不同厚度圆柱与圆锥连接处的疲劳设计

《Marine Structures》：Fatigue design of cylinder-to-conical junctions with different thicknesses

　　

摘要：圆柱 - 圆锥连接处是海上结构中常见的结构细节，疲劳设计标准中规定的分析应力集中系数（SCF）在设计的所有阶段都被广泛应用。这些分析公式基于壳理论，由于传统轴对称壳理论未能正确考虑连接处筒壁厚度的变化，因此对于变化的壁厚引入了一些不准确性。因此，本文通过有限元模拟研究了不同筒壁厚度的圆柱到圆锥连接处的 SCF。将数值结果与相关疲劳设计标准提供的分析设计公式进行比较。研究表明，这些公式应谨慎使用，因为对于某些壁厚和直径的组合，它们可能会产生非保守结果。为了支持实际工程应用，本报告包含一组查找表，能够高效且更准确地确定具有厚度过渡的圆柱 - 圆锥连接处的 SCF。

1. 引言
导管架和单桩结构是最普遍的底部固定式海上风电基础 [2] 之一。为了优化结构并减少钢材消耗和总体成本，设计师通常引入圆锥筒体以促进管段之间的直径过渡。在管段和圆锥筒体的交汇处，形成了圆柱到圆锥的连接处，代表了疲劳关键细节。特别是海上风电结构在其整个服务寿命中承受显著的循环载荷 [3]，使得基于结构热点应力 [4] 的疲劳评估成为设计的重要组成部分。在计算 SCF 方面，针对管接头进行了大量研究 [5]；然而，圆柱到圆锥接头受到的关注显著较少。因此，工程实践中的疲劳评估主要依赖于从壳理论派生的有限一组分析方程 [6], [7]。
应用经典壳理论提供了一种有效的方法来描述圆柱到圆锥连接处的结构行为。在此框架下，圆柱壳中远离连接处的名义应力在连接处引起了局部膜应力和弯曲应力的组合。这些应力与挠度、旋转以及力和力矩的不连续性有关。然后，使用关节处的最大结构应力（包括名义和弯曲应力分量），结合适当的 S-N 曲线和尺寸修正因子 [2], [8]，来确定疲劳损伤。在疲劳设计标准中，如 DNV-RP-C203 [1] 和 DIN-18088-3 [9]，包含了不同的 SCF 公式。这些公式的背景由 Ku 和 Chen [6] 详细讨论。然而，这些分析公式包含简化，因为传统壳理论不能无缺陷地考虑连续的厚度变化，见例如 Flügge [10]。
对于具有不同筒壁厚度的圆柱 - 圆锥连接处，有两个显著影响热点处应力的效应：从圆柱到圆锥的不均匀膜力流，以及由于厚度过渡引起的弯曲应力，后者通常以 1:4 的坡度制造。Lotsberg [7] 提出了考虑厚度差异存在的 SCF 方程；然而，由于倾斜厚度过渡引起的弯曲效应未明确包含在内。Lotsberg 仅建议将厚度过渡放置在大直径连接处的外侧，且圆锥比圆柱厚，以及小直径连接处的内侧，因为这将对抵消连接处不平衡膜力产生的弯曲应力。因此，厚度过渡引起的弯曲应力和圆锥引起的弯曲应力变得减小甚至相互抵消。然而，具有厚度变化的连接处的结构行为相当复杂；因此，第 3 节进行了基于壳理论的详细讨论，以更好地理解主导机制及其对最优设计的影响。
根据这一讨论，结论是在大直径连接处将厚度过渡放置在圆锥的外侧，在小直径连接处放置在内侧。在海洋工程中，小直径连接处和大直径连接处的术语特指管的外径。例如，单桩的圆锥部分通常在桩顶附近有小直径连接处，在圆锥部分末端有大直径连接处，通常位于泥面附近。那些连接处的推荐布置如图 1 所示。应注意，下方的草图并不代表真正额外的情况；它们只是将上方的草图旋转了 180 度。
图 1. 大直径和小直径圆柱到圆锥连接处的轴对称图示，包括圆锥壁厚大于和小于管壁厚的配置。

