物理信息神经网络在宇宙膨胀动力学中的应用：平坦FLRW时空中的正向解与同步参数推断

《Astronomy and Computing》：Physics-informed neural networks for cosmological expansion dynamics: Forward solutions and simultaneous parameter inference in flat FLRW spacetime

　　

摘要：我们开发并分析了物理信息神经网络（PINNs），用于求解描述平坦弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃克（FLRW）时空宇宙膨胀的弗里德曼方程。在前人基于PINN的宇宙学推断研究基础上，本文在方法论上做出了两项聚焦贡献。首先，我们将网络输出重新表述为e-折数N(t)=lna(t)，而非直接输出尺度因子a(t)；这一重参数化与早期的bundle-solution方法（Chantada等人, 2023, Bachar等人, 2025）相关但有区别，在本文中它被明确设计为针对弗里德曼常微分方程残差的梯度优化提供条件改善，并我们显式地刻画了该改善的来源。其次，我们将宇宙学密度参数Ωm和ΩΛ嵌入为一个统一逆问题PINN中的可学习标量，该网络在平坦性约束Ωm+ΩΛ=1下，从含噪的合成观测数据中同时恢复膨胀历史并推断潜在的宇宙学参数，采纳了Flamant等人（2020）提出的Bundle Solution框架的参数推断理念。我们将物质主导的正向PINN与解析参考解进行基准测试，达到了量级为10?3的平均相对误差；相应的ΛCDM正向PINN在未使用任何观测数据的情况下训练，在同一域上的收敛明显较差，我们识别并讨论了导致这一现象的机制。逆问题PINN从30个含噪观测值中将膨胀历史的恢复精度提升至不超过5%；恢复出的密度参数与其生成值之间存在偏差，这与a(t)数据固有的Ωm和ΩΛ之间的几何简并性一致，我们通过多初始化扫描直接量化了恢复参数的分布范围，而非仅作定性断言。

引言：宇宙的膨胀历史编码在尺度因子a(t)中，其演化由弗里德曼方程描述，这是一个从爱因斯坦场方程应用于空间均匀各向同性时空所得出的一阶常微分方程（Friedmann, 1922, Lema?tre, 1927）。在标准的ΛCDM范式中，当物质和宇宙学常数同时存在时，该方程在宇宙时中没有封闭形式解，而是在实际应用中通过数值积分求解，从超新星宇宙学中的距离模数计算到大规模结构分析中的物质转移函数计算皆是如此（Peebles, 1993, Planck Collaboration, 2020）。物理信息神经网络（PINNs）（Raissi等人, 2019）是一类机器学习模型，其训练目标是直接满足微分方程，其中控制方程以软约束的形式进入损失函数。与需要大量标注训练数据的纯数据驱动网络不同，PINNs原则上可以在完全不依赖数据的情况下求解微分方程，仅利用方程的残差以及初始或边界条件来定义优化目标。这一特性对宇宙学建模尤其具有吸引力，因为在传统意义上，"数据"可能混淆了观测不确定性和理论不确定性，或者在高分辨率下模拟成本高昂。近年来，机器学习和PINN方法在宇宙学问题上的应用显著增长。神经ODE（Chen等人, 2018）和基于模拟的推断（Cranmer等人, 2020）代表了互补的数据驱动方法，它们假设存在预计算的正向模型，而PINNs则通过可微约束来编码物理规律。功率谱模拟器（如EuclidEmulator2, Euclid Collaboration, 2021）同样预设了正向求解器，并针对不同的推断场景。在基于PINN的宇宙学动力学这一特定领域内，必须承认几项重要的先前工作。Chantada等人（2023）引入了宇宙学信息神经网络来求解背景FLRW动力学并推断宇宙学参数，采用了密切相关的逆问题PINN公式。Chantada等人（2024）随后为这些PINNs推导了精确和近似的误差界。Bachar等人（2025）将带误差界的bundle PINNs应用于平坦FLRW时空中线性物质微扰的演化，在此过程中在Flamant等人（2020）的bundle-solution框架内采用了类似e-折的重参数化。Tan（2025）研究了用于宇宙学参数推断的证据型PINNs，包括不确定性量化。最近，Verma等人（2025）利用宇宙学信息神经网络推断暗能量的状态方程。Flamant等人（2020）提出的Bundle Solution框架，其中将微分方程的参数作为附加输入提供给网络，使单个训练好的模型代表整个解族a(t;Ωm,ΩΛ)，是本文所开发的逆问题PINN最接近的结构类似物，尽管如第4节所讨论的，本文在参数表示方式上偏离了严格的bundle-solution架构。在上述背景下，本文的贡献做出了两项聚焦的声明，旨在扩展而非取代上述工作：（1）对e-折重参数化的定量条件分析。尽管与N=lna相关的重参数化在之前的PINN宇宙学工作中出现过（Bachar等人, 2025），但这种替换改善训练的机制尚未被定量确立。我们证明两个候选残差满足一个精确的代数恒等式Ra(t)=a(t)RN(t)，独立于任何训练过的网络，由此可得出直接参数化的训练损失隐式地以因子a(t)2对配点进行了重新加权，在本研究使用的域上跨越超过五个数量级，而e-折损失则不存在这一问题。我们表明这一机制不同于——并且修正了——一种基于N(t)单调性或有界性的早期较不精确的论证版本，并将其与将式（6）乘以a^(3/2)的替代方案进行比较。（2）带有显式平坦性约束和对数参数化宇宙学参数的逆问题PINN。在Chantada等人（2023）的宇宙学逆问题PINN基础上，以及在bundle-solution方法（Flamant等人, 2020）的参数推断理念基础上，我们将Ωm和ΩΛ作为对数参数化的可学习标量嵌入其中，并配以显式的平坦性惩罚Lflat，证明所得优化结果落在一个与a(t)数据几何简并性一致的点上，并通过多次初始化量化该点的分布范围，而非将单次运行视为代表性结果。我们还系统地基准测试了正向和逆问题的两个变体，并透明地讨论了当前设置的局限性，包括a(t)不可直接观测以及缺乏不确定性量化，我们将这些确定为未来工作的明确方向。本文其余部分组织如下：第2节回顾相关的宇宙学方程。第3节描述神经网络架构。第4节详述PINNs训练方法。第5节呈现所有数值结果。第6节将本工作置于更广泛的文献中并概述扩展方向。第7节总结全文。

