一种用于功能梯度三重周期极小曲面微板尺寸相关分析的稳定化 C1 连续无网格方法

《COMPOSITE STRUCTURES》：A stabilized C1-continuous meshfree approach for size-dependent analysis of functionally graded triply periodic minimal surface microplates

　　

摘要

本文发展了一种稳定化的C1连续无网格方法，用于函数梯度三重周期极小曲面（FG-TPMS）微板的尺寸依赖弯曲和自由振动分析。运动场基于C1三阶切比雪夫剪切变形理论并与修正应变梯度理论（MSGT）相结合构建，以严格捕捉尺寸依赖的微结构尺寸效应。为克服施加完全固支边界条件的长期挑战，本研究引入了一种新颖的稳定约束技术，通过将罚函数法与节点积分方案相结合实现。该方案建立了一种自平衡机制，其中节点积分固有的软化效应自然地抵消了罚约束的人为过刚效应，使数值解对罚参数高度不敏感。该方法通过切比雪夫移动克里金无网格方法实现，应用于研究三种不同的TPMS拓扑结构，包括Gyroid（G）、I-wrapped package（IWP）和Primitive（P），涵盖各种体积分数分布曲线和板几何形状。全面的数值算例揭示了一个关键的尺度依赖刚度层级反转现象：在宏观尺度下，IWP和P拓扑在Pattern I和Pattern II配置下表现出更优的刚度，但当微观尺度效应占主导地位时，P拓扑成为最刚硬的配置。这些发现与传统宏观设计原则相悖，确立了P型架构作为MEMS/NEMS器件最优配置的结论。

引言

近年来，增材制造的快速发展促进了具有定制力学性能的复杂蜂窝结构的制造。其中，三重周期极小曲面（TPMS）凭借其数学定义的平滑曲面、高刚度-重量比和大表面积-体积比，作为一类出色的超材料脱颖而出[1]。当不同的TPMS架构（如Primitive（P）、Gyroid（G）和I-wrapped package（IWP））在结构上呈函数梯度分布时，所得的函数梯度三重周期极小曲面（FG-TPMS）材料相比均匀点阵结构表现出更优的吸能和承载能力[2]。通过将这些拓扑结构与函数梯度概念相结合，FG-TPMS结构提供了通过同时控制架构和材料分布来优化性能的稳健框架[3]。通过实验、解析和数值方法对各种P、G和IWP的FG-TPMS架构进行了广泛研究。设计策略有了显著发展，从简单的单元混合[4]和梯度体积分数[5]发展到由z值项[6]或log-sigmoid函数[7]控制的复杂配置。研究表明，这些梯度（尤其是沿加载方向定向时）可显著提高吸能[8]，并影响失效机制，包括Gyroid结构中的剪切带现象[9]。除力学应用外，这些结构的渗透性和形态使其成为生物医学支架的理想选择[10]、[11]。与此并行，计算分析在梁的振动和屈曲方面已趋于成熟[12]。最近，一种包含高阶剪切变形理论（HSDT）与等几何分析（IGA）相结合的高级板模型被引入[13]，随后扩展到壳体的热力学稳定性分析[14]。该模型通过无网格方法进行了开发和实现[15]。

现有大多数研究关注宏观尺度结构响应，而微观尺度的尺寸依赖力学行为仍鲜有探索。然而，当这些结构组件的尺寸减小到微米尺度时，其力学行为受尺寸效应影响显著，而经典连续介质力学（CCM）无法准确预测这一现象[16]。此外，实验观测一致表明微结构的刚度具有尺寸依赖性，通常随特征尺寸减小而增加[17]。为解决CCM在捕捉尺寸效应方面的局限性，发展了若干高阶连续介质理论，如偶应力理论[18]、[19]，修正偶应力理论（MCST）[20]，应变梯度理论[21]，修正应变梯度理论（MSGT）[22]以及非局部理论[23]。其中，Lam等人[22]提出的MSGT是一个突出的稳健框架。通过引入与旋转梯度、膨胀和偏张拉伸相关的三个材料长度尺度参数，MSGT为微连续介质力学中尺寸依赖行为提供了全面的描述。虽然MSGT或弱非局部应变梯度理论等简化连续框架被频繁使用，但Khakalo和Niiranen[24]指出，这些简化理论对各向异性微结构来说不够丰富，强调Mindlin的全各向异性应变梯度理论对于推导广义板模型至关重要。最近，Nguyen等人[25]使用基于精化板理论、MCST和IGA的框架考察了FG-TPMS微板的弯曲、屈曲和自由振动行为。在此基础上，Hung等人[26]将HSDT与MSGT和IGA相结合进一步推动了该领域的发展。类似地，另一项研究[27]为石墨烯板增强FG-TPMS微板分析提出了一种精化的尺寸依赖修正应变梯度模型。换言之，Phung-Van等人分析了多孔依赖的FG-TPMS纳米板[28]、[29]和智能夹层纳米板[30]，通过整合HSDT、非局部应变梯度理论和IGA实现。