2. 应力集中系数
2.1. 已建立的分析关系
在疲劳评估中，结构应力概念在设计中被广泛应用，因为它不需要事先详细了解局部焊趾几何形状 [4]。如果详细建模焊趾轮廓，这会导致通过厚度的非线性应力分布。结构应力方法的主要目标是排除由焊趾产生的非线性应力峰值。与焊趾相关的这些缺口效应本质上已在实验建立的 S-N 曲线和适用的厚度修正中得到考虑 [4]。因此，在结构应力的定义中，仅考虑膜应力 σm 和线性（壳）弯曲应力分量 σb。
圆柱到圆锥连接处应力集中系数的一个特殊特征是，它们总是相对于管的名义膜应力 σm,1 来定义的。这种惯例特别实用，因为管的名义应力保持恒定，而圆锥的名义应力则不然。在下文中，明确区分与管相关的量以及与圆锥相关的量非常重要。指代管的量用下标 1 表示，而指代圆锥的量用下标 2 表示。因此，连接处管侧的结构应力集中 σhs,1 由以下关系定义 [7]：
(2.1) σhs,1=σm,1+σb,1=1+σb,1σm,1σm,1=SCF1σm,1
因为圆锥侧的结构热点应力 σhs,2 同样与管的名义应力 σm,1 相关，相应的 SCF 定义如下 [7]：
(2.2) σhs,2=σm,2+σb,2=σm,2σm,1+σb,2σm,1σm,1=SCF2σm,1
最近的设计标准包含了一些分析方程，用于确定圆柱到圆锥连接处的结构应力以进行疲劳评估。这些已建立的方程取决于管厚度 t1、管外径 D、圆锥角α和圆锥厚度 t2。在实践中，以下方程特别重要，它们包含在几个技术标准中，如 DNV-RP-C203 [1] 和 DIN-18088-3 [9]：
(2.3) SCFDNV=max(SCF1,S,SCF2,S)
(2.4) SCF1,S=1+0.6t1D(t1+t2)t12tan(α),SCF2,S=1+0.6t1D(t1+t2)t22tan(α)
因子 SCF1,S 用于圆筒体，SCF2,S 用于圆锥筒体。这些方程的详细讨论见 [6]。根据这些方程，较薄的构件始终控制连接处的设计。可以指出的是，例如 DIN-18088-3 [9] 允许在没有进行更精确计算的情况下使用这些公式。
最近，Lotsberg [7] 开发了一套新的 SCF。这些方程基于管壳理论，连接处管侧的应力增加表示为：
(2.5) SCF1,+=1+6ζle1t1andSCF1,?=1?6ζle1t1
参考方程 (2.1) 中的定义，方程 (2.4), (2.5) 的相应第二项量化了由于弯曲应力引起的增加或反之减少。对于位于圆锥侧的热点，推导出了以下公式：
SCF2,+=ηζ?λ?le1le2tan(α)+1cos(α)+6ζle1t2t1t2(2.6)
SCF2,?=ηζ?λ?le1le2tan(α)+1cos(α)?6ζle1t2t1t2
其中参数ζ,η,λ,let,lec 来自 [7]，为了完整性，在本节末尾给出。比较方程 (2.5), (2.6) 揭示了圆锥的 SCF 表达式要复杂得多，反映了不均匀的膜力流。这种复杂性源于方程 (2.2) 中的膜应力项。在 [7] 中，使用管 N1 和圆锥 N2 的正向力推导出了以下膜应力关系：
(2.7) σm,2σm,1=N2t2N1t1=ηζ?λ?le1le2tan(α)+1cos(α)t1t2
这一项主要源于连接处圆锥侧和管侧之间横截面尺寸的失配。总之，值得注意的是，目前行业在海陆基础结构设计中，也使用这些 SCF 来处理由施加外部力矩产生的梁型弯曲应力 [11]。
ζ=ψλ(2κ+2)?κ?tan(α)(2κ+2)(ηψ??)
