基于数据增强的k-ω剪切应力传输湍流模型，通过场反演方法处理大质量分离流问题

《International Journal of Heat and Fluid Flow》：Data-augmented k-ω shear stress transport turbulence model for massive separated flow via field inversion

　　•针对大尺度分离流动，开发了一种基于数据增强的k-ω SST模型修正方法。•采用场反演技术来确定ω方程生成项的空间修正值。•通过符号回归方法，利用应变和旋转特征推导出简洁的分析修正公式。•改进后的SST模型能够更准确预测亚音速分离流动和壁面相关量。•该模型在附壁流动、超音速流动以及三维分离流动情况下均表现出良好的鲁棒性。

引言
随着航空航天科学和技术的飞速发展，数值模拟在飞机设计与制造中的作用日益重要。目前，计算流体动力学（CFD）领域主要有三种方法：雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）模拟、大涡模拟（LES）和直接数值模拟（DNS）。其中，RANS方法因其在计算成本和预测能力之间的平衡而广泛应用于工程领域（Shan等人，2023年；Rumsey等人，2020年）。然而，湍流的封闭问题是RANS方法固有的，这也是其广泛应用的关键因素（Spalart，2000年；Niloy，2026年；Ruiying和Jiequn，2022年；Durbin，2018年）。过去几十年来，关于湍流建模和湍流模型改进的研究众多（Biswas等人，2019年；Giosué等人，2024年；Sinyeob和Hyoung，2024年；Yan等人，2022年）。
典型的湍流模型可根据雷诺应力的处理方式分为两类：涡粘性湍流模型和雷诺应力模型。前者更为成熟且应用更广，它通过建立湍流剪应力与平均应变率之间的关系来构建雷诺应力封闭方程，从而使平均运动方程可求解（Boussinesq，1877年）。目前广泛使用的Spalart-Allmaras（S-A）模型和Shear Stress Transport（SST）模型属于涡粘性模型（Hiroyuki等人，2023年；Florian，2023年）。然而，几乎所有涡粘性模型都包含许多基于有限风洞数据或特定条件下实验数据校准的经验参数，这限制了这些模型在复杂流动中的适用性，尤其是含有大量流动分离、强烈逆压梯度、激波/边界层相互作用、大曲率流线及剧烈应变率变化的流动（Spalart和Venkatakrishnan，2016年；Duraisamy等人，2017年；Chao等人，2020年）。
为了解决这些问题，人们对涡粘性模型进行了多项改进。Spalart和Shur（Spalart和Shur，1997年；Shur等人，2000年）提出了一种基于S/Ω的经验修正策略，并将其与S-A模型结合。改进后的模型在含有旋转和曲率的流动中表现出更好的预测性能。受此启发，Smirnov和Menter（Smirnov，2009年）通过引入曲率修正函数来控制湍流动能（TKE）和特定耗散率，从而改善了模型的性能。Biswas等人（Biswas等人，2019年）开发了一种椭圆混合滞后k-ω模型，以提高近壁湍流行为和中等流动分离的预测精度。Suzen和Hoffmann（Suzen和Hoffmann，1998年）通过引入可压缩性效应（包括膨胀耗散和压力膨胀）增强了SST模型，使其能更全面地描述可压缩流动特性。尽管有这些改进，但传统的湍流模型改进方法仍需要深厚的相关物理过程和数学基础知识，这在实际应用中是一个重大挑战。
为了克服这一限制，机器学习的迅速发展（Tom，1997年）为湍流建模提供了新机遇，因为它能够从复杂的高维数据中提取模式（Kutz，2017年；Zhu等人，2019年）。此外，可以利用现有的高保真数据结合机器学习进行湍流建模，即数据驱动建模。Ladicky等人（Ladicky，无日期）设计了一种特征向量，可以直接模拟N-S方程中的各种力和约束，从而准确预测粒子位置和速度。Tracey等人（Tracey等人，2015年）使用神经网络对湍流模型的封闭项进行建模，并将其与数值模拟相结合。他们的结果表明神经网络能够很好地再现原始湍流模型，并暗示了替代传统封闭关系的可能性。近年来，越来越多的研究者将场反演和机器学习（FIML）应用于数据驱动湍流建模（Yi，2023年）。场反演技术可以从观测数据中推断出构建模块（以涡粘性为例，Wang，2010年），帮助湍流建模（Giles等人，2003年；Evensen，2018年）。Parish和Duraisamy（Parish和Duraisamy，2016年）提出了一种基于伴随场的反演框架，通过基于梯度的优化程序推断出空间变化的模型修正值。这种方法高效地为高维修正场提供了敏感性信息，从而提高了优化算法的可扩展性，优于有限差分或纯无导数策略。相比之下，Xiao和Cinnella（Xiao和Cinnella，2019年）提出了一种基于集成方法的更灵活的场反演策略，能够以概率分布的形式反映不确定性。Duraisamy等人（Singh和Medida，2017年；Singh和Duraisamy，2016年）建立了场反演和机器学习优化的框架，改进了湍流模型，使其预测结果更接近DNS和LES的结果。Rumsey等人（Christopher等人，2022年）在FUN3D中引入了场反演和机器学习（FIML）方法，以提高分离流动的预测精度。Yan等人（Yan等人，2022年）在FIML框架内使用人工神经网络（ANN）将流动特征映射到修正因子β(x)上，以提高S-A模型对分离流动的预测能力。他们的结果表明，改进后的模型在三维分离流动中的预测性能显著提升。Wu等人（Wu等人，2025年）开发了一种条件场反演技术，通过使用屏蔽函数保持了基线模型对附壁层的准确性，为数据驱动湍流建模提供了一种保持基线模型优势的方法。另一项研究中，Wu等人（Wu等人，2025年）将非局部效应纳入数据驱动湍流建模，为开发更具鲁棒性的数据驱动湍流模型提供了可能途径。
总体而言，以往的研究展示了机器学习的强大数据挖掘能力，可以应用于湍流建模。然而，大多数基于FIML的湍流建模研究集中在低速不可压缩流动上（Wu等人，2025年）。实际上，航空设计领域中的流动大多是高速可压缩流动，而非低速不可压缩流动。这些专为不可压缩流动和特定配置开发的湍流模型难以推广到更广泛的条件下，尤其是可压缩流动。更重要的是，很少有研究将流体的物理属性纳入湍流模型中，进一步限制了这些模型的通用性。本研究采用场反演和机器学习方法开发了数据驱动湍流建模，通过引入修正因子对ω方程的生成项进行修正。首先利用典型不可压缩/可压缩案例的高保真数据进行场反演，得到修正因子的空间分布，然后通过符号回归方法推导出修正因子与局部流动参数之间的关系表达式。具体而言，选择包含关键流体属性的输入特征进行符号回归。通过多个不可压缩/可压缩分离流动案例评估了改进后的模型，结果显示其在亚音速分离流动中的预测性能得到提升，在训练范围之外的超音速鲁棒性测试中也没有明显退化。本研究不仅验证了FIML在湍流建模中的可行性，还强调了纳入物理驱动输入特征对于开发具有更好鲁棒性的湍流模型的重要性。

