一种用于几何非线性壳体结构形状感知的退化壳层逆有限元方法

《Thin-Walled Structures》：A degenerated shell inverse finite element method for shape sensing of geometrically nonlinear shell structures

　　•提出了一种几何非线性逆有限元方法，用于壳体结构的形状感知。•将总拉格朗日退化壳体公式嵌入到该逆有限元方法中。•在每个增量步长中，通过罗德里格斯公式更新节点方向向量。•增量平衡方程基于最小二乘泛函推导得出。即使在大幅旋转、传感器稀疏以及存在噪声的情况下，该方法仍具有较高的精度和稳定性。

引言
由于其重量轻、比强度高且能良好适应复杂几何形状，薄壳结构被广泛应用于航空航天、海洋工程和土木工程领域[1]。在实际使用过程中，这类结构会承受复杂的载荷，可能发生不可忽视的变形甚至损伤累积，从而威胁到结构的承载性能和运行安全。准确及时地获取结构在服役状态下的实际变形情况，是确保结构安全运行及为维护决策提供依据的关键，这也是结构健康监测领域中的一个重要研究课题[2]、[3]。在变形监测方法的实施方面，与立体视觉和激光跟踪等非接触式全场测量技术相比，基于现场应变的测量方法在抗环境干扰能力、长期稳定性以及工程可行性方面具有明显优势[4]、[5]。然而，应变测量本身只能在结构表面的有限位置离散获取。如何从这些离散数据中准确重建结构的实际变形场，已成为结构监测领域需要解决的关键问题[6]。

形状感知是一种通过离散的现场应变测量数据来重建结构全场变形的技术。早期研究中，该技术的实现方法大致可分为三类[7]。第一类是基于应变数值积分的方法，以科氏位移理论为代表[8]、[9]。这类方法建立在经典梁理论基础上，通过沿空间路径积分测得的应变来获得位移场，但它们严重依赖于传感器密度，难以应用于复杂的壳体结构。第二类是基于位移基函数叠加的方法，模态法是其典型代表[10]、[11]。这类方法将位移场表示为一组预定义基函数的线性组合，但它们依赖于结构的事先模态信息，且对载荷条件和边界约束较为敏感。第三类是数据驱动方法，以神经网络方法为代表[12]、[13]。这类方法通过网络模型建立应变与位移之间的映射关系，但其泛化能力受训练数据覆盖范围的限制。上述方法在精度和适用性方面都存在一定局限，无法充分满足复杂壳体结构在不同工作条件下的形状感知需求。

Tessler和Spangler提出的逆有限元方法[14]无需材料参数和载荷信息，且对复杂结构具有很强的适应性[7]。正是由于这些优势，逆有限元方法逐渐成为形状感知领域中最受关注的研究方法之一。近年来，逆有限元方法的理论框架不断得到完善，其应用范围也逐步扩展，已在多种工程结构的形状感知和健康监测中得到验证。在理论层面，研究人员围绕逆元素的构建与扩展开展了大量研究。Tessler和Spangler[14]最初基于一阶剪切变形理论提出了三节点逆壳体元素iMIN3，为板件和壳体结构的形状感知建立了逆有限元方法的基本求解框架。随后，Gherlone等人[15]基于蒂莫申科梁理论开发了二节点逆梁元素，使得逆有限元方法能够应用于梁结构。Kefal等人[16]进一步提出了具有钻孔自由度的四节点逆壳体元素iQS4，以及适用于圆柱形结构的八节点逆壳体元素iCS8[17]。与此同时，更精细的力学理论和数值方法也被引入逆有限元方法框架中，用以处理复合层合板及曲面壳体等复杂结构。Kefal等人[18]、[19]将逆有限元方法与改进的之字形理论相结合，发展出了RZT-逆有限元方法，提升了复合层合板和夹层结构的变形重建能力。Kefal等人[20]则采用基尔霍夫-洛夫壳体理论作为运动学框架，并将其与等几何分析相结合，开发出了等几何逆壳体元素iKLS。Yu等人[21]随后基于该框架进行了应用验证与扩展。此外，为满足各种工程结构及新兴应用场景的需求，研究人员不断改进逆元素的性能并拓展其适用范围，由此衍生出多种新的逆元素公式[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]、[28]、[29]。在工程应用层面，逆有限元方法已成功应用于海洋工程[30]、[31]、航空航天工程[32]、[33]、[34]以及土木工程[35]、[36]、[37]等领域的结构变形监测中。在这些成果的基础上，相关研究还进一步拓展到了传感器布置优化[38]、[39]、损伤检测[40]、[41]、[42]以及动态载荷识别[43]等关键问题，逐步形成了完整的相应研究体系。

