一种基于三阶多项式映射和选择性正则化的SCARA机器人手眼标定方法

《Measurement》：A hand-eye calibration method for SCARA robots based on third-order polynomial mapping and selective regularization

　　•提出了一种基于多项式坐标映射的顺序依赖正则化策略。•使用三阶多项式模型，在九个标定点的条件下能够获得稳定的解。•在25毫米镜头和5°倾斜角度下，与仿射映射相比，均方根误差（RMSE）降低了57.3%。

引言
视觉引导的机器人在精密组装、电子制造和物流自动化中发挥着重要作用[1]，[2]。在各种平台中，选择性合规装配机器人臂（SCARA）因其高速度、高精度和紧凑的结构而被广泛用于平面定位任务[3]，[4]。手眼校准用于确定相机坐标框架与机器人坐标框架之间的空间变换，对于视觉引导操作至关重要[5]。校准精度直接决定了定位性能和系统的可靠性[6]。随着工业场景变得越来越复杂，机器人任务对机器视觉的依赖性也越来越强[7]，因此对精度的要求也在不断提高，传统的校准方法无法保持足够的精度。因此，开发强大且高精度的校准算法具有重要的实际意义。

传统的手眼校准通过求解齐次方程AX=XB来确定相机与机器人末端执行器之间的刚性变换[8]。然而，这种方法需要大量的数据收集工作，并且校准过程繁琐[1]。此外，校准精度容易受到机器人运动误差和测量误差的影响[9]。对于在平面工作空间内运行的SCARA机器人，当相机固定且目标仅限于二维运动时，基于平面坐标变换的N点校准提供了一种更简单的替代方案[10]。这种方法通过使用在工作空间内收集的多个图像-世界坐标对应关系，直接建立坐标映射，绕过了相机内部校准的需要。商用视觉平台如Cognex VisionPro和MVTec Halcon提供了N点校准工具，其中九点配置在工业实践中被广泛采用，以实现精度和操作便利性的同时满足。然而，这些坐标映射无法完全补偿非线性镜头畸变[11]，[12]。这种限制在短焦距镜头下尤为明显，因为周边图像区域的定位误差会显著增加。

基于学习的技术也被用于相关的相机校准任务，包括从模糊图像中提取特征点[13]以及大视野相机的校准[14]。本研究专注于在小样本条件下直接进行SCARA机器人的手眼平面坐标映射。为了解决非线性畸变问题，实践中采用了多项式映射模型作为线性变换的替代方案。通过引入更高阶的项，这些模型可以更好地捕捉非线性畸变效应，并可能实现更高的精度[15]，[16]。多项式变换建立了图像平面坐标与世界坐标之间的直接映射[17]。然而，当标定点有限时（如典型的九点配置），直接应用高阶模型可能会导致严重的不稳定性[18]。正则化技术通过在目标函数中加入惩罚项来限制解决方案的复杂性，在计算机视觉应用中已被证明是有效的[19]。然而，传统的正则化通常对所有模型参数应用统一的惩罚强度。这种统一处理方法可能会导致某些参数受到过度约束，而其他参数则受到不足的约束，特别是在不同阶数的多项式模型中，这些项具有不同的特性[20]。

基于上述观察，本文提出了一种基于三阶多项式映射的SCARA机器人手眼校准创新方法，并通过顺序依赖的惩罚策略实施了选择性正则化。对于工业实践中常用的九点标定场景，该策略使三阶多项式模型能够在小样本条件下补偿镜头畸变和相机不对准等非线性误差，同时减少过拟合。所提出的方法在三阶多项式映射中使用顺序依赖的惩罚，不对常数项和一次项进行惩罚，而对高阶项施加更强的约束。

本研究的目标是在小样本校准、镜头畸变和相机不对准的情况下，提高SCARA机器人的平面手眼校准精度。九点校准下的验证点均方根误差（RMSE）是主要的定量指标，而重复数据集的分布以及不同焦距、相机倾斜角度和标定点数量下的性能提供了补充评估。

