通过同步整流-放电神经元实现的神经形态同步驱动下的分布式相位同步

《Systems & Control Letters》：Distributed phase synchronization through neuromorphic entrainment by synchronized integrate-and-fire neurons

　　摘要：在本文中，我们提出了一种受神经元启发的方法，用于以分布式方式实现相同非线性振荡器的相位同步。所提出的框架具有分层结构。在上层，一个脉冲耦合神经元网络实现同步，并为下层提供同步的驱动信号。在下层，成对的神经元生成模拟驱动信号的脉冲列，这些脉冲列随后被施加到非线性振荡器上，从而引发同步效应。因此，无需通过网络进行持续通信、持续驱动或从振荡器获取测量数据，即可实现渐近相位同步。文中通过范德波尔振荡器的数值示例说明了该方案。

引言：非线性振荡器的同步是自然系统和工程系统中普遍存在的一个基本问题，涉及生物节律[1]以及电力系统[2]，在微电网[3]和基于逆变器的智能电网[4][5]中也有体现。因此，理解和控制同步已成为非线性动力系统研究中的核心课题[6][7][8][9]。同步背后的关键机制之一是同步锁定，即振荡器在受到弱周期性驱动信号的作用时，会调整自身的节奏以匹配输入信号的频率和相位[6][10]。尤其是当驱动频率与振荡器的自然频率足够接近时，就会发生相位锁定，从而使振荡器与外部信号之间形成稳定的相位关系[11][12]。另一方面，受神经元系统启发的神经形态控制作为一种高效且可扩展的控制范式逐渐兴起[13][14][15]。与传统控制方案相比，神经形态控制采用基于脉冲的事件驱动式通信和计算方式，这有助于降低通信带宽和能耗。这些特点使得神经形态控制特别适用于大规模且资源受限的系统。近期有研究[16]探讨了基于仿真的神经形态控制，即用通过简单神经元模型生成的脉冲列来近似连续时间信号。例如，已有研究表明，一对漏积分-放电神经元能够很好地模拟连续时间控制操作，从而稳定线性时不变系统[16][17]。这一研究方向表明，连续时间控制信号可以被基于脉冲的事件信号替代，从而为无需持续通信的同步方案铺平了道路[18]。受这些进展的启发，本文提出了一种双层神经形态架构，通过基于脉冲的同步锁定实现相同非线性振荡器的渐近相位同步。在上层，一个谐振器神经元网络通过全互连但稀疏的事件驱动式通信实现同步，这一设计借鉴了传统的脉冲耦合同步方法[1]。在下层，成对的神经元生成脉冲列，模拟上层每个谐振器神经元产生的弱周期性驱动信号，进而促使每个振荡器发生同步。所提出的方法具有三大优势：首先，它完全依赖基于脉冲的网络通信，无需持续的信息交换；其次，施加到振荡器上的控制输入也以脉冲列的形式实现；第三，该方法采用全前馈方式，无需从振荡器获取任何测量数据，这一特性在感知能力有限的场景中尤为有用。此外，我们还提出了[16]所提出的神经形态仿真器的简化版本，通过引入神经元的时间常数，直接在混合动力系统框架上给出了更简便的证明[19]。本文的其余部分安排如下：第2节阐述非线性振荡器的相位同步问题；第3节介绍漏积分-放电神经元及其同步特性；第4节介绍神经形态信号仿真器，并展示如何利用该仿真器实现非线性振荡器的同步；第5节提出双层相位同步框架；第6节通过范德波尔振荡器的数值示例说明结果；最后，第7节对全文进行总结。整数、非负整数、实数、非负实数和正实数分别用Z、Z≥0、R、R≥0和R>0表示。定义在X上的局部勒贝格可积且局部本质有界函数集合记为L(X)。可微函数f:Rn→Rm在x∈Rn处的雅可比矩阵记为Df(x)∈Rm×n。在Rn中，标准内积用〈?,?〉表示。所有元素均为1的列向量记为1n∈Rn。给定有限集合S，|S|表示其元素个数。对于a∈R和b∈R>0，模运算定义为?amodb?a??(a+b/2)/b?b。例如，若θ0=θmod2π，其中θ∈R，则θ0∈[?π,π)。海维赛德阶跃函数定义为?H(t)?1{t≥0}，其中1A是集合A的指示函数，特别地，H(0)=1。我们采用[19]中的混合系统框架，将混合系统H=(C,F,D,G)定义为：当x∈C时，x?∈F(x,u)；当x∈D时，x+∈G(x)。此处，x∈Rn和u∈Rm分别表示状态和输入。集合C?Rn和D?Rn分别是流集和跳变集。映射F:Rn×Rm?Rn和G:Rn?Rn分别表示流映射和跳变映射。H的解定义在R≥0×Z≥0的子集上，这个子集被称为混合时间域[19，第2章]。对于解(t,j)?x(t,j)，其混合时间域记为domx=?j=0∞([tj,tj+1],j)。为简化符号表示，如果x∈D1时x+∈G1(x)，x∈D2时x+∈G2(x)，那么对于x∈D1∩D2，可将其理解为x+∈G1(x)∪G2(x)。特别地，任何差分方程都应视为右端为单值函数的差分包含关系。对于任意混合弧x(t,j)，约定当t∈[tj,tj+1)且(t,j)∈domx时，?x(t)?x(t,j)。