η=12?leccos(α)2κlet
?=leccos(α)2κlet+letsin(α)tan(α)+cos(α)2lec?νrkstEt2let2lecsin(α)
λ=tan(α)2+νrkstElet31t1?1t2
ψ=sin(α)tan(α)+cos(α)κlet?lec(2κ+2)lec
κ=letlec?ksckst
kst=Et1312(1?ν2)
ksc=Et2312(1?ν2)
let=r1t13(1?ν2)4
lec=r2t23(1?ν2)4
3. 有限元分析
本节展示了一系列用于研究圆锥侧和连接处管侧活动力矩之间关系的 FE 分析。在此基础上，评估第 2 节的 SCF 并将其与数值结果进行比较。
图 2. FE 分析中考虑的参数化圆柱到圆锥连接处。
3.1. 圆柱到圆锥连接处的建模
为了通过 FE 建模圆柱到圆锥连接处，使用 1:4 的锥度开发了一个轴对称参数化模型。根据圆锥或管哪个是较薄的组件，应用两种不同的参数化。这些配置如图 2 所示。在此图中，显示了两个路径，用于在下文中读取相应连接处管侧和圆锥侧的厚度方向应力。使用厚度方向应力路径作为讨论的起点是方便的，因为它们简洁地捕捉了连接处的应力如何依赖于圆锥壁厚。FE 模拟使用广义胡克定律，泊松比ν为 0.3，杨氏模量 E 为 210 000 MPa。为了准确捕捉应力，使用了 Ansys 单元库中的二次轴对称 Plane183 单元。FE 模型使用 Ansys 参数化设计语言 (APDL) 生成，结果由 Python 脚本后处理。
讨论从圆锥壁厚超过管壁厚的连接处开始，如图 2 左侧所示。为了分析这种设计选项，FE 分析使用恒定的管厚度 45 mm 和外径 1290 mm 进行。连接处承受施加在圆筒体上的 100 MPa 名义应力。为了确保边界条件不影响解，应用了壳理论。根据 Ventsel 等人 [12]，如果齐次解在一个边界上实际上不再影响另一个边界，则圆柱壳被称为长圆柱。为了确定长度为 L 的圆柱是否可以视为长圆柱，Ventsel 等人 [12] 推导出了以下标准：
(3.8) L>33(1?ν2)4r1t1≈2.3r1t1
FE 模拟配置使得该标准始终被大幅超过。圆锥定义为角度α为三度，以及变化的圆锥厚度 t2，范围从 45.8 mm 到 56 mm。此处概述的参数研究代表了典型的导管架尺寸。各自 FE 模型的几何形状以及产生的第一主应力场如图 3 所示。从 FE 结果中使用平行于连接处管侧和圆锥侧各自评估路径表面的局部坐标系提取厚度方向应力σ11,1 和σ11,2。这些提取的应力显示在图 4(a) 和 4(c) 中。
图 3. 圆锥壁厚参数化变化的第一主应力场，保持管壁厚恒定，用于小直径圆柱到圆锥连接处。
弯曲和结构应力通过应力线性化手段从厚度方向应力分布中确定，使用商业 FE 软件中包含的轴对称模型理论 [13]。该线性化过程的结果在图 4(b) 和 4(d) 中给出，分别对应于管侧和圆锥侧的相应热点。
这些图表说明了两个发现：(1) 管中的膜应力独立于圆锥厚度，且 (2) 连接处管侧的设计驱动弯曲应力随圆锥厚度增加而减少。第一个结果与分析理论一致，见例如 Ku 和 Chen [6]。然而，通过增加圆锥来减少弯曲应力是出乎意料的，因为它未被 SCF 公式预测。这种现象将在下一节详细讨论和解释。为了更彻底地调查这种应力减少的原因，先前展示的数值结果使用轴对称壳理论进行分析。
图 4.

