分形几何学由曼德布罗特（Mandelbrot）[1]开创，研究的是其分形维数大于拓扑维数的结构[2],[3]。这类对象具有自相似性，通常具有非整数甚至复数维数[4],[5]。 recent的发展包括具有不同自相似程度的简化分形及其相关的谱构造[6],[7]。分形结构在许多科学和工程应用中自然出现，这激发了适应其内在几何特性的解析和计算工具的开发。
在分形空间的数学分析方面已经取得了实质性进展。最近的研究建立了超过程的局部时间与谱维数之间的联系[8]，扩展了对自相似分形集的积分技术[9]，并在粗糙表面上分析流体流动时应用了分形维数[10]。然而，当直接将长度、面积、体积和豪斯多夫测度（Hausdorff measure）等经典几何概念应用于分形结构时，往往会遇到显著困难[11],[12],[13],[14],[15],[16],[17],[18]。
为了解决这些挑战，提出了几种数学框架，包括分数空间[19]、概率方法[20]、分数微积分[21],[22],[23],[24]、测度论方法[25],[26],[27],[28],[29]以及非标准分析[31]。在这些方法中，分数微积分（Fractal Calculus, FC）为在分形集和曲线上直接定义微分和积分提供了一个系统化的框架[32],[33]。
分数微积分已在多个领域得到应用，包括分形电池放电模型[34]、分形微分方程及其稳定性分析[34]、分形插值和魏尔斯特拉斯型函数（Weierstrass-type functions）[35]、康托尔集动力学（Cantor-set dynamics）[34]、分形域上的拉普拉斯方程[34]以及分形规范积分（fractal gauge integration）[34]。其他发展还包括分数布朗运动（fractional Brownian motion）的非局部分形导数[34]、分形随机微分方程[34]、分形向量微积分和微分算子[36]、延迟分形微分方程[37]、非标准分形积分和微分形式[34]、分形时间经济模型[34],[38],[39],[40],[41],[42]。最近，在分数微积分框架内引入并研究了薛定谔方程的分形版本。特别是，已经推导出了时变分形薛定谔方程的通解，揭示了由底层分形结构引起的几个独特特征[43]。这些发展为寻找能够处理线性和非线性分形量子模型的高效半解析方法提供了动力。
在现有的半解析技术中，由廖（Liao）[44],[45],[46]首次提出的同伦分析方法（Homotopy Analysis Method, HAM）为构建非线性问题的收敛级数解提供了一个通用框架。同伦扰动方法（Homotopy Perturbation Method, HPM）可以被视为一种相关的基于同伦的技术，并已成功应用于各种微分方程[47],[48],[49],[50],[51],[52]。HPM的收敛性质已被广泛研究，其在伯格斯方程（Burgers equation）、薛定谔方程和更高阶抛物线方程中的应用证明了其有效性[53],[54],[55]。HPM及其相关的基于变换的变体也被用于求解分数和非线性演化方程，包括克莱因-戈登方程（Klein-Gordon equations）和分数薛定谔方程[56],[57],[58],[59],[60],[61]。对于各种非线性薛定谔模型，还开发了分裂步长有限差分方案（split-step finite-difference schemes）等数值方法[62],[63],[64]。HAM已被引入并用于线性矩阵方程的近似求解[65]。还提出了用于求解非线性方程组的七阶和六阶方法，并提供了这些方法的收敛性分析[66]。HAM已被应用于求解非线性分数偏微分方程，并开发了一个通用方案来获得几种非线性分数模型的近似解[67]。提出了一种无网格数值方法，通过结合二阶时间近似和Kansa径向基函数配置方法（Kansa radial basis function collocation approach）来求解一维和二维时分数非线性薛定谔方程[68]。HAM已被应用于求解线性分数微分方程，并开发了一个高效方案来获得几种Caputo意义上的时分数模型的近似解[69]。研究了几个径向核的Riesz势和分数拉普拉斯算子（fractional Laplacian），并在分数拉普拉斯算子下的像用广义超几何函数（generalized hypergeometric functions）和Meijer G-functions表示[70]。研究了几种用于求解具有狄利克雷边界条件的二维薛定谔方程的有限差分方案[71]。HPM已被提出用于求解刚性常微分方程组。对于线性和非线性刚性系统，已证明了该方法的简单性、准确性和有效性[72]。提出了一种对HPM的改进版本，以方便求解非线性问题。通过数值求解正弦-戈登方程（sine-Gordon equations）和耦合正弦-戈登方程（coupled sine-Gordon equations），证明了该方法的准确性、效率、简单性和可靠性[73]。提出了一种改进的Sardar子方程方法（modified Sardar sub-equation method），用于获得广义立方非线性薛定谔-科特维格-德弗里斯方程（generalized cubic nonlinear Schr?dinger-Korteweg-de Vries system）的孤子型解[74],[75]。研究了三种时空分数薛定谔模型（space–time fractional Schr?dinger models），并利用共形导数（conformable derivative）和分数复变换（fractional complex transform）获得了明亮、暗和奇异的光学孤子解[76]。引入了一类( 1 +1 )
受这些发展的启发，本研究将同伦扰动方法应用于分形线性和非线性薛定谔方程。所提出的框架将基于同伦的半解析技术扩展到分形微积分的背景下，并为几种代表性的分形量子模型提供了显式的级数解。通过示例展示了该方法的适用性和有效性。
本文的其余部分组织如下。第2节回顾了分形微积分和同伦扰动方法的基本概念。第3节将HPM应用于分形线性和非线性薛定谔方程，并给出了几个示例。最后，第4节总结了主要发现和结论。
