不确定离散时间四元数神经网络有限时间 H∞状态估计的自适应动态事件触发机制

《Neurocomputing》：Adaptive dynamic event-triggered mechanism for finite-time H∞ state estimation of uncertain discrete-time quaternion-valued neural networks

　　

摘要本文研究了一类具有泄露时延的不确定离散时间四元数神经网络（DTQVNNs）的有限时间 H∞状态估计问题。为 DTQVNNs 的状态估计器设计了一种自适应动态事件触发机制。该机制根据系统输出自适应更新触发阈值，以提高通信效率，同时保持状态估计的准确性。建立了充分条件，以保证在规定的 H∞性能下，估计误差在有限时间间隔内有界。估计器增益通过求解一组线性矩阵不等式（LMIs）获得。数值仿真进一步证明了所提方案的有效性。

引言哈密顿于 1843 年提出的四元数，将复数扩展到四维，包含一个实部和三个虚部。与局限于平面旋转的复数不同，四元数描述了任意 3D 旋转，且不会受到欧拉角固有的万向节锁问题影响。将四元数纳入神经网络以表示 3D 向量数据是自然的 [1]。

四元数神经网络（QVNNs）结合了四元数和神经网络的优势 [2]，特别是在处理高维数据方面，表现出优于实值神经网络（RVNNs）和复值神经网络（CVNNs) 的性能 [3]。由于其在信号检测、图像处理和平估估计等领域的广阔前景 [4]，[5]，[6]，QVNNs 最近吸引了相当大的研究兴趣。然而，大多数现有研究集中在连续时间 QVNNs [7]，[8]，如果不进行离散化，无法直接在数字硬件上实现。这使得离散时间 QVNNs 对于实际应用（包括经济预测、金融时间序列分析和 UAV 路径规划）尤为重要 [9]，[10]。此外，连续时间模型的动态特性在离散化后并不总是保留，许多实际系统（如通信网络和排队系统）本质上是离散的 [11]，[12]。近年来，离散时间 QVNNs 也已成功应用于非线性系统控制和状态估计 [13]，[14]，[15]。这些考虑共同促使了进一步研究离散时间 QVNNs 的需求。

神经网络的状态往往由于规模过大、硬件限制和噪声干扰等因素而无法直接测量，因此需要基于可用测量值进行估计 [16]。对于 RVNNs 和 CVNNs，一系列估计技术（如卡尔曼滤波、集合隶属估计和 H∞估计）已得到充分发展 [17]，[18]，[19]，其适用性已扩展到更复杂的动力学，包括离散时间忆阻神经网络 [20] 和分数阶复值神经网络 [21]。相比之下，QVNNs 本质上受制于非交换乘法，这一特性使得大多数基于交换代数的现有估计方法无法应用 [8]。因此，QVNNs 的状态估计尚未建立统一的理论框架，这是本工作的主要动机。

时延在神经网络中很常见，主要源于神经元之间的信号传播延迟和硬件电路的开关速度限制。各种类型，包括分布时延、离散时延、比例时延和泄露时延，都得到了广泛研究 [22]，[23]。其中，负反馈项中的泄露时延尤为关键。负反馈项通常作为稳定机制，为系统提供实时状态信息以纠正偏差。然而，当发生泄露时延时，这些信息已过时，这可能会严重使系统不稳定，甚至导致发散 [24]。同时，大多数关于延时神经网络的工作都是在无限时间框架内开发的 [25]，[26]。值得注意的是，有限时间有界性为工程应用提供了更现实的性能度量。这一概念最近被采用于离散时间延时神经网络的研究中，[27] 中报告了有限时间有界状态估计结果，并已成为热门话题。

为了节省网络带宽和通信资源，事件触发机制仅在测量到的系统输出超过预定阈值时传输数据并更新控制器。为此，开发了各种策略，包括自适应、分布式、自触发、动态和混合机制 [28]，[29]，[30]，[31]，[32]。具体而言，每种现有机制都侧重于触发设计的不同方面。例如，静态机制采用固定阈值，本质上是保守的 [33]；动态机制引入内部变量以放宽触发条件，而自适应机制可以根据系统状态调整阈值 [34]，[35]。然而，依赖任何单一类型的机制可能不足以同时保持估计性能和最小化通信频率。为了集成自适应机制的阈值自适应能力和动态机制的记忆效应，同时实现更不保守的触发条件，本文开发了一种自适应动态事件触发机制（ADETM）。

在实际系统中，不确定性源于建模误差、外部干扰和组件老化，这可能在意外扰动下降低估计器性能。为了考虑这些因素，建立了各种不确定性模型，包括随机模型 [36]、模糊模型 [37] 和区间模型 [38]，最后一种通过函数范围的严格上下界来描述不确定性 [39]。各种控制策略，例如鲁包控制 [40]、自适应控制 [41] 和滑模控制 [42]，已开发用于处理不确定性。特别是，H∞控制是一种广泛采用的鲁棒策略，旨在保持规定的干扰衰减水平，限制干扰对系统输出的影响 [43]，[44]。Figueredo 等人将 H∞技术应用于双四元数框架内的机械手运动学控制，并证明了在四元数域中干扰到误差的能量衰减属性在理论上是合理的 [45]。因此，H∞性能指标在此类系统中具有明确的物理意义，证明了在本文中采用它是合理的。