较厚锥段与恒定直径管段连接处的接头厚度方向应力线性化。
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图 5. 用截面力和力矩描述的管 - 锥接头自由体图。
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图 6. 接头的详细自由体图，说明了与截面力相对应的应力。
3.2. 基于壳理论的圆柱 - 锥形接头应力理论考量
为了理解图 2 所示设计的数值结果，考虑轴对称壳理论是有益的。以下分析表明，壁厚变化会引入额外的项，在确定各自的弯矩时必须予以考虑。这些项并未在既定的解析方程中考虑。修正方程基于以下推理过程推导得出：
1. 构建管 - 锥形焊缝的自由体图，截面分别位于管端和锥段起始处，如图 5 所示。公式不使用直径，而是用半径来表述壳理论方程。接头管侧由半径 $r_1$ 描述，而锥侧由半径 $r_2$ 描述。
2. 接着，引入所有相关的截面力，包括面内剪力 $Q_1$ 和 $Q_2$、法向力 $N_1$ 和 $N_2$ 以及面内弯矩 $M_1$ 和 $M_2$。下标 1 和 2 分别表示管和锥切割面上的截面力。由于厚度过渡，管和锥的中面不再重合。管和锥中面对应的距离由向量 $\vec{\Delta}=(\Delta x,\Delta y)$ 描述，该向量从接头的锥侧延伸至管侧，如图 2、图 5 所示。
3. 截面力转化为相应的应力，这是为了建立管 - 锥接头力矩平衡方程所必需的。为此，我们考虑接头的一个微小段，该段是通过将参数化设计旋转任意角度 $d\phi$ 创建的，如图 6 所示。在表面标记为 $S_1$ 的管切割面上，以及在表面标记为 $S_2$ 的锥切割面上，经向应力 $\sigma_{11,1}$ 和 $\sigma_{11,2}$ 分别作用在微分面元 $dA_1$ 和 $dA_2$ 上。遵循标准壳理论惯例 [10], [12]，这些面元由主曲率定义。管的主曲率由半径 $r_1$ 给出，而对于锥，主曲率由 $r_2/\cos(\alpha)$ [12] 给出。对图 6 应用力矩平衡原理，得出以下接头方程：
(3.9) $\int_{S_2}\sigma_{11,2}z dA_2 = \int_{S_1}\sigma_{11,1}z dA_1 + \int_{S_1}\Delta y \tau_1 z dA_1$
其中，微分面元 $dA_1$ 和 $dA_2$ 如图 6 所示。
微分面元包括锥和管的单元弧长，定义为 $ds_2=r_2 d\phi$ 和 $ds_1=r_1 d\phi$。设 $M_2$ 和 $M_1$ 分别表示锥和管每单位弧长的力矩，且均参考锥的中面；则前一个方程可以重写为以下形式：
(3.10) $ds_2 M_2 = ds_1 M_1 + ds_1 \Delta y Q_1$
由方程 (3.9)、(3.10) 可知，每单位弧长的力矩和力随后定义为：
(3.11) $M_2 = -\int_{-0.5t_2}^{0.5t_2} \sigma_{11,2} z (1 + \frac{z}{\cos(\alpha)r_2}) dz$
$M_1 = -\int_{-0.5t_1}^{0.5t_1} \sigma_{11,1} (z+\Delta x)(1 + \frac{z}{r_1}) dz$
(3.12) $Q_1 = -\int_{-0.5t_1}^{0.5t_1} \tau_{1z,1} (1 + \frac{z}{r_1}) dz$
遵循 Flügge [10] 的符号表示法。通过消除对微分角度 $d\phi$ 的依赖，静力平衡方程 (3.10) 简化为：
(3.13) $r_2 M_2 = r_1 M_1 + \Delta y r_1 Q_1$
如果使用线性厚度方向应力分布——这是经典壳理论中通常假设的——则积分可以进行解析评估。线性应力分布用经向应力 $\sigma_m$ 和弯曲应力 $\sigma_b$ 表示。用线性应力分布替换锥的应力 $\sigma_{11,2}$，随后进行积分，得到：
(3.14) $r_2 M_2 = -\int_{-0.5t_2}^{0.5t_2} (\sigma_{m,2} - \frac{\sigma_{b,2}}{2} \frac{z}{t_2}) z (r_2 + \frac{z}{\cos(\alpha)}) dz$
