在多源不确定性的影响下，利用参数化水平集方法和非侵入式多项式混沌展开技术对热流体系统进行鲁棒拓扑优化

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Robust topology optimization for thermal–fluid system under multi-source uncertainties using parametric level-set method and non-intrusive polynomial chaos expansion

　　摘要
为了解决在不确定操作条件下散热器性能下降的问题，本文提出了一种鲁棒的拓扑优化（RTO）框架，用于热流系统。该框架将参数化水平集方法（PLSM）与非侵入式多项式混沌展开（NIPCE）相结合。通过使用高斯径向基函数插值水平集函数，该方法将哈密顿-雅可比方程转化为常微分方程，保持了通道边界的平滑性，无需重新初始化，并实现了自动孔洞形成。NIPCE模型对随机输入进行建模并计算统计矩，这些统计矩被合并为一个鲁棒目标函数，该目标函数是期望值和标准差的加权和，其梯度通过离散伴随方法进行评估。该框架通过三个数值示例进行了验证。首先，基于PLSM的RTO生成的拓扑图清晰无灰度错误，并且与确定性设计相比，标准偏差降低了16%以上。其次，针对非高斯分布（双峰分布、均匀分布和对数正态分布）的研究表明了其超越传统高斯假设的固有适应性。第三，在多源不确定性（热源强度和入口速度）下，优化器能够识别主要热源并相应地重新配置固液界面，实现了名义性能与鲁棒性之间的权衡。使用10,000个样本的蒙特卡洛验证确认NIPCE能够预测期望值和标准差的相对误差均低于1%，符合工程精度要求。这些结果证明了PLSM-NIPCE框架是一种在多样化和多源不确定性条件下进行鲁棒热流设计的多功能和高效工具。

引言
现代电子系统中不断增长的功率密度和热流密度，从高性能计算处理器和电动汽车电力电子设备到航空航天航空电子设备，使得有效的热管理成为系统可靠性、安全性和运行效率的关键决定因素。在各种冷却解决方案中，芯片散热器和电池散热器是两个特别具有挑战性和代表性的应用。芯片散热器面临着由密集排列的晶体管产生的极端热流，需要在有限的空间封装内实现高效的热量散发。另一方面，电池散热器面临严格的温度均匀性要求和安全关键的操作窗口，这增加了热控制的难度。在这两种情况下，冷却性能对变化的操作负载、冷却剂流动变化和环境干扰非常敏感，因此鲁棒的热管理至关重要。随着传统冷却方法越来越难以满足这些要求，通过系统设计优化开发先进的热量散发解决方案，特别是在不确定的操作条件下，已成为重要的研究重点。

拓扑优化作为一种先进的“概念设计”方法，已成为结构设计中的重要工具[1]、[2]、[3]。自Borrvall和Petersson[4]于2003年首次引入用于流体流动的拓扑优化以来，该领域在多物理场应用中经历了快速发展。特别是在散热器设计中，拓扑优化能够生成传统方法无法实现的高性能自由形流动通道，已在微通道散热器[5]、[6]、[7]、共形冷却通道[8]、[9]、[10]、两相流系统[11]、[12]、[13]以及三周期最小表面结构[14]、[15]中取得成功应用。出现了多种方法，包括基于密度的方法[16]、[17]、进化结构优化[18]、[19]、可移动变形组件[20]、[21]、[22]、水平集方法[23]、[24]、[25]以及带有几何修剪的二进制结构拓扑优化[26]、[27]、[28]。其中，水平集方法因其明确的边界表示、平滑的优化边界以及结合拓扑和形状优化的能力而受到特别关注。作为一种重要的变体，参数化水平集方法（PLSM）[29]使用径向基函数插值水平集函数，将哈密顿-雅可比偏微分方程转化为常微分方程。这种转换消除了周期性重新初始化的需要，放宽了对优化步长的限制，并实现了自动孔洞形成——这些优势使PLSM在结构强度[30]、[31]、流体流动[32]、[33]、热流[34]、[35]以及流固相互作用问题[36]、[37]中取得了成功。然而，所有现有的关于热流问题的PLSM研究都采用了确定性策略，忽略了波动的操作负载和环境变化可能在非设计条件下显著降低性能的事实。为了弥合确定性设计与操作可变性之间的差距，研究工作逐渐转向了在不确定性下的拓扑优化，推动了从确定性设计框架向基于概率的设计框架的转变。鲁棒拓扑优化（RTO）因其能够通过概率建模处理参数不确定性和制造变化而受到广泛关注。在结构系统中，设计过程中必须考虑多种不确定性，包括载荷不确定性[38]、[39]、材料不确定性[40]、[41]以及几何或边界不确定性[42]、[43]。在鲁棒拓扑优化中，通常区分两种主要理论框架：平均方法通过最小化概率环境下的结构响应的统计矩来寻求最佳平均性能[44]、[45]；非概率凸模型则基于最坏情况来优化性能[46]。尽管平均方法因其统计基础而受到更多关注，但Tori等人在[47]中指出，其主要挑战在于高效量化机械系统的低阶统计量，这通常需要大量的计算成本并存在某些限制。这一难题推动了多项式混沌展开技术的发展。经典的多项式混沌展开模型将不确定量表示为正交基函数及其系数的和，从而便于不确定性的表示和传播，尽管它通常需要对确定性求解器进行侵入式修改。随后，Xiu和Hesthaven[48]在2005年引入了随机配置方法，该方法将确定性系统视为一个黑箱，从而避免了任何求解器修改的需要。利用这一非侵入式特性，非侵入式多项式混沌展开（NIPCE）方法已成功应用于结构优化[49]、[50]、[51]。

