗森瑙方程以及正弦-戈登方程[11][12][34]开发守恒格式，同时也出现了傅里叶伪谱法以及龙格-库塔-尼斯特罗姆法[35][36]。第三，嵌入式的诺维科夫型扰动项丰富了方程的非线性结构，使得模拟波浪破碎和峰形孤子之间的相互作用成为可能[37]。因此，开发出既能准确描述强非线性现象，又能严格保持守恒性质的有限差分格式，是一项具有重大研究价值的任务。值得注意的是，目前关于高阶色散方程的数值研究大多集中在低阶模型上，如五阶、七阶模型或耦合系统[20][38][39]。具体到带有扰动的nRK-RLW模型[1.1]，目前仍存在一个关键的研究缺口：很少有现有格式能够同时实现八阶空间精度、严格的离散守恒性以及低计算成本。大多数传统方法要么存在过大的数值耗散，要么无法保持能量守恒，或者低阶精度不足，从而导致高频模式的模拟不准确，且在长期计算过程中离散守恒量会持续发生偏差。我们之前的工作通过构建三个独立的紧致算子A1、A2和A3，为四阶广义罗森瑙-RLW-布尔格斯方程中的一阶、二阶和四阶导数提供了初步的近似方法[40]，从而为本研究奠定了基础。然而，这种多算子框架若要用于离散化九阶导数，要么需要引入新的算子，要么扩大计算模板，这就限制了其在大阶数波动方程中的应用。为克服这一技术难题，本研究建立了一种简化且可扩展的递归紧致离散化框架。与[40]中的三算子设计不同，第3节仅定义了两个基本的八阶紧致算子A和B，分别用于近似一阶和二阶导数。随后，通过迭代这两个算子及其逆运算，即可递归地得到高达九阶的所有空间导数，其具体的组合公式也在第3节中给出。这种方法将[40]中低阶模型的递归深度从零提升到了四。此外，它还将左[20]的研究从七阶方程及六阶精度提升到了当前所研究的九阶方程及八阶精度。虽然算子系数沿用了[40]中的设定，但递归组合策略本身具有创新性，带来了低递归阶数离散化中未曾出现过的理论挑战。主要的理论难点有三点：首先，对于更高的递归阶数（k=3,4），所得到的离散算子需要经过严格验证，确保其具有对称正半定性质，以及均匀的、与网格无关的特征值界限。这些性质并非自然而然就能满足，因此需要进行系统的谱分析，正如引理4.5中所展示的那样。其次，一阶导数算子与二阶导数算子幂次之间的可交换关系，是进行标准离散能量估计的必要前提。正如引理4.1所示，所有相关的组合矩阵都具有循环特性，因此满足可交换规则。第三，最大范数稳定性取决于前向差分算子与由二阶导数项导出的平方根算子之间的均匀等价性，这一点已在引理4.3和定理4.7中得到证实。为应对递归带来的理论挑战，本研究为所提出的递归紧致离散化方法开发了一套定制的矩阵谱分析框架，该框架可应用于高达九阶的情况。该框架能够高效地扩展到更深的递归阶数，且性能优于现有的低阶方法。考虑到方程(1.1)所具有的非线性扰动特性，本研究提出了两种可行的高阶守恒型有限差分格式：一种为非线性两级克朗克-尼科尔森格式（方案A），另一种为线性化三级差分格式（方案B）。第4节中提出的定制矩阵分析理论是本研究的核心创新点。据我们所知，这是首个为带有诺维科夫扰动的nRK-RLW方程设计的八阶能量守恒格式。本研究的新颖之处包括以下几点：• 本研究提出了一种基于模板且高度紧凑的高阶离散化框架，该框架仅使用两个基本的紧致算子A和B。通过这些算子的递归组合，即可得到高达九阶的所有导数，从而无需扩大计算模板即可实现方程(1.1)的八阶精度。这种紧凑的模板不仅减少了达到指定精度所需的网格点数量，还为将来扩展到非周期边界条件提供了更大灵活性。• 本研究构建了一个基于矩阵的全面理论框架，通过循环矩阵分解与离散能量技术，严格证明了这两种格式的存在性、唯一性、稳定性以及最优收敛性。该框架还专门解决了随着递归深度增加而出现的三个理论问题。• 研究开展了大量数值实验，以验证理论成果，其中包括针对五阶和七阶方程的收敛性测试，以及针对九阶模型的长期能量守恒性测试。本文的其余部分结构如下：第2节首先推导方程(1.1)的连续能量守恒定律。第3节介绍空间离散化方法，其中给出了八阶紧致算子以及非线性克朗克-尼科尔森格式（方案A）的具体形式。接下来的两节则进行理论分析：第4节证明了方案A的守恒性、可解性、稳定性以及收敛性，而第5节则将分析范围扩展到线性化三级格式（方案B）。第6节讨论了算法实现方式及计算复杂度。第7节展示了支持理论结论的数值实验结果。最后，第8节给出了总结意见及未来研究方向。

