用于固体力学问题的间隙偏移边界方法：线性弹性、超弹性和弹塑性

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：The Gap-Shifted Boundary Method for solid mechanics problems: Linear elasticity, hyperelasticity and elastoplasticity

　　

# 摘要

浸入有限元方法显著减轻了复杂几何形状的贴合网格生成负担，但它们经常面临与切割单元数值积分和矩阵病态相关的算法复杂性。移位边界方法（SBM）通过将真实边界条件的施加转移到由网格完整边/面组成的代理边界上来规避这些问题。边界条件通过对代理到真实距离向量的泰勒展开进行修改。然而，当存在诺伊曼（牵引）边界条件时，标准原始-SBM在线性有限元上产生次优的L2范数误差收敛性。为了克服这一根本性限制并恢复最优精度，我们开发了间隙-移位边界方法（Gap-SBM），该方法引入近似积分公式来计算代理边界与真实边界之间间隙中的虚功贡献。这些特殊求积公式避免了在切割单元上的积分。我们为线性弹性、有限应变超弹性和路径依赖小应变弹塑性全面推导并实现了Gap-SBM。在三周期极小曲面（TPMS）和粗糙断裂网络等复杂拓扑结构上的数值基准测试表明，Gap-SBM始终能提供高保真的应力和屈服预测，并促进非线性牛顿-拉夫逊收敛。所提出的框架建立了一个鲁棒、最优且几何灵活的工具，弥合了自动化非贴合网格工作流程与鲁棒高保真结构力学算法之间的鸿沟，为扩展到耦合Biot多孔力学、损伤力学以及粗糙断裂面上的摩擦接触公式奠定了基石。

# 引言

精确的固体力学问题数值模拟对于广泛的现代应用领域至关重要，包括航空航天、生物医学、土木、环境、岩土和机械工程。根据应用的不同，计算分析必须容纳各种本构行为，例如：用于正常操作条件下结构设计组件的线性弹性、用于研究软体机器人和生物组织的有限应变超弹性，或用于预测承载系统在极端载荷下失效、屈服或碰撞安全性的弹塑性。

一个常见的前处理障碍是现代工程和地球科学领域的几何复杂性，这越来越与生成保形有限元网格不兼容，尤其是当几何形状是从数字孪生、计算机断层扫描（CT）或非流形CAD格式（例如STL或点云）中提取时。用于轻量化增材制造超材料的三周期极小曲面（TPMS）[1]、[2]产生的光滑曲面、薄壁、多重连通几何形状，使得边界贴合网格生成失败或需要大量手工修复。从微计算机断层扫描重建或随机生成的粗糙断裂网络[3]、[4]产生具有尖角状裂纹尖端和跨越几个数量级开度分布的非流形几何形状，网格生成器在不过度粗糙化以消除控制整体力学响应的微凸度尺度异质性的情况下难以解析。在这些场景中，生成保形网格的成本（以人工工时衡量）主导了模拟流程，造成了前处理瓶颈。被此瓶颈阻挡的工程问题是具体且有深远影响的：在设计阶段预测增材制造点阵超材料的有效刚度和能量吸收响应[1]，评估地质CO2储存中注入诱导加压下盖层完整性[5]，评估强化地热系统刺激过程中断层再激活和加压诱导剪切滑移[6]，以及预测刺激储层中的诱发微震[7]。在每种情况下，感兴趣的工程量都是由几何特征（例如粗糙断裂交叉线）处的应力集中所控制的，而保形网格只有在代价极高的情况下才能保留这些特征，如果能做到话。

为了减轻与保形网格生成相关的严重瓶颈，浸入式（或非贴合、虚拟）域方法在过去三十年中在伽辽金投影方法背景下发展起来。这些方法将复杂的物理域嵌入到几何上更简单的背景网格中，有效地将边界表示与计算网格解耦。在有限元方法背景下，突出的例子包括浸入边界有限元方法（IB-FEM）[8]、[9]，切割有限元方法（cutFEM）[10]、[11]、[12]、[13]、[14]、[15]，扩展有限元方法（XFEM）[16]、[17]、[18]、[19]，有限单元法（FCM）[20]、[21]，浸入几何分析[22]，以及B样条浸入方法[23]、[24]。

