基于物理信息的神经网络结合响应面方法与灵敏度分析，用于研究抛物面槽式太阳能集热器中存在聚并现象的纳米流体的传热过程

《Thermochimica Acta》：Physics Informed Neural Network with Response Surface Methodology and Sensitivity Analysis to Analyze the Heat Transfer of a Nanofluid with Aggregation in a Parabolic Trough Solar Collector

　　摘要：纳米颗粒的聚集会影响系统的有效热导率、黏度及流动特性。了解这一过程的发生机制对于预测特定系统中纳米流体的行为至关重要。物理引导型神经网络方法在这种场景下表现高效，因为这些过程背后的物理原理可以被纳入训练过程中。本文的创新之处在于运用带有L-BFGS优化器的PINN方法，分析嵌入抛物面槽式太阳能集热器中的水平圆柱形环隙内的TiO2-EG纳米流体流动情况。此外，还考虑了热辐射、不规则热源/热汇以及磁场对系统传热的影响。PINN的训练损失在初期会急剧下降，随后以平稳且单调的方式降至极低值（10^-1至10^-4），表明结果已收敛。进一步通过响应面方法与敏感性分析进行了研究。

引言：纳米颗粒的聚集建模在边界层流动中的传热过程中起着重要作用。当纳米颗粒聚集成团时，会改变流体的有效特性，如黏度和热导率[[1], [2], [3]]，这些特性会直接影响流动结构与传热性能。因此，研究人员有必要对其展开研究，以预测系统行为、分析不同物理条件下的影响，并有效处理边界层流动中的复杂动力学现象[4,5]。流动模型有助于理解边界层流动中的传热过程，同时也有助于识别关键影响因素[6]。在纳米流体の边界层流动中，纳米颗粒间的相互作用是重要影响因素之一。尽管边界层流动乍看之下似乎较为简单，但实际上其数学复杂性极高，使得分析工作极具挑战性。在数学模型构建的更广泛框架中，热物理关联性的验证是最为复杂且不可或缺的环节，因为它需要确保模型输出的结果在物理上具有一致性且表现合理[7,8]。因此，众多学者已投入大量精力[[9], [10], [11], [12], [13]]，试图阐明边界层系统的多重特性，尤其是受纳米颗粒聚集及其他多种外部因素影响时的行为变化。纳米颗粒的聚集在决定纳米流体在边界层流动中的行为方面起着关键作用[[14], [15], [16]]。根据聚集程度的不同，这些变化可能会提升或降低边界层系统中传热的整体效率[17,18]。Akbar等人[19]研究了以氧化铝纳米颗粒为添加剂的煤油基纳米流体的流动情况，探讨其在火箭发动机冷却剂方面的应用潜力，他们的研究结果表明，聚集状态的纳米颗粒相比未聚集状态具有更低的热力学不可逆性。

许多科学和工程系统的精确建模依赖于求解高度非线性的微分方程，而研究人员通常采用传统数值方法来处理流体流动和传热问题中的这类方程。然而，这些传统数值方法在处理高维系统、形状不规则的几何结构以及需要进行高计算量模拟的场景时往往面临诸多难题。正是由于这些限制，人们开始探索能够结合数据驱动学习方法[[20], [21], [22]]或将数据驱动学习与既定物理定律相结合的替代方法。物理引导型神经网络（PINNs）便是此类数据驱动方法之一（Raissi等人[23]）。PINNs提供了一种有效的结构，能够在训练神经网络的同时强制遵循系统的物理定律。与传统仅依赖大规模数据集进行训练的机器学习模型不同，PINNs通过损失函数将相关的微分方程直接纳入优化过程。通过将控制方程的残差以及边界条件和初始条件嵌入其中，神经网络被引导生成既与现有数据一致又符合既定物理约束的解。正因如此，越来越多的学术文献将PINNs视为解决涉及复杂非线性微分方程的流动问题的有效方法。Imran等人[24]利用PINN研究了在热辐射、多孔介质及磁场共同作用下的平板上的混合纳米流体流动。Jawad等人[25]则运用同伦分析方法和PINN研究了多孔介质与电磁场对非稳态Jeffrey混合纳米流体流动的影响。Aslam等人[26]也采用了基于启发式的PINN方法，研究存在磁场时两平行板之间的混合纳米流体流动。Ganga等人[27]借助PINN分析了在热辐射、对流及磁场共同作用下的旋转圆柱面上的Maxwell混合纳米流体流动。Chandra和Das[28]则利用PINN研究了在含有旋向性微生物的多孔介质中，纳米流体通过垂直倾斜拉伸表面的流动情况。Roozbahani[29]则采用了PINN与深度高斯过程的混合模型，分析了二维通道中的传热现象。Khan等人[30]则使用了PINN与原子轨道搜索的混合算法，研究了两平行板之间的混合纳米流体流动中的传热问题。

