综述：一种用于随机复合材料热响应高效和高精度预测的小波神经网络方法

《International Journal of Heat and Mass Transfer》：A wavelet-neural network method for efficient and high-accuracy prediction of thermal responses in random composite materials

　　

## 摘要

由于传统数值方法计算成本高，高效预测具有复杂、随机且高度非均匀微观结构的复合材料的热响应仍然是一个挑战。现有的数值方法和数据驱动方法在计算效率、全场预测精度和数据效率之间仍存在平衡难题，尤其是针对具有尖锐材料属性对立的随机非均匀复合材料。本文提出了一种新型小波神经网络方法，实现了对随机复合材料温度场的高效高精度预测。首先，通过对广泛随机微观结构构型和材料属性的随机复合材料进行多尺度计算机建模和有限元仿真，建立了具有高维度和高度复杂映射的高保真数据库。本研究引入小波变换技术对原始大规模数据库进行预处理，从而实现数据降维、特征提取和噪声过滤。此外，采用优化的深度神经网络从降维后的数据建立预测模型。这些网络集成了三种技术：Squeeze-and-Excitation（SE）模块、空间注意力模块（SAM）和残差连接，与常规神经网络相比，提高了特征表示和预测性能。最后，通过大量数值实验验证了所提出小波神经网络方法的计算效率和精度。数值结果表明，在报告的计算硬件配置下，与有限元方法（FEM）相比，所提方法在二维情况下实现了约93至266倍的实时加速，在三维情况下实现了19至37倍的实时加速。在八个案例中，平均决定系数（R2）超过0.9988，相对L?误差保持在5%以下。在空间相关高斯输入噪声下，相对L?误差范围为0.28%至1.85%；在热导率参数3%高斯扰动下，在最大评估训练规模下，二维情况的误差保持在2%以下，三维情况的误差约为2.03%。总体而言，该框架为随机复合材料的数据驱动热预测提供了一种高效且准确的工具。其可扩展性和鲁棒性支持将其扩展到其他材料响应预测任务。

## 引言

复合材料在航空、航天、土木工程、汽车、核工业和电子包装等各种工程行业中发挥着至关重要的作用，是不为人知的幕后英雄[1]。与传统均匀材料相比，复合材料由两种或多种组分相通过物理或化学过程制成。其复杂且多尺度的微观结构赋予其优异的材料性能，使其在现代工程应用中不可或缺。随机复合材料是一类新型的非均匀材料，其特征为增强相在基体相中随机分布，如颗粒增强复合材料、纤维增强复合材料和纤维网络复合材料[2]、[3]。此外，已建立了基本的解析框架来确定此类材料的物理极限。早期工作应用涉及弹性极化张量的变分原理推导了任意相几何的多相材料有效模量的上下界[4]。随后，研究进展到微观结构的定量表征，利用统计描述符获得随机非均匀介质有效性能的改进上下界[5]。这些随机复合材料常被制造成机翼结构、发动机部件、电子设备外壳或支架、反应堆包容体，并常用于高温环境中。由于复合材料结构中各组分的热膨胀系数差异和结构不匹配，在不同工作负载下会发生不同的热分布，导致复合材料结构翘曲、开裂、分层甚至断裂。在实际应用中，高效准确的热响应预测是复合材料结构设计和优化的基本前提，数值算例支持了这一观点[6]、[7]、[8]。因此，开发一种计算高效且高精度的方法来预测随机复合材料的热响应具有重要的理论和实际价值。