(3.15) $= -\int_{-0.5t_2}^{0.5t_2} (\sigma_{m,2} r_2 z - \frac{\sigma_{b,2}}{2} \frac{r_2}{t_2} z^2 + \sigma_{m,2} \cos(\alpha) z^2 - \frac{2\sigma_{b,2} \cos(\alpha)}{t_2} z^3) dz$
$= -\int_{-0.5t_2}^{0.5t_2} -\frac{\sigma_{b,2}}{2} \frac{r_2}{t_2} + \sigma_{m,2} \cos(\alpha) z^2 dz$
$= \frac{\sigma_{b,2}}{2} \frac{r_2}{t_2} - \sigma_{m,2} \cos(\alpha) \frac{t_2^3}{12}$
$= -\frac{t_2}{2} \cos(\alpha) \frac{1}{12} N_2 + r_2 M_{b,2}$
对方程第二个的相应过程得出：
(3.16) $r_1 M_1 = -\int_{-0.5t_1}^{0.5t_1} (\sigma_{m,1} - \frac{\sigma_{b,1}}{2} \frac{z}{t_1}) (z+\Delta x)(r_1 + z) dz$
$= -\int_{-0.5t_1}^{0.5t_1} (\sigma_{m,1} r_1 z + \sigma_{m,1} r_1 \Delta x - \frac{2\sigma_{b,1} r_1}{t_1} z^2 + \sigma_{m,1} z^2 + \sigma_{m,1} z \Delta x - \frac{\sigma_{b,1}}{2} \frac{z^3}{t_1} - \frac{\sigma_{b,1}}{2} \frac{z^2 \Delta x}{t_1} - \frac{\sigma_{b,1}}{2} \frac{z \Delta x r_1}{t_1}) dz$
$= -\int_{-0.5t_1}^{0.5t_1} \sigma_{m,1} r_1 \Delta x + z^2 (-\frac{2\sigma_{b,1} r_1}{t_1} + \sigma_{m,1} - \frac{\sigma_{b,1}}{2} \frac{\Delta x}{t_1}) dz$
$= -\sigma_{m,1} t_1 r_1 \Delta x + (-\frac{2\sigma_{b,1} r_1}{t_1} + \sigma_{m,1} - \frac{\sigma_{b,1}}{2} \frac{\Delta x}{t_1}) \frac{t_1^3}{12}$
$= -\sigma_{m,1} t_1 r_1 \Delta x + \frac{r_1 \sigma_{b,1} t_1^2}{6} \frac{t_1}{12} - \sigma_{m,1} \frac{t_1}{t_1} \frac{t_1^2}{12} + \Delta x \frac{t_1^2 \sigma_{b,1}}{6}$
$= -N_1 (\frac{t_1}{2} \frac{1}{12} + r_1 \Delta x) + M_{b,1} (r_1 + \Delta x)$
在此背景下，采用简化的弯矩 $M_b$ 和弯曲应力 $\sigma_b$ 之间的传统关系来推导这些方程：
(3.17) $\sigma_{b,1} = \frac{6 M_{b,1}}{t_1^2}$
$\sigma_{b,2} = \frac{6 M_{b,2}}{t_2^2}$
以及 $N_1 = \sigma_{m,1} t_1$, $N_2 = \sigma_{m,2} t_2$
将这些方程代入方程 (3.13) 得出以下管线性弯矩的关系：
(3.18) $M_{b,1} = \frac{1}{12} (-\frac{t_2}{2 \cos(\alpha)} N_2 + \frac{t_1}{2} N_1) + \frac{\Delta x N_1}{r_1} + \frac{r_2 M_{b,2} - \Delta y r_1 Q_1}{r_1 + \Delta x}$
假设小锥角和大半径，该关系可以进一步简化。这些前提允许推导以下关系：
(3.19) $r_1 N_1 \approx \frac{N_2}{r_2} \implies \sigma_{m,2} \approx \frac{t_1}{t_2} \sigma_{m,1}$。