在两个同心圆柱之间形成的环形几何结构中的流体流动，因其广泛应用于众多工程和工业领域而备受关注。这类环形流动存在于许多实际系统中，比如双管式换热器、核反应堆冷却通道、石油工程中的钻探作业、化学加工设备以及太阳能热收集器等。Yaseen等人[31]研究了在磁场和热辐射共同作用下，限制在两个水平同心管之间的TiO?/乙二醇纳米流体流动的传热及热物理特性，尤其重点分析了纳米颗粒聚集的影响。Rana[32]在其研究中运用Buongiorno纳米流体模型分析了倾斜环形结构内的纳米流体流动，并指出环形结构的倾斜角度变化会显著改变纳米流体流动的流变特性。Shilpa等人[33]研究了在垂直环形结构中，存在热辐射和对流条件下的三元纳米流体流动。Shankar等人[34]则研究了充满流体饱和多孔介质的垂直环形区域内的自然对流特性，该区域内沿内壁设置了离散热源。Mahian等人[35]运用热力学第二定律，研究了存在恒定热通量壁面及磁场条件下，垂直环形结构中的纳米流体流动与传热过程。Yaseen等人[36]则研究了在存在粘性耗散和热辐射效应的情况下，轴向磁场对两个同轴圆柱之间旋转的垂直环形区域中三元纳米流体传热的影响。

目前大多数关于PINN的研究都假设纳米颗粒分布均匀，且忽略其聚集现象，但实际上纳米颗粒的聚集会显著改变纳米流体的有效热物理特性，进而影响其流动与传热行为。这样的假设可能会限制所建模型的物理真实性和预测能力。为弥补这一缺陷，本研究考虑了嵌入抛物面槽式太阳能集热器中的两个同心圆柱之间环形区域内的纳米流体流动与传热特性，同时明确考虑了纳米颗粒聚集的影响。与许多假设纳米颗粒均匀分散的传统研究不同，本研究纳入了纳米颗粒聚集现象，这一现象会显著影响纳米流体的有效热物理特性，进而改变环形结构内的流动与热行为。此外，本研究还运用PINN这一现代数据驱动型计算框架来求解控制方程，该框架能够将相关的物理定律直接融入神经网络训练过程。通过将纳米颗粒聚集的建模与基于PINN的求解方法相结合，本研究为分析环形几何结构中的纳米流体传输提供了新的视角，其预测能力优于传统数值方法。同时考虑环形纳米流体流动、纳米颗粒聚集效应以及PINN方法，构成了本研究的主要创新点。

章节节选：具有聚集纳米颗粒结构的纳米流体的热物理特性建模
传统的纳米流体相关公式——用于描述密度、比热容、热导率、黏度以及体积分数等参数——通常是在假设纳米颗粒在基体流体中均匀分散且保持稳定单分散分布的前提下推导出来的。然而，在某些情况下，由于范德华力、纳米颗粒自身的运动以及表面相互作用，它们往往会形成聚集体或团块。这些聚集结构会显著改变纳米流体的有效体积分数、表面积等特性。