与具有有序或周期性微观结构的传统复合材料不同，随机复合材料在微观尺度上表现出高度非均匀的排列，并且在不同空间尺度上具有随机变化的材料属性。随机复合材料固有的多尺度特性通常限制了传统实验和解析方法的有效性。由于随机复合材料的结构复杂性和性能分散性，实验获得的预测往往表现出很大的变异性，难以指导工程预测和设计。此外，随机复合材料热响应的实验预测涉及高昂的成本，昂贵设备和复杂的操作流程是导致成本高的驱动因素。为预测复合材料的热响应，研究人员提出了各种解析方法[9]、[10]、[11]。然而，大多数解析方法依赖于对随机复合材料微观几何构型的简化和理想化假设。虽然这些方法适用于预测宏观性能，但获得严格的解析表达式以准确求解具有随机增强相的复合材料中的全局温度场仍然是一个重大挑战。对于不同的复合样品，增强相在其空间位置、取向和几何分布上表现出高度的随机性。这种固有的随机性导致每个特定样品具有高度独特的温度场分布，使解析公式难以捕捉不同构型下的全场细节。为克服解析方法的局限性，在过去的几十年中，数值方法已成为模拟复合材料热响应的强大工具，如有限元方法（FEM）[12]、[13]、有限体积方法（FVM）[14]、有限差分方法（FDM）[15]、[16]、傅里叶变换方法（FTM）[17]、[18]和离散元方法[19]。近年来，多尺度方法已成功地开发并广泛应用于模拟复合材料的热响应，Kanoute等[20]在力学和热力学建模方面对此进行了全面综述。为专门解决材料分布中的固有随机性，Yu等[21]提出了一种统计二阶双尺度分析方法，而Tootkaboni和Graham-Brady[22]引入了多尺度谱随机方法用于均质化具有随机属性的复合材料。关于复杂几何构型，扩展多尺度有限元策略已被应用于三维编织复合材料[23]，并为颗粒材料开发了专门的多尺度框架[24]。最近，全局-局部富集函数等高级算法[25]已被引入，以进一步提高瞬态热载荷下高度非均匀介质的模拟精度。与经典数值方法相比，多尺度方法能够对复合材料中的多尺度问题实现高效且高精度的计算。尽管上述数值方法在模拟复合材料热传导问题方面取得了重大进展，但这些方法对于随机复合材料的实际应用表现出显著的限制。第一个缺陷是，这些数值方法需要针对不同具有不同几何形态和材料参数的随机复合材料代表体积元进行重复且耗时的模拟，消耗过多的计算资源。第二个缺陷是，这些数值方法对之前数值模拟获得的数据利用有限。这些限制在预测具有高度随机非均匀性的复合材料热行为时导致了极低的效率。因此，开发一种结合效率和可靠性以克服数值方法在随机高复杂度场景中局限性的新方法具有重要的理论和工程价值。

近年来，随着人工智能（AI）技术的快速发展，深度学习方法在预测复合材料材料性能方面展现出了巨大潜力。现有研究可大致分为两个方向：（I）等效材料参数预测；（II）材料响应预测。为预测等效材料参数，深度神经网络为近似微观结构特征与有效性能之间的复杂映射提供了一种高效替代方案。在力学性能领域，广泛的研究综述强调了AI在该领域的潜力[26]、[27]。例如，Gholami等[28]将有限元分析（FEA）与深度神经网络相结合，直接从微观结构图像中提取复合水凝胶的杨氏模量，而Ding等[29]开发了回归模型来预测纤维增强聚合物的宏观横向性能。除力学参数外，在预测热和传输系数方面也取得了重大进展。为应对复合材料的多尺度特性，Nguyen等[30]提出了一种将均质化技术与深度学习相结合用于混合气凝胶的框架。为应对材料不确定性，Liu等[31]、[32]开发了随机机器学习方法，预测碳纳米管增强复合材料[31]和石墨烯增强系统[32]的热导率，强调了模型的可解释性。此外，各种机器学习架构已被证明优于传统理论模型，用于估计多孔介质的等效热导率[33]和混凝土中的氯离子扩散系数[34]。然而，经典神经网络在数值效率方面往往面临挑战。为改进预测效率和精度，Dong等[35]、[36]提出了一种鲁棒的小波学习框架，用于预测具有空间双尺度或三尺度构型的复合材料的等效材料参数。通过引入小波变换，该方法在确定层级随机复合材料的非线性热导率[35]和宏观力学性能[36]方面实现了高预测效率和强泛化能力。