FLRW度规与弗里德曼方程：与空间均匀各向同性一致的最一般时空度规是FLRW度规，ds2=?c2dt2+a(t)2dr2/(1?kr2)+r2dΩ2，其中a(t)是无量纲尺度因子（归一化为当前值a?=1），k∈{?1,0,+1}是空间曲率指标，dΩ2是单位二维球面上的圆度规。我们全程限于空间平坦的情形k=0。将式（1）代入爱因斯坦场方程Gμν+Λgμν=8πGTμν/c?，得到两个独立方程。弗里德曼方程为：

网络架构：图1展示了正向和逆问题PINN两种变体的简化方框图示意图，重绘为清晰的线性方框图，将逆问题PINN特有的组件隔离在单独的标注面板中，而非与正向路径交错排列。从左到右阅读：标量宇宙时间t进入一个宽度为64的线性嵌入层，后接tanh激活函数，经过三个残差块（He等人, 2016）（每个实现跳跃连接h^(?+1)=h^(?)+…

标准PINN公式：给定一个ODE R[u](t)≡F(t,u,u?,…)=0，PINN使用具有可训练参数θ的神经网络uθ(t)来近似解u(t)，最小化L(θ)=λphys/Nc∑[R[uθ](ti)]2+λIC[uθ(t?)?u?]2，其中{ti}为从定义域中抽取的配点，t?,u?指定初始条件，λphys,λIC为加权超参数。物理残差R通过网络自动微分来评估，因此无需对微分算子进行离散化。

E-折重参数化：动机与分析

朴素…

物质主导宇宙：图3汇总了平坦物质主导宇宙的PINN解。面板(a)显示PINN尺度因子在训练区间t/t?∈[0.1,2.0]上忠实地跟踪解析幂律解a∝t^(2/3)。面板(b)显示逐点相对误差|Δa|/a=|aPINN?aanal|/aanal，在域的大部分区域保持在10?2以下，在初始边界t/t?=0.1附近略有增长。t/t?=0.1附近的较高误差与PINNs在初始边界附近分辨率不足的已知倾向一致。

为何在宇宙学中使用PINNs？标准ODE积分器对于单次弗里德曼方程积分的计算效率远高于PINN。PINN框架在逆问题设定中彰显了其价值：当控制物理规律已知但某些参数未知时，PINN提供了一个统一的可微系统，在其中解的求解与参数推断同时进行，无需定义似然函数、选择先验分布或运行采样器。梯度?L/?(ωm,ωΛ)通过神经网络权重回传…

结论：我们提出了物理信息神经网络用于求解平坦FLRW时空中弗里德曼方程的解法，建立并扩展了已有的PINN宇宙学文献。我们对e-折重参数化N=lna进行了定量条件分析，通过精确恒等式Ra(t)=a(t)RN(t)确立了其相对于a(t)直接参数化的优势来源于：在e-折损失下不存在对配点的隐式a(t)2重新加权…

未引用参考文献：Agarwal等人（2021）

利益冲突声明：作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争经济利益或个人关系。

Debarshi Mukherjee