复数域方法用于可逆数据隐藏和同态加密：通用框架及其在分散数据中的应用

《Journal of Information Security and Applications》：Complex domain approach for reversible data hiding and homomorphic encryption: General framework and application to dispersed data

　　

## 摘要

确保来自分布式和资源受限环境（如无线传感器网络或物联网设备）的数据可信至关重要。现有的用于标量数据的可逆数据隐藏（RDH）方法存在嵌入容量低以及宿主数据与水印之间固有纠缠性差的缺陷。本文提出了在复数域中进行数据加密的可逆数据隐藏（H[i]dden）框架，这是一种基于复数运算的新型框架，可同时实现信息嵌入与加密。H[i]dden框架具有完美可逆性、与宿主数据范围解耦的高可扩展水印容量以及固有的数据-水印纠缠特性。本文还提出了两种协议：H[i]dden-EG，用于联合可逆数据隐藏与加密；H[i]dden-AggP，基于部分同态加密，用于水印数据的隐私保护聚合。与近期最先进的基线方法的严格对比评估表明，该框架显著扩展了嵌入容量，并在假数据注入（FDI）抗性方面实现了指数级提升——在标准配置下提升幅度从10^5到10^19——有效中和了同态注入攻击等针对性结构漏洞。此外，实证性能分析——包括与硬件无关的密码学指标和直接的物联网边缘硬件仿真（ESP32）——证实了该框架在标准传感器占空比下的实际部署可行性。最终，这些协议为数据完整性、数据来源（或在聚合情况下为组级别完整性）和机密性提供了高效且具弹性的解决方案，为基于复数域代数属性的新型方案奠定了基础。

## 引言

数字数据的无处不在的生成和广泛应用是现代时代的重要特征。从庞大的物联网（IoT）设备和工业传感器网络，到复杂的智慧城市基础设施和关键医疗系统，数据驱动决策制定、实现流程自动化，并促进了前所未有的互联水平。这种对数据的依赖——数据通常采集自分布式且可能存在漏洞的环境——与其可信性密切相关[1]。确保信息的机密性、完整性、真实性和隐私性已成为重中之重，因为受损的数据可能导致错误结论、系统故障以及严重的隐私或安全泄露[2]。

在这一复杂的数字环境中，可逆数据隐藏（RDH）[3]、[4]的概念作为一种专门且日益流行的数据安全方法应运而生。RDH涉及将秘密信息（即"水印"）直接嵌入宿主数据项中，使得在水印提取之后，原始宿主数据可以被完美且精确地恢复至原始状态。这一独特特性——将数据嵌入与保证可逆性相结合——使RDH适用于医疗影像、法律文件和军事情报等敏感应用，在这些应用中，原始数据的任何永久性改变都是不可接受的。与主要确保机密性的传统数据加密不同，RDH专注于在数据本身内提供固有的完整性、真实性和来源追溯性。

在个体、标量或时间序列数值数据的背景下，例如源自无线传感器网络（WSN）[5]、物联网设备[6]或关键金融和医疗监测系统[7]的数据，RDH提供了独特的优势。首要优势在于其能够在单个读数或序列观测的细粒度上确保健壮的数据完整性和真实性。通过嵌入可提取和验证的水印，接收方（例如WSN中的数据收集器）可以确认数据源自合法来源且未在传输过程中被篡改。这种固有的促进数据来源和可追溯性的能力尤其有价值，允许在分布式且通常资源受限的环境中对数据来源和处理路径进行取证分析。

除了这些普遍优势之外，在某些场景下，RDH相比其他常用的安全原语具有独特的优势。与密码散列或数字签名不同，后者通常将独立的认证标签或签名附加到数据中，RDH将完整性验证机制直接嵌入数据本身。这简化了数据处理并确保完整性证明与内容一起传递。传统加密确保机密性，但不直接提供数据完整性；而物理不可克隆函数（PUF）[8]专注于设备认证而非数据完整性。RDH独特地将内容依赖的完整性（通过水印验证）与保证完美原始数据恢复的能力相结合，这是单向散列函数或不可逆认证标签所不具备的特性。这种固有的嵌入在受限环境或需要避免追加额外元数据的专用数据格式中尤为有益。