问题表述：考虑形式为x?=f(x)+bu的非线性振荡器，其中x∈Rn，u∈R，假设向量场f足够光滑，b∈Rn为增益向量。初始条件为x(0)=x0，输入为u:R≥0→R的初值问题的解记为Ψ(t,x0,u)。如果解γ(t)=Ψ(t,x0γ,0)不是时间的常数函数，且存在某个T0>0，使得对所有t≥0都有γ(t)=γ(t+T0)，则相应的轨道?Γ?{γ(t):t≥0}被称为周期轨道，最小的这样的T0>0称为轨道的周期。

上层神经元：在本节中，我们将介绍用于上下两层的神经元模型，并研究上层的同步特性。

下层神经元：本节介绍一对神经元，它们通过基于事件的脉冲列来模拟连续时间信号，随后分析由该模拟信号驱动的非线性振荡器的同步现象。

非线性振荡器的分布式神经形态同步：在本节中，我们在前述研究的基础上，提出如图3所示的双层同步框架。在上层，如3.2节所述，谐振器神经元实现同步。这些同步后的神经元会生成周期性信号，用来驱动下层。在下层，每个NM-AMP通过脉冲列模拟驱动信号，这些脉冲列随后被施加到各个非线性振荡器上，具体过程见4节。由此产生的动力学系统可以……

数值模拟：作为示例，考虑范德波尔振荡器，这是一种在电力电子领域广泛应用的典型非线性振荡器[4]，其方程为(1)：x?1x?2=x22(1?x12)x2?x1+01u。我们考虑N=5个振荡器，谐振器神经元的参数设为v0=0.2和μ=0.12。脉冲幅度分别设为?s=0.1和?e=0.3，时间常数为τ=0.2。我们对谐振器神经元、NM-AMPs以及振荡器的初始条件进行随机选取，然后进行了数值模拟。

结论性意见：在本文中，我们提出了一种针对一组相同非线性振荡器的双层基于脉冲的相位同步方案。在上层，我们引入了一种用于谐振器神经元的稀疏脉冲式同步方法。在下层，神经形态放大器将连续的同步信号转换为基于脉冲的信号，再施加到非线性振荡器上，从而实现相位同步。未来的工作将包括分析该方案在面临数据丢失时的鲁棒性等。

CRediT作者贡献声明：Donghyeon Song：写作——审阅与编辑，写作——初稿。Hyeonyeong Jang：写作——审阅与编辑。Giordano Scarciotti：写作——审阅与编辑。Jin Gyu Lee：写作——审阅与编辑。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文工作的已知财务利益或个人关系。

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