基于无数据物理信息神经网络的板统一弯曲分析

《Engineering Structures》：Unified bending analysis of plates via a data-free physics-informed neural network

　　

摘要：精确分析板弯曲在许多工程领域中至关重要。然而，由于涉及高阶偏微分方程（PDE）、各种材料属性（各向同性、正交各向异性和各向异性）以及多种边界条件（BC），该分析面临计算挑战。传统的数值方法，如有限元方法（FEM），需要进行域离散化，该过程可能耗时较长，而标准的物理信息神经网络（PINN）在处理高阶导数和灵活施加边界条件时力不从心。为解决这些问题，本文提出并系统地评估了一个基于深层Ritz方法（DRM）且硬约束施加基本边界条件的无数据PINN框架，用于全面的板弯曲分析。DRM基于最小势能变分原理将物理问题重构为能量最小化任务，该任务仅需低阶导数，而基本边界条件通过定制的边界函数精确满足。该框架在矩形板上跨所有三种材料类型和六种标准边界条件进行了验证，位移误差分别低于0.6%（各向同性）、1.1%（正交各向异性）和2.4%以内（各向异性），应变能精度相当。这些案例的训练在单块消费级GPU上始终在40秒内完成。我们进一步对四种PINN公式在各项同性板上进行了系统的2×2比较：弱形式（能量型）和强形式（PDE型）目标函数与硬约束和软约束（基于惩罚函数）边界约束相结合。该比较通过展示弱形式×硬约束公式同时达到最高精度和最短训练时间，且是唯一无惩罚公式（因其基本边界条件由构造精确满足，而变分原理本身强制自然边界条件）来支持公式选择。相比之下，三种基于惩罚的变体（弱形式的软约束，以及强形式×硬约束所需的自然边界条件惩罚）均表现出对惩罚权重的显著敏感性。此外，参数研究确立了该框架对网络架构和采样密度的鲁棒性。最后，该框架被应用于涉及非均匀板厚度、混合边界条件和非矩形几何（圆形、六边形、三角形和L形板）的扩展案例，证明了其在Kirchhoff板弯曲分析中的有效性。

引言：板弯曲分析对于跨多个工程领域的结构设计和评估至关重要，涵盖土木工程、机械工程和应用领域的航空航天领域[1]、[2]。该领域的一个主要困难在于精确建模板的机械行为，这随材料属性而变化。这需要涵盖各向同性、正交各向异性和各向异性材料类型的综合分析。在这些材料上求解板弯曲的高阶偏微分方程（PDE）并同时精确满足各种边界条件（BC）带来了显著的计算挑战。

传统上，板弯曲问题通过解析方法进行处理。这些方法提供了基本原理洞察，但其使用通常局限于具有简单几何形状和限制性边界条件的问题：解析解通常仅适用于具有两条相对简支边的矩形板[3]、[4]。为克服这些局限性，有限元方法（FEM）[5]、[6]、[7]和有限差分法[8]、[9]等数值工具应运而生，能够处理任意几何形状和边界条件。然而，它们共同依赖的域离散化过程通常耗时且计算量大，尤其是处理复杂材料行为或导出应力等高阶量时，这些量通常通过对分段近似进行数值微分来获得。

受深度学习在相关领域广泛成功的启发（例如[10]、[11]、[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]），研究人员越来越多地探索其在工程应用中求解挑战性PDE的使用。一个典型例子是物理信息神经网络（PINN）[24]，这是一种将控制物理规律直接嵌入神经网络训练过程的范式。PINN通过最小化复合损失函数来逼近解，该函数通常包含从PDE导出的物理信息残差项、强制边界条件的项，以及通常来自可用观测数据的数据保真项[25]、[26]。此外，PINN利用自动微分[27]、[28]有效地计算网络输出相对于输入坐标的所有必要导数，从而在域中一组采样的配置点上对PDE残差进行稳健评估。该方法提供了独特优势，包括无网格特性以及产生连续且可微分的解的能力，从而便于从解场中直接提取导出量，例如固体力学应用中的应变和应力。然而，对于由包含四阶导数的高阶PDE控制的复杂问题（如板弯曲），标准PINN面临挑战[29]。通过自动微分准确评估这些高阶导数计算量巨大，并可能导致训练不稳定[30]。此外，PINN常见的将基本（Dirichlet）边界条件作为损失函数中的软惩罚项施加的做法，仅能近似满足这些关键物理条件[31]、[32]。

在现有PINN变体中，深层Ritz方法（DRM）非常适合应对这些挑战。与传统的强形式PINN（在离散点上最小化PDE残差）不同，DRM建立在最小势能变分原理[33]基础上（类似于深层能量方法[34]）。该方法将整个物理问题重构为最小化单一能量泛函的任务。这种基于弱形式的公式计算上更有优势，因为能量泛函所需的导数阶数低于强形式PDE，从而缓解了与高阶梯度计算相关的数值不稳定[29]、[30]、[35]、[36]、[37]。同样的优势也扩展到空间变化的材料属性：能量泛函仅需位置相关刚度的逐点值，而强形式PDE残差则还需其空间导数。此外，变分框架简化了边界条件的处理。这由基本边界条件来说明，它们可以通过设计网络输出先验地满足它们来作为硬约束精确强制。然而，更大的优势在于自然（Neumann）边界条件，它们通常规定边缘上的力或通量：这些无需显式添加到损失函数中，而是作为能量最小化的结果自动满足。这种双重优势提供了比强形式PINN通常更为干净和统一的边界条件处理。尽管后者可以适应以硬约束强制基本条件（如参考文献[38]、[39]所示），但它们仍需显式管理自然边界条件。相比之下，DRM能更自然地容纳这两种类型的边界条件。