从实现角度来看，基本的RDH技术通常相当轻量，需要最少的计算资源。这一特点对于在资源受限设备（如低功耗传感器）上进行部署尤为有用。然而，需要指出的是，这种"轻量级"优势主要适用于简单、未加密的RDH方案。当RDH与高级密码学原语结合使用时，例如本文探讨的同态加密方案，计算开销显著增加，密码学操作成为主导因素。尽管如此，这种组合所提供的增强安全性和隐私性通常能够证明这种增加的复杂性是合理的，满足了安全可信数据生态系统的关键需求。

尽管具有这些优势，现有的用于个体或分散数据的RDH技术在高安全场景中仍存在显著局限性，即嵌入容量低。通常，这些方法仅允许每个数据样本嵌入1比特甚至更少（差值扩展方法通常如此）。这种低容量严重限制了篡改检测的粒度以及对独立单个数据项完整性保证的强度。例如，如果仅在单个测量值中嵌入1比特，攻击者随机猜中正确比特的概率为1/2，提供的保护非常薄弱。虽然安全性随样本数量增加而扩展，使得在足够数量的测量M时欺骗检测的概率可以忽略不计（例如2^-M），但当测量频率或独立数据点的总数较少时，这种聚合保护并不健壮。这揭示了当前RDH在真正强大的个体数据项完整性方面针对稀疏或低频场景的能力差距。

在密码学领域的并行发展中，同态加密（HE）[9]已成为一项变革性的数据隐私技术[10]。HE方案允许直接在加密数据上执行计算而无需解密[11]。此类计算的输出为加密结果，解密后与在未加密数据上执行计算的结果完全相同。这一特性使得不可信的第三方（如云服务器）能够处理敏感信息，同时确保数据在整个生命周期中的机密性得到完全保护。

虽然HE被广泛应用于解决云计算中的隐私挑战，但其原理可以与其他安全原语集成以实现更复杂的安全目标。例如，将RDH等数据完整性机制与HE在加密数据上操作的能力相结合，可以创建同时保证机密性、真实性和数据完整性的协议。这种强大的协同效应在既需要在数据处理过程中保护隐私又需要证明数据来源和完整性的系统中尤为相关，为构建更健壮、更可信的数据生态系统奠定了基础。

本文介绍了一种新型RDH与加密框架，利用复数域（高斯整数）的代数特性。该方案称为在复数域中进行数据加密的可逆数据隐藏（H[i]dden），从根本上解决了现有RDH技术应用于个体、标量或分散数据时的关键局限性。与仅在低位位置附加或隔离隐藏比特的方法（例如基于模数的方案）不同，H[i]dden利用复数运算将原始数据与水印纠缠在一起，提供更丰富的嵌入空间并确保更大的篡改检测容量。

本文的主要贡献总结如下：

- 一种新型核心复数域可逆信息隐藏方案，用于个体数据，提供固有的数据-水印纠缠、完美可逆性以及与宿主数据范围解耦的高可扩展水印容量。
- 核心H[i]dden嵌入方案在聚合数据上的独特应用，该方法为个体数据项准备隐私保护和高效的水印数据求和，同时保持可提取性。
- 在H[i]dden-EG协议中对ElGamal加密向高斯整数的新型扩展应用，为个体数据点提供联合可逆信息隐藏与加密。
- 对复数域数据进行Paillier加密的分量级新型应用，建立了隐私保护的加法同态以实现安全聚合。
- H[i]dden-AggP协议，基于分量级Paillier应用，实现来自多个来源的联合可逆信息隐藏、加密和隐私保护数据聚合。
- 与最先进的标量RDH-HE方案的全面对比评估，展示了在FDI抗性方面高达十九个数量级的安全提升（在合理设置下），同时在物联网边缘设备（ESP32）上具有实用的硬件级可行性。

