近场动力学中反常色散的广义应力驱动方法

《International Journal of Engineering Science》：A generalized stress-driven approach to anomalous dispersion in peridynamics

　　

本文研究了在近场动力学（Peridynamics, PD）和应力驱动非局部弹性（Stress-Driven nonlocal Elasticity, SDM）框架下一维非局部连续体的色散行为。首先分析了近场动力学模型，表明核函数的选择显著影响色散关系，并可能导致以非单调趋势和负群速度为特征的反常色散现象。然后考虑了具有亥姆霍兹核（Helmholtz kernel）的经典应力驱动模型，强调了其由于纯单调响应和严格正群速度而在再现此类效应方面的局限性。还引入了一个三参数局部/非局部应力梯度（Local/Nonlocal Stress-Gradient, L/NStressG）模型，通过变化非局部参数λ_c、梯度长度参数λ_l和混合参数α，允许更灵活地描述色散行为。然而，尽管增加了灵活性，在该框架内仍无法捕捉到反常色散。最后，提出了一个广义应力驱动模型（Generalized Stress-Driven Model, GSDM），其中非局部本构算子的谱表示不是预先指定的，而是通过确定以再现近场动力学色散关系。结果表明，所得到的模型能够再现与近场动力学模型相同的色散行为，包括反常色散现象。结果强调，描述复杂色散效应的能力强烈受所采用的非局部核的谱结构控制。通过改变模型的主要参数，展示并讨论了主要结果。

随着纳米材料在微纳机电系统（NEMS）等领域的广泛应用，尺寸效应显著影响材料力学行为，但经典连续介质力学无法准确描述。现有非局部理论中，近场动力学（Peridynamics, PD）可直接通过积分形式描述长程相互作用，并能呈现反常色散（如非单调色散关系和负群速度）；而经典应力驱动模型（Stress-Driven Model, SDM）虽在数学上自洽，但采用亥姆霍兹核（Helmholtz kernel）时仅产生单调色散响应，无法捕捉此类现象。这一差异引发核心问题：反常色散究竟是近场动力学的固有特征，还是取决于所采用非局部核的谱性质？为澄清此问题，研究人员在《International Journal of Engineering Science》发表论文，系统比较了PD、SDM、局部/非局部应力梯度模型（L/NStressG）及广义应力驱动模型（GSDM）的色散行为，并提出了GSDM框架，通过谱匹配实现与PD一致的色散响应，包括反常色散。研究揭示了非局部核谱结构对复杂色散现象的决定性作用，为不同非局部模型间的光谱等效性提供了统一视角。

**主要关键技术方法**（不超过250字）：
研究人员采用理论推导与谱分析方法：首先，基于傅里叶变换将一维无限长杆的偏微分/积分方程转化为代数色散关系；其次，在PD框架中选用七种核函数（均匀、三角、双曲、指数、多项式、三角、强奇异）进行参数化分析；在SDM中采用亥姆霍兹核，并通过傅里叶变换得到其谱表示；在L/NStressG中引入非局部参数λ_c、梯度长度参数λ_l和混合参数α，推导其色散、相速度与群速度表达式；在GSDM中，通过匹配PD的色散关系（ω_PD=c_∞A(k)）确定谱本构函数?(k)=k2/C(k)，从而建立两者间的光谱等效性。所有分析均基于一维无限域假设，无需样本队列来源。

**研究结果**（保留每个小标题）：

**2.1 局部模型**：
通过经典弹性理论推导，得到应力-应变关系σ=Eε和运动方程ρu?=Eu″，代入谐波解u=Ue^i(kx-ωt)得到线性色散关系ω=c_∞k（c_∞=√(E/ρ)），表明局部介质是非色散的。

**2.2 近场动力学模型**：
在键基近场动力学框架下，分析七种核函数（均匀、三角、双曲、指数、多项式、三角、强奇异）的色散行为。通过推导归一化频率ω?_PD、相速度c?_PD和群速度v?_PD随归一化波数q=kδ的变化，发现：1）所有PD模型均表现出非线性色散，多数核趋于高频饱和，而强奇异核持续增长；2）相速度单调递减，与局部模型常数趋势相反；3）群速度出现振荡并穿越零轴，表明存在负群速度（反常色散），仅强奇异核保持正群速度。这证实核函数选择决定反常色散是否出现。