数学建模
本研究考虑了嵌入抛物面槽式太阳能集热器中的对称旋转水平圆柱形环隙（如图1所示）内TiO2-EG纳米流体的稳定流动情况（如图2所示）。为建立该流动的控制方程，我们做了以下假设：
• 考虑了热辐射、不规则热源/热汇以及磁场的影响；
• 圆柱形环隙的尺寸用r2?r1表示，其中内半径和外半径分别为r=r1和r=r2。

PINN的实现：配置与训练设置
物理引导型神经网络（PINN）的结构与标准人工神经网络（ANN）类似，两者都主要由输入层、隐藏层和输出层这三部分构成。虽然ANN与PINN在架构上相似，但PINNs的不同之处在于它能在训练阶段直接融入物理原理。传统的ANN主要用于建模，主要致力于确定输入值与输出值之间的关系，而不涉及物理机制。

结果与讨论
首先，研究人员检验了PINN的精度与有效性。图4(a)展示了在Ha=4时，通过PINN方法得到的速度剖面曲线，同时给出了Peng等人[37]的数值计算结果以及bvp4c算法的解。从三组曲线的精确重叠情况可以看出，它们之间的一致性非常高，从而证明了所开发的PINN模型的有效性与准确性。此外，图4(b)中的训练损失曲线也反映了模型的收敛情况。

响应面方法
响应面方法（RSM）是一组基于统计学和数学的分析技术，可用于构建模型，以便优化涉及多个变量的过程。RSM的目标是通过多项式方程形式的经验模型，确定变量之间的关系。通过运用实验设计方法，可以在保证预测准确性的同时，减少所需的模拟与实验次数。

敏感性分析
与RSM不同，敏感性分析用于衡量输入参数变化对特定输出或响应变量的影响。在大多数情况下，敏感性分析旨在确定控制系统或过程行为的主要因素。它能够帮助分析输出变量对输入变化的响应程度，从而有助于验证所用模型、确定不确定性，并根据参数的重要性对其进行排序。

结论
本研究运用带有L-BFGS优化器的PINN方法，研究了嵌入抛物面槽式太阳能集热器中的两个同心圆柱之间环形空间内的纳米流体的流动与传热行为，特别强调了纳米颗粒聚集效应在分析中的作用。通过分析得出的主要结论如下：
• 较高的哈特曼数会增强磁场强度，产生洛伦兹力，该力会阻碍流体流动并降低流速。这一现象……

研究的局限性与未来发展方向
本研究仅限于在所建立的数学模型假设条件下的TiO2-EG纳米流体，因此其研究结果仅适用于这种纳米流体，可能无法直接应用于具有不同热物理特性的其他纳米颗粒基流体组合。未来的研究可以将现有分析扩展到混合纳米流体和三元混合纳米流体，以探讨它们在提升抛物面槽式太阳能集热器传热性能方面的潜力。比较研究

作者贡献说明：
Moh Yaseen：概念设计、PINN代码编写、使用软件进行结果分析、撰写、审阅与编辑：最终稿。
Sawan Kumar Rawat：概念设计、数学模型构建、文献综述、撰写、审阅与编辑：初稿和最终稿。
Shivam Rawat：概念设计、文献综述、结果分析、数据解读、撰写、审阅与编辑：初稿和最终稿。
Rajesh Bisht：概念设计、文献综述、数据分析。

利益冲突声明：
作者声明没有利益冲突。

资金来源说明：
本文的研究未获得任何资助。

数据可用性说明：
在本研究中未生成或分析任何数据集。

CRediT作者贡献分类：
Moh Yaseen：撰写——审阅与编辑、验证、软件、资源、方法论、研究、正式分析、数据整理、概念设计。
Sawan Kumar Rawat：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、可视化、监督、研究、正式分析、概念设计。
Shivam Rawat：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、验证、方法论、正式分析、概念设计。
Rajesh Bisht：撰写——审阅与编辑、可视化、软件。

Moh Yaseen|Sawan Kumar Rawat|Shivam Rawat|Rajesh Bisht|Ajeet Kumar Singh
印度旁遮普邦莫哈利140 413，昌迪加尔大学UCRD数学系