热环境中具有裂纹的功能梯度石墨烯折纸增强各向异性金属超材料梁的非线性动力学行为

《Thin-Walled Structures》：Nonlinear dynamics of cracked functionally graded graphene origami-enabled auxetic metallic metamaterial beam in thermal environment

　　•首次对热环境中的带边缘裂纹的FG-GOEAMM梁进行非线性动力学研究。•基于遗传编程的微观力学模型用于评估GOEAMM层级的有效性能。•裂纹与负泊松比效应的耦合强烈影响着系统的非线性响应。•在100%折叠程度时，GOri浓度效应几乎消失。

引言
机械超材料因其卓越且高度可控的变形行为而备受关注，例如可调节的负压缩性[1]、[2]以及负泊松比[NPR][3]、[4]。这些特性在传统材料中往往难以实现，甚至根本无法实现[5]。其中，负刚度超材料尤其引人注目，因为其在受拉载荷作用下的横向膨胀能够提升能量吸收能力、抗断裂性能以及减振效果[6]、[7]。折纸/剪纸概念以及活性材料进一步拓展了材料的变形范围，使得结构形状可以实现程序化控制[8]、[9]。近期研究还明确了实现这种程序化控制所需的工程条件。刘等人[10]将形态优化与双目标优化方法应用于六杆张力网格天线设计，指出预应力均匀性与表面精度之间需要权衡。李等人[11]建立了重复折叠膜天线的耐折模型，发现反复折叠会降低其展开精度。高等人[12]实现了具有可调泊松比的磁控平面驱动装置。这些进展展现了自适应结构的潜力，但也暴露出几何复杂性、预应力敏感性、折叠疲劳、外部场依赖性以及制造公差等方面的限制。因此，通过材料层面的设计而非仅依靠结构拓扑来开发负刚度超材料，已成为一个重要且有前景的研究方向。

为实现这一目标，石墨烯及其衍生物因其出色的刚性、导热性以及多功能性而成为极具潜力的材料基础[13]、[14]。张等人[15]研究了充流石墨烯增强管的双稳态频率响应，分析了结构参数与流动参数对不同共振模式的影响。朱和李[16]提出了氢化辅助石墨烯折纸技术（GOri），该技术可将二维石墨烯纳米片可控地折叠成三维结构，从而提供了一种通过折叠形态而非仅靠化学成分来调控材料性能的新方法。霍等人[17]通过原子级计算证明了这种材料的超强柔韧性、高度可调的热膨胀性能以及显著的负泊松比特性。在此基础上，赵等人[18]、[19]提出将GOri嵌入铜基体中，从而制备出具有负泊松比的负刚度金属超材料（GOEAMM）。他们发现，这类超材料具有明显的负泊松比特性，而且通过改变GOri浓度、折叠程度以及温度，可以有效地调控其负刚度响应及其他有效性能。

近年来，功能梯度（FG）设计理念被广泛采用，作为一种通过调控材料性能与刚度的空间分布来提升结构性能的有效策略[20]。陈等人[21]、[22]表明，通过调整厚度方向的材料分布，可以有效调控梯度多孔梁的弯曲、屈曲以及振动性能。考虑到纳米片的尺寸效应，Phung-Van等人[23]基于四变量精细化板理论以及等几何分析方法，对多层FG GNP增强复合纳米片进行了弯曲与自由振动分析。最近，这一理念也被应用到GOEAMM梁的研究中。赵等人[24]进一步研究了具有可调屈曲性能及后屈曲阻力的FG-GOEAMM梁，发现合适的梯度分布能够显著提升结构的稳定性。王和马[25]建立了用于分析FG-GOEAMM板弯曲、屈曲及自由振动的等几何分析框架，而他们的气弹学研究[26]则表明，GOri与蜂窝结构设计参数能够调控结构在超音速流与声学载荷共同作用下的响应行为。Murari等人[27]、[28]研究了具有变厚度且存在流体耦合作用的GOEAMM梁，发现流体作用会显著改变结构的振动与不稳定行为。然而，现有研究大多聚焦于无损伤状态以及线性和自由振动特性，而裂纹引起的局部柔韧性、内部阻尼以及非线性受迫共振之间的耦合效应尚未得到充分研究。这一局限性十分重要，因为在实际使用环境中，损伤与阻尼会直接影响FG-GOEAMM梁的刚度分布与共振响应。