本文结构如下：第2节简要介绍本研究采用的方法；第3节描述了基于标准k-ω SST湍流模型的场反演结果、符号回归过程及改进后的SST模型评估；第5节总结了主要结论。

标准k-ω SST湍流模型
本研究基于标准k-ω SST湍流模型进行了改进。Shear Stress Transport（SST）模型由Menter（Menter，1992年）提出，标准k-ω SST模型方程如下：
ρDkDt = ?·(ρDk?k) + ρPk - 2/3ρk(?·u) - ρβ?ωk + SkρDω
Dt = ?·(ρDω?ω) + ξcργGν - 2/3ργω(?·u) - ρβω2 - ρ
(F1-1)CDkω + Sω

在场反演过程中，考虑了三种不同的几何形态：弯曲后向台阶、二维凸起和三角翼。尽管这些几何形状较为简单，但它们的流动现象丰富，存在大量流动分离，能够反映湍流模型的性能。如2.2节所述，引入了修正因子ξ来修正特定耗散率方程的生成项。

基于场反演的符号回归
在前一节中，场反演方法用于提高模型对分离流动的预测性能。然而，场反演方法只能提供特定流场的修正因子空间分布，无法直接应用于其他流动。因此，需要建立局部流动参数与修正因子之间的映射，以推广湍流模型的修正效果。在本研究中，

结论性评论
本研究开发了一种改进的k-ω SST模型，以提高其在预测具有大尺度流动分离的不可压缩和可压缩流动方面的性能。设计并引入了一个修正因子到ω方程的生成项中以改善预测效果。通过场反演获得了弯曲后向台阶、二维凸起和三角翼情况下修正因子的空间分布。

作者贡献声明
Feng Qu：撰写——审稿与编辑、监督、资源提供。
Zeyu Wang：撰写——初稿、可视化、形式分析。
Jiaxiang Zhong：撰写——初稿、调查、形式分析、数据整理。

利益冲突声明
作者声明没有已知的财务利益关系或个人关系可能影响本文的研究工作。

致谢
本研究得到了国家自然科学基金（编号52272378、12272315、U22B20133和U2570217）的支持。

Feng Qu | Zeyu Wang | Jiaxiang Zhong