**2.3 经典应力驱动模型**：
采用亥姆霍兹核Φ_Lc=(1/(2L_c))e^-|η|/L_c，其傅里叶变换为Φ?_Lc=1/(1+L_c2k2)。推导出色散关系ω_SDM=c_∞k/√(1+L_c2k2)，相速度c_SDM=c_∞/√(1+L_c2k2)，群速度v_SDM=c_∞(1+2L_c2k2)/(1+L_c2k2)^(3/2)。研究表明：频率、相速度和群速度均随波数增加而单调递增（硬化效应），且群速度始终为正，无法产生负群速度，因此不能捕捉反常色散。增加非局部参数λ_c（=L_c/δ）会进一步增强硬化效果。

**2.4 局部/非局部应力梯度模型**：
引入三参数本构关系，得到色散关系ω_L/NStressG=c_∞k√((1+L_c2k2)/(1+(αL_c2+L_l2)k2))。通过分析λ_c、λ_l和α的影响，发现：1）λ_c产生硬化效应（频率、速度升高）；2）λ_l产生软化效应（频率、速度降低）；3）α调节局部与非局部贡献平衡。尽管模型可再现硬化或软化行为，但色散关系仍单调，群速度始终为正，无负群速度区间，因此仍然无法捕捉反常色散。

**3. 广义应力驱动模型**：
提出GSDM，其色散关系为ω_GSDM=c_∞√(k/?(k))，其中?(k)为谱本构函数。通过令ω_GSDM=ω_PD，得到?(k)=k2/C(k)（C(k)=1/?∫_-δ^δF(ξ)(1-cos(kξ))dξ）。将各PD核的C(k)代入，构造对应的?(k)。数值结果显示，GSDM的归一化频率、相速度和群速度曲线与PD模型完全重合，包括非单调趋势和负群速度区间，证明了谱等效性。这表明反常色散并非PD固有，而是由核的谱结构决定，且可在应力驱动框架内通过谱函数设计实现。

**总结讨论与结论**：
研究人员在讨论中指出，经典SDM和L/NStressG（采用亥姆霍兹核）的色散响应本质上是单调的，无法产生负群速度，而PD中某些核却能呈现复杂谱特征。GSDM的成功表明，通过谱层面的构造，应力驱动框架可完全再现PD的色散行为，包括反常色散。这揭示了非局部核谱结构对色散现象的决定性作用：反常色散不应被视为PD的专有特性，而是特定核谱性质的体现。研究结论部分（原文4. Closing remarks）翻译如下：
本文在一维非局部连续体的框架内，研究了近场动力学和应力驱动非局部弹性中的色散行为。首先分析近场动力学模型，表明核函数选择强烈影响色散关系，尤其不同核类可导致非单调行为和负群速度（反常色散）。随后检验经典应力驱动模型（亥姆霍兹核），该模型虽数学一致且广泛应用，但仅呈现单调色散响应，群速度始终为正，无法再现反常特征。为增强应力驱动框架的描述能力，引入三参数局部/非局部应力梯度模型；结果显示非局部参数λ_c诱导硬化效应，梯度长度参数λ_l诱导软化效应，混合参数α控制局部与非局部平衡，但色散关系仍单调，无负群速度区间。鉴于这些局限，提出广义应力驱动模型，其中非局部本构算子的谱表示并非预先指定，而是通过建立与近场动力学谱表示的直接对应关系确定。结果表明，适当构造的谱本构函数使广义模型能再现与近场动力学相同的色散行为，包括反常色散。这些结果强调，捕捉复杂波传播现象的能力并非由本构框架本身独有，而是强烈依赖于所采用非局部核的谱结构。因此，反常色散和负群速度不应被视为近场动力学公式的特有特征，而是非局部相互作用特定谱性质的结果。所提出的广义应力驱动模型表明，在谱层面上，此类现象也可通过应力驱动框架内相应谱本构函数的适当构造来再现。从这个意义上讲，广义应力驱动公式为描述具有复杂谱行为的色散连续体和波传播现象提供了一个灵活且理论上一致的方法。