利用DRM的变分（弱形式）公式化以及通过硬约束边界函数精确强制基本边界条件（矩形和其他凸多边形板的因子乘积、圆形板的隐式形式，以及为单条边上的混合夹支-自由段和L形板上的凹角采用的R0析取运算符[40]），本工作提出了一个用于板弯曲分析的无数据PINN框架。此处，无数据意味着该框架仅依赖在配置点上评估问题物理，训练期间无需任何预计算的FEM或实验数据。与之前的研究相比，本工作的具体贡献如下：

1. 在各项同性板上对四种PINN公式进行系统比较。我们呈现了弱形式（能量型）与强形式（PDE型）公式结合硬约束与软约束（基于惩罚函数）边界强制的2×2比较。该比较表明，只有弱形式×硬约束公式是无惩罚的，因其基本边界条件由构造精确满足，而变分原理本身强制自然边界条件，且在四种公式中达到最高精度和最短训练时间。三种基于惩罚的变体（包括强形式×硬约束，其自然边界条件仍需软强制）均表现出对惩罚权重的显著敏感性，预测值随权重变化而相差数量级。这种联合评估在之前的板弯曲PINN文献中尚未报道，包括Li等人[36]，他们比较了基于PDE和基于能量的公式，但未系统改变边界条件强制策略。

2. 全面覆盖边界条件并硬约束目录。我们系统地处理了矩形板上所有六种标准边界条件（S-S-S-S、C-C-C-C、C-C-C-F、C-C-F-F、C-F-C-F、C-F-F-F），其中每个字母表示简支（S）、夹支（C）或自由（F）边。之前的板弯曲PINN研究[34]、[36]、[39]、[41]、[42]、[43]、[44]、[45]主要处理夹支或简支边界，而涉及自由边的组合受到有限关注。我们还处理了三种混合边界条件（C-C-CF-C、C-C-CF-CF、CFC-CFC-CFC-CFC），这些在板弯曲中尚未用PINN研究过。

3. 参数敏感性研究。我们系统地检查解精度对网络架构（深度、宽度）和采样密度的敏感性，确立了该框架对这些选择的鲁棒性。

4. 超出标准矩形板的扩展应用。我们将该框架应用于非矩形几何（圆形、六边形、三角形和L形板）、非均匀板厚度和三种材料类型（各向同性、正交各向异性、各向异性），扩大了先前PINN板弯曲研究的范围[34]、[36]、[39]、[41]、[42]、[43]、[44]、[45]。

本文其余部分组织如下。第2节介绍板弯曲分析的理论基础。第3节概述基于DRM的PINN框架，详细说明神经网络架构、损失函数公式化和硬约束的实现。第4节呈现数值结果和讨论，包括矩形板验证（4.1节）、公式比较（4.2节）、参数敏感性研究（4.3节），以及涉及非均匀板厚度、混合边界条件和非矩形几何的扩展案例（4.4节）。第5节以总结和未来方向结束。

第2节片段：重新审视矩形板弯曲。本节重新审视矩形板弯曲控制方程的推导，涵盖其在2.1节中的PDE形式，2.2节中包含内部应变能和外部功的能量泛函，以及2.3节中的常见边界条件。板几何、坐标系统和边界条件约定如图1所示。

基于深层Ritz方法的神经网络求解器。PINN提供了一种通过将物理规律纳入神经网络来解决PDE的深度学习方法。然而，PINN通常采用的强形式公式（直接最小化PDE残差）在应用于高阶问题（如各向异性板弯曲，公式(15)）时面临显著的计算挑战。这些挑战主要源于通过自动微分[27]、[28]准确计算高阶导数的需要，以及……

结果与讨论。在本节中，我们呈现并评估了基于DRM的无数据PINN框架在板弯曲分析中的性能。本文报告的所有训练运行均在NVIDIA GeForce RTX 4060 GPU上使用PyTorch执行。所有实验的默认网络架构（除非另有说明）包含一个具有两个神经元的输入层，后跟六个隐藏层（后文称为网络深度），每层包含20个神经元（后文称为网络宽度）。

结论。本工作提出了一个基于DRM的综合无数据PINN框架，用于板弯曲分析，包含系统的公式比较和广泛的验证。通过将高阶控制方程重构为变分能量最小化问题，并采用硬约束精确强制基本边界条件，该框架实现了高精度和计算效率。

本工作的主要发现总结如下：

1. 弱形式硬约束的优势……

作者贡献声明：赵阳：撰写—审阅与编辑，撰写—初稿，可视化，验证，监督，软件，资源，方法论，调查，形式分析，数据整理，概念化，项目管理。Lin Zhang：资金获取，验证，撰写—审阅与编辑。

利益冲突声明：作者声明不存在已知可能影响本文报告工作的竞争财务利益或个人关系。

致谢：Lin Zhang衷心感谢山东省自然科学基金一般项目（项目编号：ZR2026MS0001）和山东-重庆科技合作项目（项目编号：2024LYXZ019）的财政支持。

赵阳|Lin Zhang，新加坡国立大学机械工程系，新加坡117575，新加坡