基于计量传播的空间流行病早期预警指标：一种应用于德国COVID-19的统计力学方法

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Early-warning indicators of spatial epidemics from gauge-mediated contagion: A statistical-mechanics approach applied to COVID-19 in Germany

　　摘要：我们构建了一种统计力学模型，用于描述空间扩展型流行病动态，其中传染是通过显式的环境场而非瞬时局部接触来实现的。基于Doi–Peliti形式主义，我们建立了易感宿主与感染宿主与扩散性病原体场相互作用的随机场理论，并通过积分消除中介因子，得到了具有Yukawa型相互作用核的空间非局域有效作用量以及时间记忆效应。该形式主义为基本再生数和有效再生数提供了封闭的解析表达式，包括一环波动修正，这些修正可重新规范传播率，并产生超出平均场SIR模型的空间屏蔽效应。我们还推导出了有效屏蔽质量及类德拜相关长度，其临界软化现象预示着无病状态的即将不稳定，从而为疫情波提供场论层面的早期预警指标。超传播现象则通过异质性的“疫情电荷”分布来体现，该分布控制着相关长度的发散程度，即便种群平均R0值处于亚临界状态，也能解释多灶性疫情爆发的出现。最后，我们将该模型应用于德国约400个行政区的高分辨率COVID-19发病率数据，动态提取有效屏蔽质量和重新规范后的再生数，结果表明，这些由场论介导的指标能在传统基于SIR模型的估算结果出现前几天就预示疫情状况的重大变化。

引言：传染病数学建模传统上依赖于经典的Kermack-McKendrick SIR方程[1]、[2]、[3]，这些方程假设种群充分混合且存在瞬时局部接触。这类确定性微分方程为研究疫情提供了非常有用的方法。但随着疫情数据的增加，现实世界中的大流行数据中观察到了非线性行为，如长距离空间相关性。此外，“爆发”动态、多灶性疫情或超扩散等现象也无法仅通过局部相互作用来解释[4]、[5]、[6]、[7]。已有大量研究从多个互补角度探讨这一问题：明确编码移动性和接触网络的大规模基于智能体的模拟与群落模拟[8]、[9]，空间疫情传播的替代场论处理方法[10]，以及结合实测异质性移动模式的简化SIR型模型[11]。我们的方法与之不同之处在于，非局域核并非预先设定（通过假设的接触矩阵、移动网络或现象学记忆函数），而是从显式中介场的微观随机动力学中动态推导而来，具体细节将在后文阐述。因此，为了解释这些现象，必须假设存在非局域相互作用。已有多种方法被提出用于在类似SIR的模型中引入非局域特性，例如分数阶导数或Levy飞行模型[12]、[13]。在本研究中，我们构建了一种随机场论模型，将环境视为易感宿主与感染宿主之间传染的显式中介。通过将Doi–Peliti物质场与扩散性病原体场相结合并积分消除中介因子，我们得到了一个非局域有效作用量，在该作用量中，Yukawa型相互作用核和时间记忆效应是从第一性原理中衍生出来的，而非通过现象学方式强加的（例如通过分数阶导数或Lévy飞行）。该形式主义为基本再生数和有效再生数提供了包含波动诱导屏蔽修正的封闭解析表达式，还引入了作为疫情不稳定性临近预警指标的有效质量和相关长度，并通过宿主与中介之间耦合的异质性自然地纳入了超传播现象。在论文的第二部分，我们将该模型应用于德国约400个行政区的高分辨率COVID-19发病率数据，动态提取有效质量，结果表明，其衰减能在传统基于SIR模型的指标出现前几天就预示疫情状况的重大变化。

量子电动力学技术可通过将费曼规则应用于我们的作用量来计算任何可观测量。在该模型中，一旦积分消除病原体场，非局域特性便会出现。我们展示了真空极化现象，它描述了易感人群对病原体的响应，以及如何“修饰”病原体场的质量，进而改变其质量mR（该质量与其传播长度ξ≈1/mR相关）。我们将有效再生数Reff定义为经过重新规范的耦合常数，并说明了德拜屏蔽如何从根本上改变不同尺度下的感染性[5]、[14]、[15]。众所周知的疫情阈值（R0=1）可被重新表述为一种对称性破缺相变，此时有效病原体质量趋于零（mR2→0）[16]、[17]、[18]、[19]、[20]。在量子电动力学中，当meff2≤0时，也描述了类似的对称性破缺相变[21]、[22]、[23]、[24]。此外，我们还分析了超传播宿主的影响，表明它们可以很容易地被引入该模型，且会影响Reff等参数。最后，我们提出了一套完整的操作流程，说明如何利用真实世界的临床和环境数据对模型进行校准，从而为政策制定提供依据。

这种规范场论方法的主要优势在于其预测能力。与那些根据观测到的发病率（如有效再生数Reff）做出反应的经典分组模型不同，规范场能对疫情爆发的潜在结构前提作出反应。本文的结构如下：第二部分构建理论形式主义，从随机主方程出发，利用Doi-Peliti形式主义过渡到连续场论作用量，并确立相应的费曼规则。第三部分详细介绍了真空极化的计算以及病原体质量的重新规范。在第四部分和第五部分，我们在该规范模型中定义了基本再生数R0，并探讨了德拜屏蔽如何动态改变有效传播范围，将疫情阈值与对称性破缺相变联系起来。第六部分通过一环顶点图计算有效再生数的空间波动修正。第七部分考虑了宿主的异质性，说明了超传播者如何作为高强度的规范场源，改变系统的临界稳定性。第八部分简要总结了这些发现的理论意义。第九部分提出了利用真实世界的临床和环境数据对理论场算符进行校准的操作流程。第十部分通过德国400个行政区的COVID-19疫情综合案例研究，验证了模型的预测能力，从空间相关性数据中提取出随时间变化的有效质量。最后，第十一部分对全文进行了总结，并讨论了未来的拓展方向。

