通过解析方法和相似变换，求解与四阶非线性薛定谔方程相关的精确且非自治波动问题

《Optik》：Exact and nonautonomous waves via analytic methods and similarity transformations to fourth-order nonlinear Schr?dinger equation

　　摘要：我们研究了包含高阶色散效应的四阶非线性薛定谔（FONLS）方程。该方程用于模拟光纤中的超短光脉冲。首先，我们采用行波近似方法，将偏微分方程转化为四阶常微分方程。接着，我们应用tanh、coth和sech方法，得到了包括亮孤子与奇异孤子在内的精确孤立波解及其参数条件。随后，我们研究了非均匀介质中的情况，并开发了一种新的相似性变换，该变换将常系数方程与变系数方程联系起来，从而得到了非自治孤子。这些孤子的存在展示了非线性和高阶色散之间的平衡关系，这对于先进光学系统的设计具有重要意义。

引言：经典的非线性薛定谔（NLS）方程具有无量纲形式，其中是一个复场。在这里，和分别表示对时间和空间的偏导数。参数决定了非线性的类型：和分别对应于聚焦和非聚焦非线性。该方程是描述非线性色散介质中波动的基本模型。Hasegawa和Tappert首次在光纤中提出了这一模型，后来Mollenauer、Stolen和Gordon通过实验对其进行了验证。二阶空间导数项是群速度色散（GVD），它通过与非线性的平衡作用来传播或压缩波包，并有助于形成孤子。标准的二阶NLS方程能够描述基本的孤子行为。但对于超短脉冲，我们需要考虑三阶和四阶色散等更高阶效应。每个色散项都具有物理意义。在异常色散区域，由于色散与聚焦非线性的平衡，会出现亮孤子；而在正常色散区域，则可能形成暗孤子。四阶色散在零色散波长附近尤为重要，此时二阶色散为零。四阶色散可以改变孤子的稳定性和存在条件，在现代通信系统中尤为重要，因为脉冲通常在这个波长附近传播。因此，为了准确模拟超短脉冲，必须扩展标准NLS方程以包含更高阶项。

本文研究的FONLS方程是Kudryashov通用模型的一种特殊情况（见方程（42））。这种具有Kerr非线性的常系数形式后来被用于研究守恒定律、哈密顿结构和精确解。关于具有四阶色散的高阶NLSE的最新研究包括广义多振荡孤子以及四阶NLS方程的Painlevé分析。

在这项工作中，我们结合了tanh、coth和sech方法以及相似性变换来处理FONLS方程。本研究不仅在应用经典方法方面有所贡献，还明确提出了FONLS方程存在物理意义解的必要条件。此外，通过相似性变换将常系数模型与其变系数对应模型联系起来，推导出非自治孤子解，这是本研究的主要创新点。

本文的其余部分结构如下：第2节介绍了行波近似方法；第3节讨论了tanh方法，包括方法及其实现、代数系统的推导、解的情况以及具体案例；第4节介绍了coth方法；第5节使用tanh、coth和sech方法得到了精确解；第6节提出了变系数系统的相似性变换；第7节总结了全文。

所考虑的数学模型：我们从常系数FONLS方程（方程（2）开始。为了找到精确的行波解，我们引入了一个假设，其中解表示为实振幅和相位因子的乘积。行波的变量和相位函数分别定义为：将这个假设代入FONLS方程（方程（2）中，并分离实部和虚部后，可以得到两个常微分方程（ODEs）。虚部进一步分析得到...

结论：通过应用tanh、coth和sech方法，我们获得了FONLS方程的精确波动解。验证的解包括亮孤子和奇异孤子及其参数约束。亮孤子代表了具有物理意义的局部光脉冲，而奇异孤子主要因其振幅无限大而具有数学意义。从简化后的振幅方程中也得到了形式化的复参数表达式。

作者贡献声明：?evval Güle?负责撰写、原始草稿的编写、可视化、验证、研究及形式分析；Emrullah Ya?ar负责撰写、审阅与编辑、监督、研究及概念化。作者声明没有已知的利益冲突或个人关系可能影响本文的研究结果。