通过上述贡献，本文展示了一种新范式，即将认证信息可逆地直接嵌入敏感数据中，在保持完美宿主数据可逆性的相关特性的同时提供强大的密码学保护。需要注意的是，H[i]dden-EG协议为个体读数提供严格的逐节点溯源，而H[i]dden-AggP协议旨在优先保证组级别完整性和可扩展的同态聚合，有效保护聚合数据集免受结构性篡改。

本文其余部分组织如下。第2节提供RDH和HE的必要背景知识。第3节详述了针对个体和聚合数据提出的复数域可逆水印方案。第4节介绍了ElGamal和Paillier加密向复数域的扩展。第5节详述了分别用于联合水印与加密以及聚合的H[i]dden-EG和H[i]dden-AggP协议。第6节提供了所提协议的全面形式化安全和隐私分析。第7节呈现了与最先进基线的严格性能与对比分析，评估了嵌入容量、密码学复杂性、结构安全性和实际的物联网边缘可行性。最后，第8节总结全文并概述未来研究方向。

## 2 背景

本节提供了理解所提框架所需的基础概念和相关工作。本工作的核心位于两个不同但互补的研究领域之间：RDH和HE。RDH为在数据中嵌入信息以实现完整性和来源追溯提供了强大的机制，而HE则提供了在加密数据上执行计算的独特能力，从而确保机密性。以下各节详述了相关的

### 2.1 复数域上的可逆水印方法

本节介绍了一种可用于孤立数据测量（例如智能电表读数或传感器数据）的可逆水印方案。

### 2.2 复数域上的同态加密

本节介绍了ElGamal和Paillier密码体制向复数域数据的扩展。首次在高斯整数中扩展ElGamal加密[25]的工作，需要对密码体制的数学基础进行仔细审视。标准ElGamal密码体制的第一个构建模块是素数p对应的乘法循环群Z_p^*，以及该群的一个生成元g。在高斯整数的情况下，我们需要在Z[i]中有一个素数π，以及一个

### 2.3 复数域上联合水印与加密的协议

本节介绍了在复数域中进行数据加密的可逆数据隐藏（H[i]dden）框架，这是一种旨在同时将信息（水印）嵌入数据并对其进行加密的新型方法。在该通用框架内，我们详述了两种针对不同应用场景并利用不同同态特性的独立协议。

第一种协议称为H[i]dden-EG，使用高斯ElGamal加密为个体提供联合水印与加密。

## 6 形式化安全与隐私分析

在本节中，我们对所提协议进行形式化定理证明评估。我们通过严格的密码学证明，展示了H[i]dden框架对第5.1.3节定义的攻击模型的抗性。

## 7 性能与对比分析

在本节中，我们提供H[i]dden框架与最相关的结合可逆数据隐藏（RDH）和同态加密的最先进协议的严格对比评估。据我们所知，关于在分散式物联网环境中专门针对个体、常规整数标量值数据的RDH与部分同态加密联合应用的研究文献非常有限。目前，P3HF高频方案[18]

## 8 结论

本文介绍了在复数域中进行数据加密的可逆数据隐藏（H[i]dden），这是一种在复数域中独特运行的新型RDH框架。

通过复杂数运算内在地混合数据和水印，H[i]dden 方法提供了完美的可逆性，并实现了高度可扩展的水印容量，该容量在代数上与宿主数据的范围解耦，直接解决了现有随机分散隐藏（RDH）技术在个体化和分散化方面的关键局限。

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利益冲突声明：作者声明以下可能被视为潜在利益冲突的财务利益/个人关系：David Megías 报告称获得了西班牙科学与创新部提供的资金支持。David Megías 报告称获得了网络安全国家研究院提供的资金支持。David Megías 报告称获得了下一代欧盟计划及复苏、转型和韧性计划提供的资金支持。

David Megías，UOC-TECH 研究中心，计算机科学、电信与多媒体学院，加泰罗尼亚开放大学（UOC），加泰罗尼亚网络安全研究中心（CYBERCAT），Rambla del Poblenou 154 号，巴塞罗那，西班牙 08018