一种适用于极坐标下耦合环形板方程的几何一致性混合逆广义差分求积方法

《Thin-Walled Structures》：A Geometry-Consistent Hybrid Inverse Generalized Differential Quadrature Method For Coupled Annular Plate Equations in Polar Coordinates

　　•针对极坐标系下的耦合环形板方程，研究了一种与几何特性一致的混合逆广义差分求积方法。该方法提升了径向度量项以及高阶极坐标微分算子的数值处理能力。通过逆向重建场变量，可降低对导数的敏感度，并改善代数条件数。该方法还能为环形板问题的耦合边界条件提供稳定的约束机制。

引言
逆差分求积方法作为一种稳定且精确的高阶微分方程数值求解框架，近年来在计算力学领域受到了广泛关注[1]、[2]、[3]。与传统直接从原始场变量计算导数的差分求积方法不同，逆差分求积方法采用逆向策略：先近似计算高阶导数，再通过逆向关系反求低阶量[1]、[2]。这种独特的处理方式有助于避免因反复直接求导而导致的精度损失和数值不稳定问题，尤其适用于强耦合和高阶系统[1]、[2]、[3]。因此，逆差分求积方法为复杂工程问题的分析提供了高效、稳定且精确的解决方案，在涉及梁、板、壳、弯曲、屈曲及振动等领域的应用中越来越受到重视[2]、[4]。

现有研究可分为两大类。第一类是逆差分求积方法相关研究。Ojo及其同事[2]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]为逆差分求积方法的发展及其在结构工程中的应用做出了重要贡献。参考文献[2]将逆差分求积方法作为一种通用的高阶微分系统间接近似框架，指出高阶导数可先被近似，再通过逆向运算得到低阶量；同时表明该方法在基准线性与非线性问题上的数值稳定性优于传统差分求积方法。参考文献[4]将这一理念拓展到层合复合板的二维结构分析中，重点研究其在有限应变理论下的弯曲与屈曲行为，并采用了摩尔-彭若斯伪逆预处理方法来处理欠定代数方程组。随后，参考文献[2]又将逆差分求积方法应用于任意形状层合板的自由振动分析，通过几何映射方法得到了与参考解高度一致的结果，且收敛速度优于传统差分求积方法。更近期地，参考文献[5]将基于逆差分求积方法的模型应用于变刚度曲线复合梁的静态响应分析，该模型具有更高的精度，且能显著减少计算量。后续研究[6]探讨了在不同基函数、网格分布及预处理方案下，逆差分求积方法在梁与板问题中的收敛性与稳健性。Trinh等人[8]提出了一种混合逆差分求积方法，该方法将传统差分求积与逆差分求积相结合，先利用传统差分求积近似中间高阶量，再通过直接与逆向求积运算重构相关的低阶与高阶量。该框架的主要优势在于降低了控制系统的有效微分阶数，同时借助基于积分的逆向恢复方法提升了数值稳定性与计算效率。最近，参考文献[9]进一步将逆差分求积方法拓展到复合壳结构分析中，通过开发专用壳单元来计算应力，提出了基于逆差分求积方法的壳体统一强形式模型（SSUF-iDQM），该模型是一种高效且高精度的复合壳结构分析工具。