虽然这些嵌入方法已经成功证明了大幅减少前处理时间的潜力，但它们从根本上依赖于被浸入边界切割的偏置元素的精确几何重建。这种"切割单元"范式引入了显著的算法复杂性。具体而言，在这些特征不规则的切割单元上积分弱变分公式需要子三角剖分或高级、计算昂贵的求积规则[20]、[21]。此外，任意小的切割单元的存在不可避免地导致严重的矩阵病态和数值不稳定性。为缓解这些病理，必须实施特定的代数稳定化技术，如幽灵罚项方法[25]、[26]或单元聚合[13]。

移位边界方法（SBM）[27]作为传统非贴合有限元方法的简化替代方案被引入，属于更一般的近似域方法类别[28]、[29]、[30]、[31]、[32]、[33]、[34]、[35]，尽管存在一些关键差异。SBM通过完全消除计算域中的切割单元来从根本上解决"小切割单元问题"。边界条件的施加从真实物理边界转移到由完全完整的背景元素边或面组成的代理边界上。为防止计算精度退化，代理边界条件通过沿将代理边界映射到真实边界的最接近点距离向量评估的泰勒展开进行解析校正。然后这些移位条件使用尼斯方法弱施加。自其问世以来，SBM已被证明是一种鲁棒、稳定和高度灵活的算法，成功应用于泊松和斯托克斯流[27]、[36]，平流扩散和纳维-斯托克斯方程[37]、[38]、[39]、[40]，固体力学[41]、[42]，动态断裂传播[43]、[44]，静态和移动界面[38]、[45]，以及复杂接触力学[46]。

尽管具有众多优势，但标准原始SBM在使用分片线性（P1）有限元执行诺伊曼（牵引）边界条件时面临一个持续的数学限制。因为P1场的二阶空间导数为零，通量/应力的泰勒展开截断为从代理边界到真实边界的零阶常数外推。对于具有足够光滑解的问题，这种缺失的梯度信息将全局L2范数收敛率降低到次优水平[47]。先前的工作通过引入混合-SBM公式[42]、[48]来解决这一限制，该公式同时求解位移和应变场以恢复应力所需的梯度。虽然在数学上是最优的，但混合-SBM公式显著增加了全局自由度的数量和总体计算成本，尤其是对于具有复杂多孔几何形状的大规模三维模型。

为了在不过度增加混合有限元计算成本的情况下恢复最优收敛率，间隙-移位边界方法（Gap-SBM）最近在二维和三维泊松方程中提出[49]。Gap-SBM完全在原始公式中运行，通过显式近似代理边界和真实边界之间间隙区域内产生的虚功来实现最优精度。然而，这种近似不会相对于标准SBM公式增加总自由度的数量。

虽然最初的Gap-SBM工作简要涉及了二维线性弹性的方程，但本文进一步开发了该框架，以涵盖一系列关键的固体力学现象：三维线性弹性、有限应变超弹性和小应变弹塑性。我们证明，在模拟经历严重变形和路径依赖材料屈服的复杂几何形状时，Gap-SBM保持了最优的高保真精度。因此，本文确立了Gap-SBM作为先进结构工程和计算地质力学的高度鲁棒、计算高效且完全浸入的方法。

Codina和Baiges[50]提出的近似施加方法中引入了一个概念上相关的处理浸入边界而无需切割单元的思想。他们的方法共享从相邻代理边界的元素将局部多项式外推到物理间隙的基本原理，从而避免复杂的子三角剖分和额外的自由度。然而，两个框架之间存在根本性的算法差异。[50]中的方法严格在未切割的代理域上评估体方程，并利用扩展专门构造真实边界上的最小二乘狄利克雷约束，这有效地消除了代理层方程。相比之下，Gap-SBM显式地使用扩展场评估间隙区域的体积贡献，确保离散问题在真实物理域上保持一致的近似。此外，Gap-SBM保留所有离散方程并通过尼斯形式弱施加约束，产生变分一致的公式，避免了当真实边界和代理边界接近时所需的方法临时混合。