这种仅对小锥角有效的薄膜应力简单估算，通过比较图 4(b) 和 4(d) 中给出的薄膜应力得到了证实。从这些前述关系中，作用于管切割面上的弯矩可以写为：
(3.20) $M_{b,1} = N_1 (\frac{1}{12} (-\frac{t_2}{2 r_1 r_2} + \frac{t_1}{2}) + \frac{\Delta x}{r_1}) + \frac{r_2 M_{b,2} - \Delta y r_1 Q_1}{r_1 + \Delta x}$
值得注意的是，方程 (3.18)–(3.20) 中的若干项在壁厚相等 ($t_1=t_2$) 的特殊情况下消失，导致管和锥力矩之间呈现出特别简单的关系：
(3.21) $M_{b,1} = M_{b,2}$
如 Ku 和 Chen [6] 所讨论的，这种耦合方程常用于解析方程中。省略方程 (3.21) 中由锥度产生的额外力臂，是当管和锥具有不同壁厚时这些公式表现不佳的一个关键原因，正如后面将证明的那样。
本工作采用的符号表示法遵循 Flügge [10]。之所以注明这一点，是因为文献中可找到描述锥形壳的其他惯例，见例如 [12]。Flügge [10] 使用以下惯例：积分变量 $z$ 总是指向外部。此外，如果剪力在正截面上指向 $z$ 减小的方向，则计为正剪力。
为了检查方程 (3.20) 中各项的有效性和影响，基于图 4 所示的有限元结果创建了表 1。线性化应力 $\sigma_{b,2}$ 是通过对接头锥侧的厚度方向应力分布进行线性化确定的。这使得能够计算弯矩 $M_{b,2}$。为了确定管侧的剪力 $Q_1$，使用数值积分结合有限元模拟的剪应力剖面来求解方程 (3.12)。知道了这两个量，方程 (3.21) 现在可以很容易地针对施加的经向力 $N_1=t_1 \sigma_{m,1}=45 \text{mm} \cdot 100 \text{MPa}=4500 \text{N/mm}$ 进行评估。
如表 1 所示，锥的弯矩 $M_{b,2}$ 为负，这源于方程 (3.14) 中力矩的定义。根据方程 (3.14)，正的弯曲应力导致内侧应力增加。图 8(a) 显示锥上的应力从内到外增加。因此，锥的弯曲应力和力矩需要为负。表 1 中包含的示例说明，管侧的关键弯矩主要由项 $N_1 r_1 \Delta x$ 主导，这显著降低了弯矩的绝对值。
上述程序也可应用于锥比管薄的接头。为了研究这种设计选项，使用与以前分析相同的参数，例外的是锥段筒体厚度在 30 mm 和 44 mm 之间变化。因此，现在预计热点位于接头的锥侧。因此，方程 (3.20) 重新排列以确定作用于锥切割面上的线性弯矩 $M_{b,2}$ (3.22)
$M_{b,2} = -N_1 (\frac{1}{12} (-\frac{t_2}{2 r_1 r_2} + \frac{t_1}{2}) + \frac{\Delta x}{r_1}) + \frac{(r_1 + \Delta x) M_{b,1} + \Delta y r_1 Q_1}{r_2}$
表 1. 方程 (3.20) 中出现的量。注意，Q1 和 σb,2 是通过积分确定，其中包含了来自有限元的应力。考虑的管直径为 1290 mm，管厚度为 45 mm。
| t2 | σb,2 | Mb,2 | Δx | Δx?N1r1/r2 | Δy | Q1 | Mb,1 | σb,1 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| mm | MPa | Nmm | N–mm | N/mm | N | MPa | | |
| 45.6 | -24.25 | -8408 | 0.261 | 176 | 1.00 | 04 | 1.59 | -113 | -7052 | -20.99 |
| 48.0 | -26.21 | -10067 | 0.954 | 272 | 1.00 | 15 | 1.13 | -96 | -4710 | -14.43 |
| 50.0 | -27.59 | -11497 | 1.53 | 6885 | 1.00 | 24 | 19.17 | -82 | -3013 | -9.76 |
| 52.0 | -28.72 | -12943 | 2.11 | 9495 | 1.00 | 33 | 27.21 | -98 | -1540 | -5.77 |