在现实的使用环境中，梁结构不可避免地会因疲劳、热循环、冲击、制造缺陷以及腐蚀等因素而出现缺陷。在这些缺陷中，裂纹尤为危险，因为它会引发局部柔韧性增加、有效刚度降低、模态特性改变，进而可能导致强烈的非线性动力放大效应[29]、[30]。宋等人[31]研究了置于弹性基底上的带边缘裂纹的多层FG-GNPRC梁的自由振动与屈曲行为，发现裂纹会显著降低结构的刚度相关性能。杨和陈[32]采用旋转弹簧模型量化裂纹数量与位置对FG梁频率及临界载荷的影响，从而建立了断裂力学与梁理论之间的有效联系。Tam等人[33]分析了带有开口边缘裂纹的FG-GNPRC梁的非线性弯曲响应。在另一个研究尺度上，Ren等人[34]提出了一种基于微观力学的统一框架，用于描述从分布式微裂纹向局部宏观断裂的过渡过程。Dinh和Van Lien[35]进一步结合非局部弹性理论与动态刚度方法，研究了多裂纹FG纳米结构的自由振动问题。他们提出的封闭形式动态刚度矩阵使得在任意边界条件下处理多裂纹问题变得更加高效。现有的裂纹梁研究并未将GOri引发的负泊松比效应、温度依赖的微观力学行为、Kelvin-Voigt阻尼以及非线性谐波响应统一到一个公式体系中。因此，FG-GOEAMM梁中裂纹柔韧性与其可调负刚度行为之间的相互作用机制至今仍未明确。

了解损伤如何与这些可调超材料特性相互作用，对于实现安全设计以及结构健康监测至关重要。为填补这一研究空白，本文针对在谐波激励与热场作用下的带边缘裂纹FG-GOEAMM梁的阻尼非线性动力学行为进行了数值研究。图1展示了该带裂纹的FG-GOEAMM梁结构，其中L、b和h分别表示梁的长度、宽度与高度。假设裂纹垂直于层合FG-GOEAMM梁的上表面，在当前建模中忽略其宽度。参数a和L1分别用于表征裂纹深度及其位置。此外，q(x, t)表示外部机械激励，T则表示施加的温度。各层的性能是通过基于遗传编程的FG-GOEAMM微观力学模型来确定的。裂纹区域被建模为基于断裂力学的旋转弹簧，而控制方程则是通过结合差分求积法、增量谐波平衡法以及弧长法的框架来求解的。本研究旨在阐明裂纹深度与位置、GOri的折叠程度与浓度、梯度分布、温度以及Kelvin-Voigt阻尼是如何共同影响非线性频率响应的，从而为考虑损伤因素的FG-GOEAMM梁结构设计以及振动特性调控提供理论依据。

FG-GOEAMM的有效材料性能
如图2所示，本研究考虑了沿厚度方向五种不同的梯度分布形式，分别记为U、X、O、A和V。对于U型分布，GOri在梁的厚度方向上均匀分布。X型和O型分布都以梁的中表面为基准，其浓度从厚度方向向上下表面呈线性变化。对于X型分布，浓度从中表面逐渐增加到顶部和底部。

数值解
为将控制方程转化为无量纲形式，引入以下无量纲变量：
Xi=xi/Li，Ui=ui/h，Wi=wih，Ψi=ψi，κi=Li/h，η=Lh/A
110=Em/(1?νm2h)，I10=ρmh，
{i1,i2,i3}={I1/I10，I2/I10h，I3/I10h2}
{a11,a55,b11,d11,N?11T，M?11T，K?T}={A11/A110，A55/A110，B11/A110h，D11/A110h2，N11T/A110，M11T/A110h，KT/A110h}
T=tL/A110I10，Qi(Xi,T)=LiA110ηiqi(xi,t)，
{c1,c2}={β1LA110I10，β2LA110I10}

将方程(34)代入方程(30)，即可得到无量纲控制方程：
{a11(?2Ui/?Xi2 + 1/κi?Wi/?Xi?2Wi/?Xi2)?b

结果与讨论
除非另有说明，本分析中始终采用以下参数[46]、[47]、[48]：
1）梁的长度和厚度分别取为L=1×10?2 m和h=5×10?? m；
2）GOri的平均质量分数设为fGr=1.6%，浓度梯度缩放因子取为Sg=0.1；
3）裂纹的相对深度与位置分别设定为a/h=0.5和L1/L=0.5；
4）对于纯铜基体，其质量密度为ρCu=8800 kg/m3，弹性模量为ECu。

结论
本文通过对热环境中的带裂纹FG-GOEAMM梁的非线性动力学行为进行了数值研究。有效性能是通过基于遗传编程的微观力学模型来评估的，而裂纹则通过基于断裂力学的旋转弹簧模型来表征。系统?非线性响应是通过结合差分求积法与增量谐波平衡法来求解控制方程得到的。裂纹特征与边界条件之间存在强烈的耦合关系。对于对称的C-C型与H-H型梁，...

致谢
作者衷心感谢中国江苏省创新创业人才计划所提供的资金支持。