本文其余部分组织如下：第2节建立了线性弹性、超弹性和弹塑性的控制方程和本构模型。第3节详细阐述了移位边界方法的几何基础并突出其数学限制。第4节系统地推导了三种固体力学领域的新颖Gap-SBM弱公式，并概述了一种无切割单元的Gap-SBM计算高效策略。最后，第5节展示了一套全面的数值实验，证明了方法的精度、鲁棒性和工程适用性，随后在第6节讨论和第7节结论中进行讨论和总结。

## 问题定义

在本节中，我们公式化了三种不同类别固体力学行为的边界值问题：线性弹性、超弹性和弹塑性。本节呈现了每个问题的控制方程和本构定律，为所提出的间隙-移位边界方法（Gap-SBM）的应用奠定了数学基础。

### 移位边界方法

**符号**

在本文余下部分，我们将使用Sobolev空间H^p(Ω)=W^{p,2}(Ω)，正则性指标p≥0和可加性指标2，配备（缩放）范数

‖v‖_{H^p(Ω)} = (‖v‖_{L^2(Ω)}^2 + ∑_{k=1}^{p} ‖l(Ω)^k D^k v‖_{L^2(Ω)}^2)^{1/2}

其中D^k是k阶空间导数算子，l(A)=(meas(A))^{1/d}是域A的特征长度。注意H^0(Ω)=L^2(Ω)。我们将使用简化的范数和半范数符号，即设定‖v‖_{p;Ω}=‖v‖_{H^p(Ω)}和|v|_{k;Ω}=‖D^k v‖_{0;Ω}=‖D^k v‖_{L^2(Ω)}。为简化符号

### 间隙-移位边界方法（Gap-SBM）

为克服传统原始SBM公式中诺伊曼边界条件下次优的L2范数收敛性，Gap-SBM包含了对代理边界Γ?_h和真实边界Γ之间几何间隙中产生的虚功的近似。我们首先详细阐述该间隙区域的几何构造和基函数的扩展。随后，我们系统地推导了线性弹性和有限应变...的变分弱公式

### 数值结果

在本节中，我们展示了一套全面的二维和三维数值测试，以证明所提出的Gap-SBM公式在线性弹性、超弹性和弹塑性问题中的精度、鲁棒性和效率。在这些测试中，Gap-SBM的性能与标准贴合有限元方法、标准（原始）SBM和阶梯（体素化）有限元公式进行了系统比较。具体而言，通过...

### 与其他数值方法的比较

Gap-SBM提供了传统浸入边界方法（如切割有限元方法（CutFEM）和扩展有限元方法（XFEM））的独特、高度竞争的替代方案。CutFEM和XFEM的一个主要挑战是需要对任意切割单元进行复杂的元素子三角剖分和专门的数值积分。此外，为了治愈"小切割单元问题"导致的代数系统病态，CutFEM需要...

### 结论

在本工作中，我们开发并实现了用于复杂固体力学问题的间隙-移位边界方法（Gap-SBM），包括线性弹性、有限应变超弹性和小应变弹塑性。通过泰勒展开将解从结构完整的代理边界扩展到浸入真实边界，Gap-SBM完全规避了贴合网格生成的禁止成本和切割单元...的数值复杂性

### CRediT作者贡献声明

Kangan Li：写作 – 审阅与编辑，写作 – 原始稿，可视化，验证，软件，资源，项目管理，方法论，调查，正式分析，数据管理，概念化。Tushar Mittal：写作 – 审阅与编辑，可视化，监督，项目管理，方法论，调查，资金获取，正式分析，概念化。J. Haydel Collins：写作 – 审阅与编辑，验证，方法论，调查，...

### 利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能会影响本文所报告的工作。

### 致谢

本材料基于美国能源部科学办公室、基础能源科学办公室在DE-SC0024937奖励编号下资助的工作，为KL（博士后职位的主要支持）和TM提供了支持。

GS 部分受美国国家科学基金会（数学科学部）资助，项目编号为 DMS 2409919。
Kangan Li|Tushar Mittal|J. Haydel Collins|Guglielmo Scovazzi