大涡模拟方法对累积量格玻尔兹曼方法频谱带宽的影响

《Computers & Fluids》：On the impact of Large-Eddy simulation approaches on spectral bandwidth in cumulant Lattice Boltzmann methods

　　

摘要

基于格子玻尔兹曼方法（LBM）的大涡模拟（LES）在具有大雷诺数特征的应用工程领域中得到越来越多的应用。经典方法中，一个设计良好的LES的计算网格解析80%的能量谱，而亚格子尺度（SGS）湍流模型则用于参数化未解析的尺度。尽管这种方法被广泛采用，但一种替代方法正日益对其提出挑战：即通过数值耗散机制取代显式SGS模型，这种方法被称为隐式LES（ILES）。一般来说，无论在LBM领域还是在更广泛的LES社区中，对于这些方法的有效性仍未达成共识。本研究探讨了基于D3Q27累积量LBM的LES求解器中不同亚格子尺度处理方式的定性和定量差异，包括常用的SGS模型、累积量正则化和纯ILES，针对单模Kelvin-Helmholtz不稳定性（KHI）和各向同性衰减湍流（HDT）两种情况。对于KHI案例，在Re=1.6×103条件下与实验数据的验证表明，动量厚度和涡结构均表现出强烈的一致性。此外，我们将LBM解与采用低马赫数修正（LMC）的五阶Godunov格式数值结果进行比较，证明累积量LBM在捕捉相同波数特征方面具有可比的分辨率要求。此外，我们分析了在Re=1.0×10?和Re=1.0×10?等更高雷诺数下的不稳定性发展，为理解每种方法的数值特性提供了见解。HDT案例在此基础上进一步提供了关于每种LBM方法的尺度依赖性耗散特性的见解。结果表明，随着网格分辨率的降低，累积量LBM仍能保持合理的耗散，并且在非常粗糙的网格上至少可以稳定运行至Re=1.0×10?，证明了其在高雷诺数流动中的适用性。

引言

大量研究工作致力于发展精确的亚格子尺度（SGS）湍流模型。然而，尽管模型复杂度和计算成本不断增加[1]，但这种复杂性的提升仅略微改善了大涡模拟（LES）在实际工程流动中的预测能力。在众多的SGS模型中，Smagorinsky涡黏性模型及其变体仍被广泛依赖，尽管它在许多应用工程领域存在根本性缺陷[2]。使用显式SGS模型旨在考虑未解析尺度的物理特性。然而，由于这些模型通常是针对特定应用设计的，或者需要校准，因此不可避免地会引入一定程度的误差。LES在设计上至少解析80%的能量谱，因此可以采用另一种哲学思路，即接受某些尺度未被解析，并在数值格式本身中引入内在耗散机制[1]，这一概念通常被称为隐式LES（ILES）[3]、[4]、[5]。不同作者往往各自推崇LES或ILES作为最有效的方法，反映了该领域缺乏共识的现状。

这一争论在格子玻尔兹曼社区中同样存在，特别是在高雷诺数流动中，稳定性带来了额外挑战。我们将讨论范围限定在基于累积量的LBM上，其具有改善的稳定性特征[6]、[7]。尽管如此，在足够大的雷诺数下仍可能出现数值不稳定[8]。LES稳定化方法采用SGS湍流模型[9]、[10]、[11]、[12]、[13]，而ILES方法则使用累积量限幅器[6]、[8]、[14]、[15]、[16]。作者们往往基于其基本理念来为选择LES或ILES提供合理依据：要么是为了将物理（滤波尺度）与数值（网格尺度）分离，要么是认识到只要大尺度结构得以保留且遵循Kolmogorov级联，解就与耗散机制无关。因此，在LBM社区中，这些方法之间的直接比较仍然稀少，每种方法的相对优势和局限性尚未被记录。

在本研究中，我们使用D3Q27格子研究累积量LBM中LES和ILES方法的相对性能。考虑了两种SGS模型：Smagorinsky涡黏性模型[17]和QR最小耗散模型[18]、[19]，并与累积量限幅器[8]进行对比。模拟聚焦于三个雷诺数下的单模Kelvin-Helmholtz不稳定性（KHI）：Re=1.6×103、1.0×10?和1.0×10?，以及Re=1.0×10?下的各向同性衰减湍流（HDT）案例。

Kelvin-Helmholtz不稳定性出现在两个流体或流体层之间的界面上，两者之间存在相对运动[20]、[21]。在每个流体或流体层内，速度和密度分布保持连续；然而，界面处的急剧不连续产生了剪切力，从而诱发了涡度[20]、[21]。此过程激发了KHI，其中局部涡度作用使密度场趋于均匀化。这种KHI机制在许多应用工程领域普遍存在，如大气和海洋流动或等离子体物理。