第二类是关于环形/扇形环形板的差分求积-广义差分求积方法相关研究。Saraf等人[10]采用广义差分求积方法与Newmark-beta方案，对Terfenol-D驱动的功能梯度环形板的动态响应进行了数值研究，重点分析了模态形态与振动控制问题。他们的研究探讨了磁致伸缩驱动效应、几何结构以及边界条件对智能结构动态分析的影响，还将研究范围扩展到了基于功能梯度环形板的系统。Zhang与Miao[11]则利用变换差分求积方法，研究了带有偏心孔的光电加载环形板的自由振动行为。他们的研究表明，该方法能够有效分析复杂环形板几何形状下的多物理场振动现象。Zhou与Zhang[12]基于Mindlin板理论中的差分求积方法，分析了功能梯度石墨烯片材增强复合环形板的自由振动行为，研究了几何结构、石墨烯片材含量、分布模式以及片材尺寸对环形板自然频率的影响。Barati等人[13]采用差分求积方法与Newmark方案，研究了形状记忆合金环形板在谐波激励下的动态响应，发现相变通过降低刚度并引发非线性行为，对环形板的时间域与频域响应起着重要作用。Vasara等人[14]在一阶剪切变形理论框架下，利用差分求积方法分析了功能梯度多孔圆形与环形板的自由振动行为，研究了均匀型、O形及X形孔隙分布，以及厚度与半径比、材料梯度、孔隙分布模式和边界条件对圆形与环形板自然频率的影响。Liao等人[15]采用广义差分求积方法研究了铺设在弹性基础上的石墨烯增强环形夹层复合板的自由振动行为，同时还利用人工神经网络高效预测了其自然频率。Javani等人[16]采用广义差分求积方法，研究了快速加热条件下功能梯度扇形环形板的瞬态热振动行为，分析了材料梯度、几何结构、边界条件以及热载荷对这类环形板动态响应的影响。Mirsabetnazar等人[17]采用变分差分求积方法，研究了功能梯度石墨烯折纸增强超弹性 metamaterial 扇形环形板的自由振动与受迫振动行为，探讨了材料梯度、石墨烯折纸特性以及边界条件对这些环形板动态响应的影响。Saraf等人[18]通过充分考虑磁机械耦合效应，建立了Terfenol-D驱动的功能梯度环形板自由振动与特征值分析的解析框架。他们利用圆柱坐标系下的哈密顿原理，推导出了耦合控制方程，并通过精确的贝塞尔函数与二维傅里叶方法求解，证明了这些解析工具在智能环形板系统分析中的有效性。这些研究表明，差分求积/广义差分求积方法在环形板力学领域已较为成熟，但目前仍属于传统的直接差分求积/广义差分求积方法应用，而非专为高阶环形板算子设计的逆向求解方法。近年来的研究显示，薄壁复合结构的振动与稳定性分析正逐渐转向几何结构更为复杂、厚度可变以及具有多种功能增强结构的情形。人们已经研究了带有钙钛矿表面层的功能梯度梯度填充梯形板，以分析材料梯度与表面层效应对结构自然振动行为的共同影响[19]；还研究了厚度可变的 porous 夹层圆锥壳结构，利用非线性能量耗散机制实现非线性颤振抑制[20]；此外，还对折叠型的功能梯度梯度填充梯形磁电弹性夹层面板进行了分析，以探究多功能耦合效应与几何折叠结构对结构自由振动响应的影响[21]。进一步的研究表明，对于厚度可变的 porous 圆锥壳结构以及智能功能梯度梯度填充梯形截锥壳结构而言，非线性模态相互作用、内部共振以及几何非均匀性在结构稳定性与动态响应预测中起着至关重要的作用[22]、[23]。

现有研究表明，逆差分求积方法在方法论上具有较强优势，但其应用目前仍局限于一般高阶系统、板弯曲与屈曲问题、经映射处理的任意形状板体的线性自由振动问题以及梁的静态分析领域。特别是，Ojo等人[1]确立了逆差分求积方法的数学基础，证明了其在处理高阶问题时相较于传统差分求积方法具有更好的数值稳定性；而Khalid等人[2]则将该方法拓展到了复合板弯曲、屈曲问题，之后又通过映射方法将其应用于任意形状层合板的自由振动分析。然而，这些研究成果并未涉及直接用极坐标表示的几何非线性环形板方程。相比之下，现有的关于环形板与扇形环形板的差分求积/广义差分求积方法研究已经涵盖了各向同性板、功能梯度板、压电板以及其他先进类型板体的自由振动与非线性振动行为等若干重要力学问题，但这些研究仍然基于传统的直接求积离散化方法。因此，目前仍存在一个明显的研究缺口，即需要开发一种专门针对极坐标系下几何非线性环形板方程的逆广义差分求积方法，这类方程的控制算子包含1/r、1/r2、1/r3和1/r?等与半径相关的度量项，且高阶径向微分运算极易出现数值误差与条件数问题。正是为了解决这一缺口，本研究提出了一种针对环形板非线性方程的逆广义差分求积方法，该方法能够以最高阶径向导数形式重建解，将极坐标系数以离散形式表达，同时兼顾内外边缘的约束条件，并为自由振动与非线性动态分析提供统一的代数表达形式。

这项研究的创新之处在于，它提出了一种与几何特性一致的混合逆广义差分求积方法，专门用于极坐标系下的环形板分析。与传统直接采用逆差分求积方法处理问题不同，所提出的方法在径向方向采用逆向求积，而在周向方向则采用传统的周期性广义差分求积近似。采用这种混合结构的理由在于，环形几何结构中的径向坐标是非周期性的，且受边界条件强烈影响，而周向坐标则是周期性的。该方法直接源自扩展后的极坐标控制方程，因此能够保留与度量参数相关的算子以及混合导数，使其保持原有的形式。这样一来，所提出的框架为求解耦合环形板方程提供了一种新的计算途径，而且还可以系统地拓展到有限应变理论以及非线性板结构模型中。