从随机主方程到作用量：在写出作用量之前，我们先按照标准的Doi-Peliti构建方法[18]、[25]、[26]，概述其微观起源。起点是在格点（或连续介质）上的随机反应机制，其中宿主的占据数分别为S(x,t)、I(x,t)，离散病原体量子数为nφ(x,t)，这些量在基本的马尔可夫过程中演化，即S?βnφ、I?γ0?（移除）、I?gI+φ-量子、φ-量子?m02/Dφ0?/hop，也就是说，传染发生的速率与局部病原体密度成正比。

真空极化（病原体场的自能Π）：真空极化代表了人群对病原体存在的“响应”方式，实际上改变了传播环境。当病原体在易感人群构成的“真空”中移动时，它并不会静止不动，而是持续与宿主发生作用。感染者释放病毒（即中介玻色子）后，会在周围形成一片潜在新感染的“云团”。这种相互作用会改变场的传播特性，进而改变其质量。因此，可以预期，传播过程不会只是简单衰减。

在QED-SIR模型中：再生数R0定义为“生成/感染”速率与“衰减/移除”速率的比值，即R0=场耦合强度/环境阻力=gβS0γm02，其中：•g（发射率）：感染者向环境中释放病毒的速率；•β（吸收率）：易感者从场中捕获病毒的截面；•S0（密度）：真空的“介电常数”，即可用的易感宿主密度；•γ（宿主恢复率）：宿主从感染状态恢复的速率。

在我们的QED启发式SIR模型中，德拜屏蔽是指易感人群吸收并屏蔽病原体场的过程，从而阻止其到达远处的宿主。在无菌环境中，病原体可能传播很远；而在人口密集的环境中，物质场（即人）会与中介场（即病原体）发生相互作用，从而有效增加病原体质量并缩短其传播范围。我们首先考虑在有宿主群体存在的条件下，病原体场φ的静态经典方程。

有效再生数Reff的计算：在我们的QED启发式SIR模型中，有效再生数Reff被构建为经过重新规范的耦合参数的现象学类比（关于mR的性质，详见第三部分末尾的说明）。对R0的第一个修正在于，随着疫情的进展，可用“电荷”（即易感者数量）会逐渐减少。在鞍点近似下（??=1），可得到经典结果，即Reff会下降，表达式为Reff(t)=gβS(t)γm02=R0S(t)/S0。正如我们在前一节中所推导的，病原体……

超传播宿主：我们将感染人群分为两类：IL（低排放者）和IH（高排放者/超传播者）。在量子电动力学中，这相当于引入带电量大于电子的电荷粒子。此时，病原体场φ由多组分电流产生：J(x,t)=gLIL(x,t)+gHIH(x,t)。为了在模型中形式化这一概念，我们定义了一个种群，其中有一部分比例pi的个体带有电荷gi；总的真空极化则是所有可能的宿主环贡献之和。每种“类型”的……

结果与讨论：流行病动态与临界现象物理学之间的联系——如长尾病例数分布、无标度疫情规模统计，以及阈值附近发散的相关长度——在统计力学中有着悠久而成熟的理论基础，最著名的成果是将SIR/SIS阈值与定向渗透普适类中的吸收态相变联系起来[16]、[17]、[20]、[30]、[31]；在流行病建模领域，也有相应研究……

操作框架与实际应用：到目前为止，我们已经展示了我们的QED启发式模型如何为疾病传播提供非常完整的动态描述。因此，下一步就是展示在实际疫情研究中如何运用这一模型。为此，在本节中，我们通过流程图提供了一种将场论形式主义与公共卫生政策相连接的途径。与依赖静态参数的经典分组模型不同，该模型将环境视为动态的中介场，这就需要特定的……

研究案例：2020–2023年德国的COVID-19疫情：为了验证我们在第2–4节中开发的模型，我们需要将这种关于规范场介导传染的连续场论描述适配到真实世界的数据中。为此，我们将连续空间流形映射到德国的行政地理结构上，用N=400个交互节点代表德国的各个行政区（县和市）。我们使用了罗伯特·科赫研究所提供的官方COVID-19发病率数据库[32]，该数据集包含每日……

结论：在这项工作中，我们提出了一种基于量子电动力学的SIR模型。在该模型中，疾病传播的所有动态特征都被隐含地定义了出来。通过用由中介场φ介导的动态相互作用取代经典SIR模型中的“直接接触”机制，我们证明了量子电动力学数学技术可以扩展到这一流行病模型中，从而让我们能够描述标准SIR模型无法解释的各种现象，尤其是非局域相互作用现象。

作者贡献声明：José de Jesús Bernal-Alvarado：可视化、验证、监督、方法论、研究、形式分析、概念构建。David Delepine：可视化、验证、方法论、研究、形式分析、概念构建。

利益冲突声明：作者声明没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

致谢：我们感谢SECIHTI和SNII（墨西哥）以及瓜纳华托大学的财政支持。

José de Jesús Bernal-Alvarado | David Delepine
墨西哥瓜纳华托大学物理工程系