单模KHI作为一个最小化测试案例：作为一个具有明确扰动增长的单一相干结构，它捕捉了代表良好解析LES中高波数特征的关键涡动力特性。此外，该案例在很大程度上独立于边界条件和强迫项等数值复杂性，这些复杂性可能引入虚假效应。HDT案例同样是经典问题，具有统计上的各向同性。两种构型中选择Re=1.0×10?，确保了物理黏性效应可忽略不计，从而能够评估数值耗散和LES模型的影响。每种累积量LBM公式的准确性和计算性能都进行了评估，为大雷诺数流动中累积量LBM的SGS动力学处理文献做出贡献。

本文结构如下。第2节详细介绍了使用累积量LBM进行高雷诺数模拟的数值方法。第3节讨论了Kelvin-Helmholtz不稳定性的一般特性，并介绍了Winant和Browand在Re=1.6×103下对KHI进行的实验研究[22]。第4节展示了单模KHI和HDT的计算设置、验证和数值结果。第5节讨论了每种累积量LBM方法在NVIDIA和AMD GPU上的计算性能。最后，第6节总结了我们的发现并提供了结论性评论。

章节节选

格子玻尔兹曼方法

格子玻尔兹曼方法基于介观尺度上离散粒子群体的统计力学，这些粒子群体保留了宏观系统的平均现象学特性[23]、[24]。动力学由离散的（在相空间和时间的）Boltzmann方程（公式(1)）控制，该方程追踪粒子群体的概率分布函数（PDF）f?(x, t)，描述其以离散速度c?从位置x移动至x+c?Δt的过程：f?(x+c?Δt, t+Δt) = f?(x, t) + Ω?(x,

Kelvin-Helmholtz不稳定性

如第1节所述，Kelvin-Helmholtz不稳定性出现在两个流体或流体层之间的界面上，产生剪切力并诱发斜压涡度[20]、[21]。最初，小尺度不稳定性主导流动，导致局部涡度聚集（参见图1中的A点），并卷挟周围流体（参见图1中的B点和C点），使扰动呈指数放大[37]。随着不稳定性的演化形成明确的

数值方法概述

本研究中比较的累积量LBM公式概述如表1所示。为简化表述，"AllOne"弛豫率指高阶弛豫率（ω?=ω?=ω?）为单位值的情况，遵循先前的研究[8]、[10]、[14]、[40]。同样，产生四阶扩散精度的弛豫率集合称为"最优"弛豫率。将限幅阈值设为λ=1×10?，实际上关闭了限幅功能，实现了纯

计算性能：单GPU基准测试

每种LBM公式的计算开销在NVIDIA A100 40 GB和AMD MI250X GPU上进行了评估。代码使用CUDA-12.0.1（NVIDIA）或HIP-ROCm-6.0.3（AMD）编译，并使用-O3 -march=native优化标志。此外，为NVIDIA A100基准测试设置了架构特定的-gencode=arch=compute_80,code=sm80标志。性能统计数据为五次运行的平均值，每次运行包含500个时间步，以每秒十亿格子更新（GLUPS）作为主要

结论

本研究使用D3Q27累积量格子玻尔兹曼方法，对LES和ILES哲学进行了比较，模拟了Re=1.6×103至Re=1.0×10?范围内的单模Kelvin-Helmholtz不稳定性，以及Re=1.0×10?下的各向同性衰减湍流。这些案例与以往的比较研究[8]、[10]、[13]、[14]、[15]、[40]、[41]不同，因为它们在很大程度上独立于边界条件和强迫项，同时与许多工程应用广泛相关。

求解器

CRediT作者贡献声明

Brendan Waters：撰写——初稿，可视化，验证，软件，调查研究，正式分析，概念构思。Bradley Pascoe：撰写——审阅与编辑，软件。Michael Kirkpatrick：撰写——审阅与编辑，监督，经费获取。Ben Thornber：撰写——审阅与编辑，监督，项目管理。

致谢

本文包含的研究得到了DMTC Limited（澳大利亚）的支持。作者已按照原始DMTC项目授予合作伙伴的知识产权编制了本文。

本工作得到国防科学与技术研究组的支持和资助。

本工作得到Pawsey超级计算研究中心Setonix超级计算机提供的资源支持，由澳大利亚政府和西澳大利亚州政府资助。

Brendan Waters | Bradley Pascoe | Michael Kirkpatrick | Ben Thornber

悉尼大学航空航天、机械与机电工程学院，悉尼，澳大利亚新南威尔士州，邮编2006