第二类方法旨在直接预测复杂的材料响应，如物理场和结构行为。在实际工程应用中，将复合材料布局准确映射到其物理响应是一个重要课题。关于力学和结构响应，Bhaduri等[37]采用U-Net架构来预测局部应力场作为多尺度有限元方法的代理模型，跨不同纤维密度传递知识。Kim等[38]提出了一种基于多尺度损伤分析数据训练的深度神经网络，以高效预测编织复合材料的完整应力-应变响应。对于更复杂的行为，Shim等[39]将卷积神经网络（CNN）与梯度加权类激活映射（Grad-CAM）相结合，分析再生复合材料的断裂机制，而Yang等[40]开发了一种深度学习方法，将微观结构与应力-应变场直接关联。关于热和耦合响应预测，这是本文的主要研究重点，Yang等[41]开发了一种基于深度学习的代理模型，将两相复合材料的温度场预测作为图像到图像的回归任务。类似地，Wang等[42]建立了有监督卷积神经网络，以预测变边界条件下多孔介质中的温度分布。此外，Shin等[43]通过引入热膨胀性能扩展了深材料网络（Deep Material Network），实现了耦合热-弹-粘塑性行为的预测，并促进了反向设计。现有基于小波的深度学习方法遵循几条不同的技术路线。多级小波卷积神经网络（MWCNN）将离散小波变换和逆小波变换分别嵌入到修改的U-Net的收缩和扩展路径中，主要针对通用图像修复任务[44]。基于多小波的算子学习（MWT）利用细粒度的多小波压缩算子核，并学习其在固定多小波多项式基上的投影[45]。小波神经算子（WNO）在小波域中对积分算子核进行参数化，以学习输入和解决方案函数空间之间的映射[46]。最近，U-WNO将U-Net路径和残差快捷连接引入小波算子层，以提高多尺度和高频特征提取[47]。本文提出的框架在波变换的作用和学习的映射方面与这些方法不同。小波变换既不作为可训练的算子层嵌入，也不在内部用于替代池化和上采样操作。相反，仅对输入热导率场离线应用一级Haar变换，并且在二维中仅保留LL子带，在三维中仅保留LLL子带。解码器中未使用逆小波变换。后续网络直接从压缩的材料属性表示重建全分辨率温度场。此外，输入是从有限元模型映射到规则背景网格上的完整热导率场，从而使随机微观结构几何和组分热性能被同时编码。因此，本研究引入了一种面向物理、跨分辨率的热导率到温度的代理框架，用于高对比度随机复合材料，而非提出新的小波基或新的通用小波神经算子。除传统卷积代理模型外，神经算子最近已成为学习参数化偏微分方程解映射的一个重要框架。深度算子网络（DeepONet）采用分支网络编码输入函数，采用主干网络编码输出查询位置，从而近似函数空间之间的非线性映射[48]。傅里叶神经算子（FNO）在傅里叶域中对积分算子核进行参数化，并实现了参数化PDE解映射的高效学习[49]。