鉴于上述情况，本文通过设计一种自适应动态事件触发机制，研究了一类具有泄露时延和参数不确定性的离散时间四元数神经网络的有限时间 H∞状态估计问题，这仍然是一个具有挑战性和开放性的问题，主要是因为以下问题。
1) 在存在非交换四元数乘法和多种时延与参数不确定性耦合的情况下，应如何为离散时间四元数神经网络设计状态估计器？
2) 应如何设计自适应动态事件触发机制，以在保持估计性能的同时降低通信频率，而不引起自适应参数与估计误差动力学耦合导致的不稳定性？
3) 如何获得所需的估计器参数，以确保既满足有限时间有界性又满足规定的 H∞性能？

本文的以下贡献对上述三个问题给出了肯定的回答。
i) 本文解决了具有泄露时延、时变时延、参数不确定性和自适应动态事件触发机制的离散时间四元数神经网络（DTQVNNs）的有限时间 H∞状态估计问题。
ii) 在状态估计器设计中引入了一种自适应动态事件触发机制，其触发阈值根据系统输出自适应调整，从而提高通信效率并保持估计性能。
iii) 推导了充分条件以确保 DTQVNNs 的估计误差系统具有有限时间有界性并满足规定的 H∞性能指标，并且估计器增益通过求解一组线性矩阵不等式（LMIs）获得。

本文中，四元数 q∈H 定义为 q=qr+iqi+jqj+kqk，其中 qr,qi,qj,qk∈R，虚数单位满足 i2=j2=k2=?1 和非交换乘法规则 ij=?ji=k, jk=?kj=i, ki=?ik=j。q 的共轭和模分别由 qˉ=qr?iqi?jqj?kqk 和 |q|=qqˉ=(qr)2+(qi)2+(qj)2+(qk)2 给出。

本文的其余部分安排如下。第 2 节制定系统模型并引入自适应动态事件触发机制。基于此，第 3 节推导了确保估计误差系统有限时间有界性和规定 H∞性能的充分条件。第 4 节提供了数值仿真以验证理论发现。最后，第 5 节总结了主要结果并结束了全文。

章节片段
模型描述和基本定义
考虑具有泄露和时变时延的不确定 DTQNNs 如下：
up(k+1)=?(ap+Δap(k))up(k?δ)+∑q=1n(bpq+Δbpq(k)) fq(uq(k))+∑q=1n(cpq+Δcpq(k))gq(uq(k?τ(k)))+∑q=1nlpqμq(k),p∈?，
及其向量形式
u(k+1)=?(A+ΔA(k))u(k?δ)+(B+ΔB(k))f(u(k))+(C+ΔC(k))g(u(k?τ(k)))+Lμ(k)。
令 Ak=A+ΔA(k),Bk=B+ΔB(k),Ck=C+ΔC(k)。
神经网络系统描述为
{u(k+1)=?Aku(k?δ)+Bkf(u(k))+Ckg(u(k?τ(k)))+Lμ(k),r(k)=Du(k)+Eμ(k),z(k)=Ju(k),
其中 k∈N, u(k)=(u1(k),u2(k),…,unu(k))T∈Hnu 表示在

主要结果
本节分析估计误差系统 (14) 的有限时间有界性和 H∞性能。基于分析结果，然后为系统 (4) 设计状态估计器。为了便于推导主要结果，提供了几条必要的引理和假设。
假设 1
对于任何 i∈{1,2,…,n}，存在常数 wi∈R 和 vi∈R 使得
|fi(s1)?fi(s2)|≤wi|s1?s2|,|gi(s1)?gi(s2)|≤vi|s1?s2|,
对于 s1,s2∈H。
引理 1[47]
令 A,B∈Hn×n，则
(1)A―T=AT―;
(2)(AB)?1=B?1A?1 如果 A 和 B 是

示例
本节通过对具有自适应动态事件触发机制和量化的不确定离散时间延时神经网络进行数值仿真，验证了所提有限时间 H∞弹性状态估计框架。
例 1
考虑一类由方程 (4) 描述的不确定离散时间四元数时延神经网络，具有以下参数
A=(0.4000.4),B=(b11b12b21b22),C=(c11c12c21c22),D=(d11d12),J=(j11j12),L=(l11l21),M1=(0.30.1),N1=(0.10.1),N2=(0.20.1),N3=(0.10.2),E

结论
本文研究了一类具有泄露时延的不确定 DTQVNNs 的有限时间 H∞状态估计问题。引入了一种自适应事件触发机制以减少通信负载，并建立了充分条件以确保估计误差系统的有限时间有界性，同时满足规定的 H∞性能。对 QVNNs 和 RVNNs 的数值仿真证实了所提估计器的有效性。需要注意的是，CRediT

CRediT 作者贡献声明
谭美玲：写作 – 审查与编辑，写作 – 原稿，可视化，验证，方法论，数据整理，概念化。涂正文：写作 – 审查与编辑，验证，监督，资源，项目管理，资金获取，概念化。彭涛：验证，资源。宋小倩：形式分析。王良伟：验证。

利益冲突声明
作者声明他们没有任何已知的竞争性财务利益或个人关系可能会影响本论文报告的工作。

谭美玲于 2024 年获得中国西昌学院数学与应用数学学士学位。目前她正在中国重庆三峡科技学院（万州）攻读硕士学位。她的研究兴趣主要是动力系统的稳定性以及四元数神经网络的动态行为。

谭美玲|涂正文|彭涛|宋小倩|王良伟
重庆三峡科技学院数学与统计学院，万州，404100，重庆，中国