为准确模拟厚板和中等厚度板的运动行为，相较于经典板理论（CPT）或一阶剪切变形理论（FSDT），高阶剪切变形理论（HSDTs）更为优选，因为它们无需剪切修正系数即可考虑横向剪切变形[31]、[32]。在此背景下，三阶切比雪夫剪切变形理论具有特别优势[33]。它利用切比雪夫多项式逼近厚度方向的位移场，确保顶面和底面零牵引力，并提供高精度的应力分布[34]。然而，这类三阶理论的实现通常需要位移场的C1连续性，即位移及其一阶导数在单元边界处必须连续。虽然有限元法（FEM）是结构分析中的主要数值工具，但构建C1连续单元（如协调板单元）在几何上要求严格且计算代价高昂[35]、[36]。无网格方法提供了一种有前景的替代方案，它基于一组散点构建形函数，从而消除网格畸变问题并轻松提供高阶连续性[37]、[38]。具体而言，移动克里金（MK）[39]和切比雪夫移动克里金（CMK）[34]方法因其能够构建具有Kronecker delta性质的形函数而备受关注，与其他无网格方法如无单元Galerkin法（EFG）[40]相比，这简化了本质边界条件的施加。尽管存在这些优势，在无网格方法应用于C1连续理论时仍存在一个重大数值挑战：边界条件的稳健施加，特别是完全固支约束。此类约束要求边界处横向位移及其一阶导数均为零。虽然MK和CMK方法可以构建具有Kronecker delta性质的形函数，但它们本质上缺乏旋转自由度。因此，虽然位移约束容易满足，但施加零导数要求仍然困难。为施加位移斜率约束，Krysl和Belytschko[41]、[42]引入了辅助旋转向量结合Lagrange乘子，用于薄板和壳的EFG方法分析。类似地，Leitao[43]将此技术与Hermite配点法和径向基函数相结合，应用于Kirchhoff板弯曲问题。Liu等人[44]和Wang等人[45]分别将Hermite型逼近纳入径向点插值方法和再生核Galerkin方法，进一步将此方法扩展到Kirchhoff板。随后，相关的平滑化Hermite径向点插值方法变体[46]被提出用于薄板分析以进一步提高解的精度。Wang和Lin[47]随后将Hermite再生核逼近扩展到薄板自由振动分析中，结合了子域稳定协调积分方案。Dai等人[48]将罚函数技术引入EFG方法，基于三阶剪切变形理论分析层合复合板的静力和自由振动行为。总体而言，结合C1高阶剪切变形理论的无网格方法在施加完全固支边界条件方面较IGA处于劣势。在IGA中，约束横向位移的斜率只需将边界控制点及其相邻内部控制点赋予相同值（如零）即可实现。这种技术在IGA框架中的实现远比无网格方法简便。本研究采用罚函数法结合节点积分（NI）方案来施加完全固支边界条件。与传统高斯求积不同，NI方案直接使用场节点作为积分点。这种特定对齐方式在添加罚项后显著增强了全局刚度矩阵的对角优势，从而缓解了大罚参数通常引起的病态问题。此外，节点积分固有的软化效应成功地抵消了罚约束的过刚倾向，产生了一种数值稳定且稳健的完全固支板分析方法。

现有文献缺乏一个有效的统一框架来稳定FG-TPMS微板的这些解而不诉诸复杂技术。为弥补这一空白，本文提出了一种稳定化的C1连续无网格方法用于FG-TPMS微板的弯曲和自由振动分析。该方法整合MSGT以捕捉微观尺度尺寸效应，并利用三阶切比雪夫运动场。本研究的核心创新在于一种结合罚函数法与节点积分方案的稳定化数值技术。对于刚度由梯度参数和FG-TPMS非均匀性控制的微结构，罚能贡献略微占主导。在本研究中，所提出的方法建立了一种自平衡机制，其中罚约束和节点积分误差相互抵消，成功缓解了数值不稳定性。该方法确保了完全固支边界条件的稳健施加，这是准确模拟刚性微组件的关键要求。此外，对P、G和IWP架构进行了全面的参数研究，以考察所提方法的稳定性和精度。

部分摘要

FG-TPMS材料属性

分析关注包含G、IWP和P架构的FG-TPMS微板，如图1所示。力学属性包括弹性模量E(z)、剪切模量G(z)、泊松比ν(z)，沿厚度方向呈函数梯度分布。该梯度由孔隙率的空间变化推导得出，并使用[13]中提供的公式计算：

E(z)/Eb = {0.317?? + 1.264? ≤ 0.25；1.007?2 + 2.006? - 0.007? > 0.25}

G(z)/Gb = {0.705?? + 1.189? ≤ 0.25；0.953? + 1.715 + 0.047? > 0.25}

ν(z) = {0.314e^(-1.004?) + ...}

数值结果

本节考察FG-TPMS方形、圆形和带心形切口的方形微板，基底材料属性取为Eb=200GPa；νb=0.3；ρb=8000kg/m3。由于FG-TPMS材料三个独立长度尺度参数（l1, l2, l3）的实验值目前尚不可见于文献，我们采用假设l1=l2=l3=l。这一简化为单一有效参数在物理上是合理的，并且经过深思熟虑，旨在便于直接的数值比较。

结论

本研究已成功发展了一种稳定化的C1连续无网格方法，用于分析FG-TPMS微板的尺寸依赖弯曲和自由振动行为，重点实现了完全固支边界条件的稳健施加。我们的方法结合了C1三阶切比雪夫剪切变形理论、MSGT和切比雪夫移动克里金方法。这种整合确保了精确的运动学表征，捕捉了尺寸依赖效应，并生成了高阶连续形函数。

CRediT作者贡献声明

Chien H. Thai：原稿撰写、可视化、验证、方法论、调查研究、形式化分析、概念构思。P.T. Hung：稿件审阅与编辑、可视化、验证、调查研究。Duong D. Vu：可视化、验证、调查研究。P. Phung-Van：稿件审阅与编辑、可视化、验证、方法论、调查研究、形式化分析、概念构思。

利益冲突声明

作者声明不存在已知的可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

Chien H. Thai | P.T. Hung | Duong D. Vu | P. Phung-Van