最近的研究通过整合机器学习、基于区间的非概率模型和并发多尺度设计，进一步丰富了鲁棒拓扑优化的领域。这些工作共同表明，在先进工程应用中，考虑不确定性的设计是不可或缺的。特别是Li等人[52]、[53]、[54]研究了在各种不确定性源（从载荷大小和材料属性到温度引起的性能下降）下的鲁棒设计，他们使用了数据驱动的方法和非概率区间模型，同时也解决了实际工程约束，如载荷位置优化和航空航天结构中的非设计域效应。值得注意的是，他们使用的基于区间的方法与本文采用的概率NIPCE框架形成对比，突显了以最坏情况为导向的非概率设计与统计加权鲁棒优化之间的根本区别。尽管在这些领域取得了进展，特别是在固体力学和结构优化方面，但鲁棒拓扑优化在热流系统中的应用仍处于初期阶段。基于密度的方法虽然被广泛采用，但在固液界面处经常出现灰度中间密度，影响了物理保真度和制造的可解释性。同时，现有的基于水平集的方法主要局限于确定性设计。此外，大多数研究仅限于单源高斯不确定性假设，未能解决非高斯和多源不确定性问题。为了填补这些空白，本文提出了一个用于多源不确定性下热流鲁棒设计的PLSM-NIPCE框架。PLSM实现了无需重新初始化的平滑无灰度边界表示，而NIPCE提供了无需修改求解器的有效不确定性量化。本文的贡献主要在于将PLSM和NIPCE作为既定技术整合到一个统一的热流鲁棒设计框架中，并对其进行系统的验证。通过三个互补的研究证明了该框架的有效性和工程价值：与确定性和基于密度的方法进行基准测试，验证其对非高斯分布（双峰分布、均匀分布和对数正态分布）的适应性，以及解决多源不确定性（热源强度和入口速度）问题。总体而言，这些研究证明了所提出的框架是在多样化和现实不确定性条件下进行鲁棒热流设计的实用工具。研究背景和贡献在图1中进行了总结。

本文的结构如下：第2节概述了基于PLSM的拓扑描述方法。第3节介绍了使用NIPCE的不确定性传播分析。第4节阐述了鲁棒拓扑优化模型，并补充了基于伴随的敏感性分析。第5节描述了数值实现。第6节提供了三个数值示例：第一个示例验证了基于PLSM的鲁棒设计与确定性和基于密度的方法的比较；第二个示例研究了非高斯概率分布的影响；第三个示例将该框架扩展到多源不确定性。最后，第7节总结了本文。

基于参数化水平集方法的拓扑描述
在标准水平集模型中，通过在设计域内引入一个标量水平集函数Φ(x)来均匀描述流体和固体相的分布。设计域中每个元素的的材料属性由水平集函数在其质心的值决定：如果Φ(x)>0，则该点位于流体域Ωf内；如果Φ(x)<0，则位于固体域Ωs内。水平集函数的零等值面Φ(x)=0构成了固液界面Γs,f。

基于非侵入式多项式混沌展开的不确定性传播分析
本节主要包括两部分不确定性传播分析：不确定性输入和非侵入式多项式混沌展开。

优化问题
基于PLSM的热流鲁棒拓扑优化问题定义如下：
寻找γ=γ1,γ2,…,γNT，
最小化Jrobust，
满足条件：Rw,α=0，G(Φ)=∫ΩHΦdΩ
?Vmax≤0，?1≤Φ(x)≤1，?x∈Ω，
其中γ是优化问题的设计变量，下标N表示设计变量的数量。Jrobust表示第4.2节描述的目标函数。w表示流场的状态变量，如速度u和压力p。R表示控制方程的残差。

数值实现
基于参数化水平集方法的鲁棒拓扑优化在开源平台OpenFOAM[63]中实现。优化过程如图6所示，主要包含三个阶段：
第一阶段：基于PLSM的拓扑描述。
(a) 定义拓扑优化设计域、边界条件和初始模型参数。
(b) 在设计域内布置插值点。
(c) 计算高斯径向基函数。

数值示例
本节提出了三个数值示例，用于验证在不确定条件下提出的基于PLSM的鲁棒拓扑优化框架用于热流系统。第一个示例研究了不同初始拓扑配置对优化结果的影响，并将基于PLSM的鲁棒设计与确定性拓扑优化（DTO）和基于密度的鲁棒拓扑优化进行了比较。

结论
本文提出了一种用于多源不确定性下热流系统的鲁棒拓扑优化框架，将参数化水平集方法与非侵入式多项式混沌展开相结合。该框架实现了高保真度的边界表示和自动拓扑演化，同时无需修改求解器即可有效量化不确定性传播。所提出方法的有效性、适应性和工程适用性已经得到了验证。

作者贡献声明
万思远：撰写——原始草稿、验证、软件、方法论、概念化。
徐胜立：撰写——原始草稿、监督、软件、概念化。
蒋敏迪：撰写——原始草稿、验证、软件。
杜尚友：验证、软件、研究。
刘洪：监督、研究、数据管理。
张慧颖：撰写——原始草稿、监督、项目管理、方法论、资金获取。
王波：监督、方法论、形式分析。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。

致谢
本研究得到了国家自然科学基金（项目编号52302451）和中央高校基本科研业务费（项目编号DUT26RC(3)022）的支持。