求解变分不等式的混合惯性方法及其在交通流模型中的应用

《Mathematics》：A Hybrid Inertial Method for Variational Inequalities with Applications to Traffic Flow Models

　　

本文中，研究人员在实希尔伯特空间中引入了一种用于求解变分不等式问题(VIP)与分裂公共不动点问题(SCFP)的混合惯性算法。所提方法在统一框架下结合了惯性技术与黏性技术，并推广了若干现有迭代格式。在适当条件下，研究人员建立了所生成序列的强收敛性。作为应用，研究人员考虑了广义分裂可行性问题(GSFP)与凸最小化问题。文中给出了一个源于交通流建模的数值算例，以证明所提方法的有效性。

研究背景方面，变分不等式问题(VIP)与分裂公共不动点问题(SCFP)在最优控制、网络均衡、信号处理及交通流建模等领域具有广泛应用。已有研究分别基于广义半度规映射(generalized demimetric mapping)、K-映射(K-mapping)、惯性外推等手段建立弱或强收敛迭代格式，但在同时处理Lipschitz连续且强单调算子下的VIP与广义半度规映射下的SCFP时，缺乏统一且具备双惯性加速与黏性正则的混合框架。为此，研究人员在《Mathematics》发表了该文，旨在构建一种双重惯性混合算法，在实希尔伯特空间中对上述两类问题给出强收敛保证，并将其应用于广义分裂可行性问题、凸最小化与城市路网交通流优化。

关键技术方法上，研究人员采用如下工具：以ζ-广义半度规映射（ζ-generalized demimetric mapping，涵盖有向、拟非扩张及半收缩映射）刻画分裂端不动点约束；以K-映射有限族非扩张映射组合嵌入VIP条件；引入双惯性外推项结合黏性q-压缩映射（q-contraction）构造统一迭代；利用节点-弧关联矩阵将交通流守恒律转化为线性平衡方程；收敛性证明依赖 demi-closed 原理、Opial 性质及非负序列引理（Lemma 4）。数值部分以一维实数空间构造解析算例，并以四节点单向路网（节点A、B、C、D，链流量 x₁–x₅）作为交通流样本队列。

研究结果部分，各节内容如下。

1. 1.
   Introduction 介绍变分不等式、SCFP、广义半度规映射及K-映射定义，建立交通流节点守恒律 Mx=b 与可行集表述，指出需设计双重惯性算法统一处理VIP与SCFP。
2. 2.
   Preliminaries 列出 firmly nonexpansive、k-strictly pseudocontractive、demi-closed 等定义，给出有界算子伴随性质、广义半度规映射不动点集闭凸性，以及非负序列收敛引理(Lemma 4)，为后续证明奠基。
3. 3.
   Main Result 提出算法(1)–(3)：以 T_i=I-λF 处理 L-Lipschitz 与 μ-强单调映射 F，以 S_i 为 ζ-广义半度规映射生成中间迭代 y_n，以 K-映射合成 T_i 得 z_n，最终 x_n+1=α_nf(x_n)+(1-α_n)(θ_nx_n+(1-θ_n)K(γ_ny_n+(1-γ_n)x_n)) 加入双惯性外推。在 α_n,β_n,γ_n,θ_n 满足五条条件下，经七步证明（有界性、引理匹配、弱极限识别、demi-closed 与 Opial 反证）得 x_n→p^?∈Ω∩VI(C,F)。Theorem 1 成立。
4. 4.
   Applications 推得 Corollary 1–3 分别退化为 GSFP、纯 VIP、单空间 SCFP 强收敛；Corollary 4 将 δ-强凸可微函数最小化解等价为 VIP 解，算法收敛至 argmin_x∈Cg(x)；Theorem 2、3 分别令 β_n=0 与 β_n=γ_n=0 得单惯性、无惯性格式。
5. 5.
   Example 例1双惯性格式在 H=?,C=[?1,1],F(x)=x,f(x)=x/2,S₁(x)=(x+1)/2,S₂(x)=(x?1)/2,A=B=2 下收敛至 p^?=0；例2、3同参数退化为单/无惯性；例4以 modified inertial Mann–Halpern (MIH) 作对照；表5显示双惯性最终误差最小、CPU 时间最短。例5四节点路网 Mx=b 中 b=(2,10,6,18)^?，算法(42)迭代得 (x₁,…,x₅)→(4,6,8,10,12) 满足流量守恒。

讨论与结论翻译：研究人员所提双重惯性混合算法在实希尔伯特空间中对 L-Lipschitz 连续且 μ-强单调映射的 VIP 与 ζ-广义半度规映射的 SCFP 建立了强收敛理论；通过 K-映射统一嵌入 VIP 条件，借助双惯性外推与黏性正则兼顾加速与稳定性。应用至 GSFP、凸最小化及节点-弧守恒路网均获数值验证。相较单惯性、无惯性及 MIH 方法，双惯性格式在相同迭代次数下最终误差更小、计算时间更短。该框架扩展了 Kawasaki–Takahashi 广义半度规类与 Kangtunyakarn 迭代的应用边界，为交通流等网络均衡问题提供了可证明收敛的数值途径。