能量守恒定律：nRK-RLW-诺维科夫方程[1.1]存在一个守恒的能量函数，这一函数对于分析其解的渐近行为至关重要。此外，这一守恒定律也为设计能够保持物理结构的数值格式提供了有力的依据。

定理2.1：假设u(x, t)是满足方程(1.1)且在方程(1.2)所给周期边界条件下的光滑解，那么能量E(t)是守恒的，即对所有t>0都有dE/dt=0，其中E(t)=∫???? u2+γux2+εuxx2+λu3x2+ηu?x2dx，且γ,ε,λ,η>0。

八阶差分格式：本节介绍了用于求解nRK-RLW-诺维科夫系统(1.1)-(1.2)的高阶差分格式的构建方法。该离散化过程在域Ω=[??,??]×[0,T]上采用均匀网格。设J和N为正整数，分别定义空间步长h=(?????)/J，时间步长τ=T/N。网格点由Ω?,τ={(??,tn)|??=??+jh，tn=nτ，h=(?????)/J，τ=T/N，0≤?≤J，0≤n≤N}来表示。周期网格函数空间记为RperJ={U?∣U?+J=U?，j∈Z}。为了便于进行更严谨的理论分析，我们首先用矩阵符号重新表述该离散格式。在周期边界条件下，差分算子A和B分别由对称正定Toeplitz矩阵A和B来表示。我们定义H?=A?1和H?=B?1。差分算子δx?和δx2则对应于矩阵D?和D?。设Un=(U??,U??,?,U??)?表示离散时间级n时的未知变量向量。

三级线性化差分格式的矩阵分析：本节我们将介绍并分析一种用于带有诺维科夫型扰动的nRK-RLW方程的三级线性化有限差分格式（方案B）。首先定义以下差分算子：δt?U??=U?????U????/2τ，U???=U????+U????/2，其中Un∈RperJ。然后，方程(1.1)的三级线性化差分格式可表示为：δt?U??+α?(U??,U???)+βA?1δx?U????γB?1δx2δt?U??+μA?1δx?B?1δx2U???+ε(B?1δx2)2δt?U??+σA?1δx?(B?1δx2)2U????λ(B?1δx2)3δt?U??+θA?1δx?(B?1δx2)3U???+η(B?1δx2)?δt?U??+ωA?1δx?

算法实现与计算复杂度分析：本节概述了所提格式的实现方法，并分析了它们的计算复杂度。

数值实验：本节通过数值实验来评估所提格式的守恒性质及精度。数值解的收敛率可通过以下公式计算：∥en∥=(h∑??????1|U???U??|2)1/2，∥en∥∞=max?≤?≤??1|U???U??|。

结论：本文为带有诺维科夫扰动的九阶罗森瑙-川原-RLW方程建立了递归紧致算子框架，首次为该模型设计了两种八阶能量守恒型差分格式。理论分析为数值解的存在性、唯一性、稳定性及收敛性提供了坚实的理论基础，而数值实验则验证了预测的收敛速率，并展示了出色的性能。

资助情况：本研究得到了中国福建省自然科学基金（编号：2024J01802）、气象大数据研究院-数字福建以及福建省数据科学与统计重点实验室的资助。

作者贡献：作者声明自己是本篇论文的唯一作者。

王晓峰，中国福建省漳州市闽南师范大学数学与统计学院，邮编363000。