尽管取得了这些进展，但大多数现有研究都基于小变形假设，无法满足发生大变形结构的形状感知需求，这也限制了逆有限元方法在监测此类结构时的工程应用前景。因此，将有限元方法的非线性理论和方法引入逆有限元方法框架，成为了进一步发展的重要方向。Tessler等人[44]提出了一种增量型逆有限元方法，该方法将变形过程表示为一系列带有连续几何更新的微小变形增量，从而为大幅位移的重建提供了有效途径。Zhao等人通过将逆有限元方法与欧拉-伯努利梁的应变梯度理论[45]以及各向异性复合梁的冯·卡门非线性应变理论[46]相结合，为梁结构开发了非线性逆有限元方法。Li等人[47]基于四节点逆壳体元素iQS4提出了一种线性化迭代逆有限元算法，通过逐次线性化求解来重建非线性响应。Cui等人[48]进一步利用格林-拉格朗日应变以及基于明德林理论的四节点逆平板壳体元素，推导出了增量型和迭代型公式，并将其应用于加劲船板及箱形梁的大变形重建。最近，Zhan等人[49]通过三角平板逆壳体元素iTCR3将共旋格式引入逆有限元方法框架，该方法利用局部共旋坐标系将刚体运动与弹性变形分离。这些研究建立了互补的增量型、迭代型及共旋型求解策略，极大拓展了逆有限元方法在几何非线性变形重建中的适用范围。

除了这些非线性求解策略之外，逆元素类型在很大程度上决定了几何离散化方案以及变形描述的连续性，因而是影响曲面壳体重建精度的关键因素[50]。上述所介绍的非线性逆有限元方法主要以梁元素或平板壳体元素为基础。梁元素采用一维运动学描述，主要适用于细长结构。平板壳体元素则将曲面结构离散为多个平面分段元素，在每个元素内法向量保持恒定，而在元素边界处则会出现不连续。对于具有初始弯曲度的结构，通常需要通过细化网格才能较好地近似其实际几何形状[51]。相比之下，Ahmad等人[52]提出的退化壳体元素在每个节点上都定义了一个厚度方向向量，相邻元素共享节点及相应的方向向量。通过形状函数插值，可使厚度方向在每个元素内部以及元素边界之间保持连续。这一公式为后续发展能够适应大变形和大旋转的壳体元素理论奠定了重要基础[53]、[54]、[55]、[56]、[57]、[58]。

然而，据作者所知，目前尚未有基于退化壳体理论的几何非线性公式被纳入逆有限元方法框架中，也尚未在元素层面实现对壳体曲率与几何非线性的统一描述。为填补这一空白，本研究提出了一种几何非线性逆有限元方法（GN-iFEM），该方法将退化壳体的总拉格朗日公式引入逆问题框架中。逆壳体元素的方向向量通过罗德里格斯公式进行更新，从而确保在每个增量步长内其一致性。格林-拉格朗日应变场被分解为线性和非线性两部分，据此可建立用于每个增量步长内应变更新的假定增量应变场。增量平衡方程则基于最小二乘泛函的变化推导得出。在此基础上，构建了由应变残差驱动的牛顿-拉夫森迭代格式，并通过位移增量来判断其收敛性。所提出的方法能够在单个逆元素内实现对大旋转、大位移及曲面几何条件下变形重建的统一处理。

本文的其余部分安排如下：第2节介绍所提出的几何非线性逆有限元方法（GN-iFEM），内容包括退化壳体元素的大变形运动学框架、格林-拉格朗日应变场与假定增量应变，以及GN-iFEM最小二乘泛函的构建等内容。第3节通过几组典型的几何非线性分析基准算例，系统评估了GN-iFEM在大旋转和大位移条件下的形状感知精度与稳定性。此外，还通过一个翼面蒙皮结构的应用案例，进一步验证了该方法的工程适用性。第4节总结了本研究的工作内容，并指出了未来研究的方向。

章节摘录
几何非线性逆有限元方法
本节介绍了所提出的几何非线性逆有限元方法（GN-iFEM）。首先介绍了四节点退化壳体元素的大变形运动学理论，然后运用罗德里格斯公式实现了增量方向向量的线性一致更新。在总拉格朗日公式框架下，通过张量分量的混合插值技术（MITC）建立了假定增量应变场。

数值算例与验证
为系统验证所提出的GN-iFEM在大位移和大旋转条件下的形状感知性能，本研究给出了多组几何非线性数值算例。这些算例包括承受尖端剪力的悬臂板、承受端部剪力的带缝环形板、承受交替径向力的半球形壳体，以及承受集中尖端载荷的翼面蒙皮结构。前三个算例属于经典的……

结论
本研究通过将退化壳体元素的总拉格朗日公式引入逆问题框架，提出了一种名为GN-iFEM的几何非线性逆有限元方法。该公式实现了在元素层面对应变几何非线性问题的统一处理。逆壳体元素的方向向量通过罗德里格斯公式进行更新，从而在整个增量求解过程中保持运动学一致性。

作者贡献说明
肖晓：写作——审阅与编辑、写作——初稿撰写、可视化、软件应用、方法设计、概念构思。宣建平：写作——审阅与编辑。石铁林：写作——审阅与编辑。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了中国国家自然科学基金（项目编号：52175094）的支持。

肖晓|宣建平|石铁林