主要贡献包括：
(1) 提出了一种选择性正则化策略，针对不同阶多项式项在坐标映射中的不同作用进行区分。它对常数项和一次项不施加惩罚，以保持仿射变换特性；对二次项施加适度惩罚；对三次项施加强惩罚，从而在保持非线性拟合能力的同时降低高阶项的过拟合风险。
(2) 构建了一个基于三阶多项式的非线性坐标映射模型，通过增加模型的自由度来隐式补偿镜头畸变和相机不对准。结合顺序依赖的正则化策略，该模型为原本不确定的三阶映射问题提供了稳定的九点校准解决方案。
(3) 系统实验评估了该算法在不同镜头焦距和相机倾斜角度下的性能。结果表明，在25毫米镜头和5°倾斜角度下，与仿射变换相比，所提出的方法将RMSE降低了57.3%；在50毫米镜头和0°倾斜角度下，当标定点从9个增加到23个时，RMSE进一步降低了40%。这些结果表明，该方法适用于平面SCARA手眼校准，特别是在需要非线性补偿的倾斜相机和短焦距条件下。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍了包括手眼校准、镜头畸变和正则化方法在内的理论基础。第3节详细描述了所提出的选择性正则化算法。第4节描述了实验平台和比较分析。第5节总结了本研究。

**平面手眼校准模型**
手眼校准确定了相机与机器人坐标系统之间的空间变换，以实现视觉引导的定位。校准策略根据相机的安装位置而不同。在“眼在手”配置中，相机安装在机器人末端执行器上并随之移动；在“眼到手”配置中，相机安装在工作空间内，而机器人末端执行器在其视野范围内操作[21]。SCARA机器人主要采用“眼到手”的多项式映射模型。

在工业视觉系统中，非线性误差来源于镜头畸变和相机不对准。这些误差导致像素坐标(u,v)与机器人坐标(X,Y)之间的非线性映射，传统的仿射变换和单应性映射无法准确建模。为了补偿这些非线性效应，我们采用了三阶多项式表示：
X = a00 + a10u + a01v + a20u^2 + a02v^2 + a11uv + a30u^3 + a03v^3 + a21u^2v + a12uv^2
Y = b00 + b10u + b01v + b20u^2 + b02v^2 + b11uv + b30u^3 + b03v^3 + b21u^2v + b12u

**实验设置**
实验平台包括一个SCARA机器人、一个工业相机、固定焦距的镜头和照明设备（图2）。主要设备是Delta DRS40L3 SCARA系统，其工作半径为400毫米，重复定位精度为±0.01毫米。使用Hikvision MV-CS200-10GC工业相机采集图像，该相机具有5472 × 3648像素的分辨率。使用25毫米、35毫米和50毫米焦距的镜头来模拟不同级别的镜头畸变对校准的影响。

**结论**
为了解决传统线性校准模型由于镜头畸变和相机安装误差在工业视觉系统中存在的精度限制，本文提出了一种基于三阶多项式映射的SCARA机器人手眼校准方法，并采用了选择性正则化。该方法使用三阶多项式构建了从像素坐标到机器人坐标的非线性映射模型，并采用了所提出的选择性正则化策略。

**作者贡献声明**
徐淼淼：写作 - 审稿与编辑、验证、方法论、概念化。
纪雷：写作 - 原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、概念化。
李泽军：写作 - 审稿与编辑。
杨永杰：监督、资金获取。
孙强：监督、项目管理、资金获取。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的可能会影响本文所述工作的竞争财务利益或个人关系。

**致谢**
本研究部分得到了中国国家自然科学基金（项目编号62101287）的支持；部分得到了江苏省科学技术协会青年精英科学家资助计划（项目编号JSTJ-2025-854）的支持；以及部分得到了江苏省高校自然科学研究项目（项目编号25KJB5100240）的支持。

**作者名单**
徐淼淼 | 纪雷 | 李泽军 | 杨永杰 | 孙强