更一般地，神经算子架构被表述为函数空间之间的映射，并且可以被设计为在不同离散化之间共享模型参数[50]。神经算子方法也越来越多地被应用于热学和传热问题。多保真度DeepONet已被开发用于学习声子Boltzmann输运方程并加速纳米尺度热传输中的逆设计[51]。DeepOHeat采用算子学习来预测在不同功率映射、材料导热系数、传热系数和边界配置下变化的三维温度场[52]。基于DeepONet的代理模型也被用于预测内部冷却通道中的压力和传热分布[53]，而物理信息深度神经算子已被引入用于辐射传热的代理建模[54]。本文方法之所以与这些研究相关，是因为其从导热系数场到温度场的目标映射也可以被解释为一种参数化解映射。然而，当前架构并非严格意义上的离散化不变神经算子。它是一种固定网格、跨分辨率的场到场代理，专门用于构建高对比度随机复合材料。小波变换被用来压缩具有尖锐材料界面的输入导热系数场，而优化后的U-Net重构出相应的全分辨率温度场。因此，本工作的贡献与通用神经算子方法是互补的，并专门聚焦于在所研究的离散化和物理设置下进行数据压缩、界面感知表示以及高效的全场重构。综上所述，深度学习方法在预测复合材料性能方面已取得了巨大成功。然而，必须强调的是，这些方法在实际应用中仍面临重大限制。首先，预测精度严重依赖于大量高质量的训练数据，而这些数据往往获取成本高昂或难度极大。其次，复杂网络架构的训练过程消耗大量时间和计算资源，尤其是在处理高维数据和随机复合材料高度振荡的映射时。因此，迫切需要开发新型深度学习框架，能够在最小化数据依赖和计算成本的同时，高效准确地预测热响应。为解决上述挑战，本研究提出了一种小波-神经网络方法，用于随机复合材料热响应的高效高精度预测。本研究的贡献主要体现在三个方面：第一，通过多尺度计算机建模与有限元仿真相结合的高分辨率背景网格技术，为随机复合材料构建了包含高维和复杂映射的高保真数据库。该方法能够从复合材料中精确提取几何和材料属性信息，这对于后续的监督深度学习过程至关重要。第二，本研究引入小波变换技术，对随机复合材料材料数据库中的原始大规模数据进行多尺度分解、降维、特征提取和噪声过滤。数值实验表明，使用小波变换后的数据训练深度神经网络不仅能显著减少训练时间，还能保持预测精度。第三，我们建立了一个优化的小波-神经网络框架，以经典U-Net架构作为基础模型。该框架集成了三项先进技术：压缩-激励（SE）模块、空间注意力模块（SAM）和残差连接。这些技术共同增强了预测模型的特征提取、表示和泛化能力。实验结果表明，小波-神经网络方法仅需25%的训练数据，即可达到与经典U-Net模型相当甚至更高的预测精度。这一显著优势大大降低了预测模型对大规模训练数据的依赖，在数据获取困难或实验成本高昂的实际应用场景中尤为宝贵。总之，本研究为随机复合材料热响应的高效、高精度、低成本预测提供了一种新的小波-神经网络方法。本文其余部分安排如下：第2节介绍随机复合材料的计算机建模以及随机复合材料热传导问题的数学模型。此外，我们构建了一个监督式场到场预测问题，将空间导热系数张量映射到随机复合材料相应的温度场。为克服数据稀缺问题，开发高保真有限元方法和高分辨率背景网格技术来建立覆盖广泛不同微观结构和材料属性的随机复合材料高保真数据库。在第3节中，开发了可扩展且稳健的小波-神经网络框架来学习固定网格的导热系数到温度映射，从而建立用于随机复合材料热响应高效高精度预测的预测模型。为提高训练效率，在提出的深度学习框架之前应用离线小波变换预处理。第4节通过广泛的数值实验展示了所提出小波-神经网络方法的计算效率和精度。最后，第5节给出了结论和未来研究方向。各章节概览：计算机建模与数学模型（针对随机复合材料）：本节实施计算机建模并建立预测随机复合材料热响应的数学模型。首先，详细提供了所研究随机复合材料的计算机建模，涉及随机颗粒增强复合材料和纤维增强复合材料。其次，提出随机复合材料热传导问题的数学模型并将其表述为一个新颖的算子学习问题。第三，建立高保真数据库。小波-神经网络方法：本节详细介绍了小波-学习方法的建立过程，并说明其在训练随机复合材料热响应预测模型中的实施。数值实验：本节通过一系列数值实验评估所提出小波-神经网络方法的计算性能。评估分为三个部分：（1）小波-神经网络方法的性能评估；（2）小波-神经网络方法与无小波方法在预测精度和计算效率方面的比较；以及（3）在两种不确定性设置下的稳健性评估，即带高斯扰动的设置。结论与展望：随机复合材料复杂的微观结构形貌和高度异质性组成使得精确的温度场预测极具挑战性。本研究提出了一种新颖的小波-神经网络框架，实现了随机复合材料温度场的高效高精度预测。该框架集成了三项关键技术：多尺度数值仿真、小波变换和深度神经网络。本工作的主要贡献在于三个方面：CRediT作者贡献声明：郝东：撰写-初稿，验证，方法论，调查，形式分析，概念构思。陆毅亨：撰写-审阅与编辑，撰写-初稿，可视化，监督，方法论，数据管理。凌家良：验证，监督，软件，方法论，资金获取，数据管理。聂云峰：验证，方法论，调查，资金获取，数据管理。崔俊智：监督，软件，资源，调查，形式分析。利益冲突声明：作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。致谢：作者衷心感谢国家自然科学基金（编号12471387）、陕西省自然科学基础研究计划（编号2026JC-YXQN-017）、西安电子科技大学交叉探索专项基金（编号TZJH2024008）、中央高校基本科研业务费（编号QTZX25082）、陕西省创新能力支持计划（编号2024RS-CXTD-88）以及高性能计算中心的支持。郝东 | 陆毅亨 | 凌家良 | 聂云峰 | 崔俊智，西安电子科技大学数学与统计学院，中国西安 710071