章节节选
环形板的控制方程
如图1所示，考虑一块厚度为h、内半径为Ri、外半径为Ro的环形板，该板位于极坐标系(r,θ,z)中，其中中间平面对应的区域为Ri≤r≤Ro，0≤θ≤2π，z的取值范围为?h/2至h/2，h为板厚的一半。由于本研究旨在保留横向剪切变形效应，并构建更为强大的力学分析框架，因此采用了有限应变理论。

令u0(r,θ,t)、v0(r,θ,t)和w(r,θ,t)分别表示……

广义差分求积方法与逆广义差分求积方法的数学基础
广义差分求积方法是一种高精度的离散化方法，它将函数在某网格点处的导数近似为该函数在域内所有网格点处函数值的加权线性组合。由于其具备全局插值特性，广义差分求积方法通常所需的节点数量少于传统的有限差分方法，这使得它非常适合用于处理诸如环形板方程这类高阶结构问题。设f(r)为使用所提出的逆广义差分求积方法求解的环形板方程的一个足够光滑的解。

为便于理解，首先以极坐标展开形式下的经典环形Kirchhoff板的横向位移方程为例，说明所提出的逆广义差分求积方法的数值实现方式。之后，同样的离散化策略可以直接应用于有限应变理论、半无限应变理论或非线性耦合环形板模型的各个控制方程中。用横向位移w(r,θ,t)表示的环形板控制方程可写为：

D??w(r,θ,t)+ρh?2w(r,θ,t)/?t2=q(r,θ,t)

其中D为……

非线性的处理
在通过广义差分求积方法或逆广义差分求积方法对非线性控制方程进行空间离散化，并施加边界条件之后，半离散系统可以表示为如下通用形式：

Mq?(t)+Cq?(t)+KLq(t)+fNL(q(t))=F(t)

其中q(t)为广义未知量向量，M为质量矩阵，C为阻尼矩阵，KL为线性刚度矩阵，fNL(q)则表示由冯·卡门几何非线性效应产生的非线性内力向量。由于……

稳定性、条件数与收敛性分析
为了确定所提出的广义差分求积方法与逆广义差分求积方程的数值可靠性，需要考虑它们的精度、收敛性质，以及其矩阵是否满足数值稳定的要求。由于当前的环形板问题是用极坐标算子表示的，且可能存在较强的几何非线性，因此离散化系统的稳定性不仅取决于网格点的数量，还与半径大小有关。

极限情况验证
为验证所提出的混合逆广义差分求积方法的正确性及其渐近一致性，本研究考虑了两种极限情况，即圆形板简化模型与薄板简化模型。在第一种情况下，通过令半径比Ri/Ro趋于极小值，将环形板简化为实心圆形板。在第二种情况下，逐步减小板厚比，使得当前的剪切变形分析模型逐渐趋近于经典的Kirchhoff薄板解。数值结果与讨论
本节展示了所提出的环板建模方法的数值分析结果，并探讨了观察到的现象背后的力学机制。研究分析了几何参数、边界柔度以及非线性效应对自由振动和受迫振动特性的影响。特别强调了环板几何形状、厚度分布、边缘约束以及几何非线性在决定刚度、惯性等特性方面的耦合作用。

所提方法的讨论
本文介绍了用极坐标表示的非线性环板方程的解法，即逆广义微分求积法（inverse-GDQM），该方法可用于求解以极坐标形式给出的非线性环板方程。所提出的逆形式是通过利用低阶导数的信息，借助逆加权关系来重构场量，这与标准形式有所不同。

结论
本研究通过所开发的逆GDQM方法，求解了高阶极坐标耦合微分方程，以此研究环板的非线性动力学行为。该方法借助逆加权关系重新表达位移和旋转场，进而计算所需的导数数量。该公式在处理具有径向依赖性的环板分析时尤为有用。

作者贡献声明
Mukund A. Patil：撰写原始稿件、可视化、方法论、研究、概念设计。
Suvarna Saraf：撰写原始稿件、验证、软件、研究。
Ravikiran Kadoli：撰写审稿与编辑工作、可视化、监督。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文所述工作的已知财务利益或个人关系。

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