| 54.0 | -29.62 | -14398 | 2.69 | 12 105 | 1.00 | 43 | 35.25 | -56 | -263 | -2.38 |
| 56.0 | -30.31 | -15844 | 3.27 | 14 715 | 1.00 | 52 | 43.30 | -44 | 853 | 0.51 |

图 8 显示了有限元模拟中的厚度方向应力，其中锥壁厚度在 30 mm 和 44 mm 之间变化。图 8(d) 特别有趣，因为它说明了在内部锥热点处通过应力线性化程序获得的薄膜和弯曲应力。该图证实了薄膜应力的增加是由管和锥厚度的不同引起的。薄膜应力的这种增加被有效的小角度近似方程 (3.19) 或方程 (2.7) 中给出的更复杂的表达式准确预测。此外，该图显示，随着锥壁厚度减小，弯曲应力增加，导致更高的结构热点应力。
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图 7. 一系列减小锥厚度时的第一主应力场，同时保持恒定的管厚度，适用于具有薄锥的小直径接头。
对于锥段筒体较薄的情况，现在必须考虑图 5 所示的力臂 $\Delta x$ 正在减小且具有负号。由方程 (3.22) 可知，项 $N_1 \Delta x r_1$ 为正，并将增加锥内部热点处的弯曲应力和力矩。图 8 中给出的相应有限元结果反映了这种依赖性。从图 8(a) 可以推断，对于所有考虑的示例，管的弯矩 $M_{b,1}$ 需要为负，而锥处的弯矩随着锥厚度减小而增加。
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图 8. 锥段比恒定管段薄时的厚度方向应力线性化。
3.3. 表面应力外推：管段比锥段薄的小直径接头
为了进一步评估前述结果，使用表面应力的二次外推 [14] 获得结构应力。与以前一样，使用三度的锥角，管在管段筒体上承受恒定的标称 (薄膜) 应力 100 MPa。对于表面应力的初步研究重新审视具有厚锥的小直径接头，使用相同的设置，保持管厚度恒定并将锥厚度从 45.6 mm 增加到 56 mm。对于外推，使用第一主应力，相应的应力场如图 3 所示。
对于每次模拟，沿外表面和内表面的路径评估表面应力剖面，并将结果绘制在不同锥厚度下，如图 9 所示。这些路径始于折角处，路径坐标向较大的锥直径正方向增加。用于外推的第一主应力是在表面应力图中用十字标记的位置评估的。随后使用这些应力值来确定高亮显示为红色的热点应力。然后从最大绝对热点应力获得相应的 SCF (应力集中系数)。
为了比较从数值分析中获得的结构热点应力与标准设计公式预测的 SCF，结果呈现在图 10(b) 中。图 10(b) 显示，最初驱动设计的管外表面的 SCF 随着锥厚度增加而减小。对于相等的筒体厚度，有限元 (FE) 和基于规范 (code) 的 SCF 几乎完全一致。然而，对于不相等的筒体厚度，规范公式和数值结果在某些情况下存在显著差异。此外，由于依赖方程 (3.21) 中给出的简化表达式，规范公式未能捕捉到在上一小节中详细讨论的弯曲应力的符号反转。
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图 9. 几种锥厚度的第一主表面应力演变，保持管厚度恒定。十字显示用于二次应力外推的位置。外推的热点应力由红色十字可视化。
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图 10. 具有变化锥厚度的小直径接头的 SCF。
3.4. 表面应力外推：锥段比管段薄的小直径接头
与上一节一样，也为第二种设计选项确定结构热点应力，其中锥壁厚度减小到低于管段筒体的值。在讨论的示例中，管段筒体厚度保持在 45 mm 恒定，而评估的锥段筒体厚度在 30 mm 和 44 mm 之间。与以前一样，路径的起点位于管折角处，路径随着锥直径增加而正计数。第一主应力的等高线图如图 7 所示，相应的表面应力如图 11 所示。
不同锥厚度的 SCF 结果如图 10(a) 所示。应注意，对于 35 mm 以下的锥厚度，锥内表面的结构热点应力成为设计主导。在这些情况下，根据方程 (2.4) 的简单设计公式低估了来自有限元分析的结构应力。
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图 11. 锥段比管段薄的小直径接头的表面应力演变。

因此，如果筒体厚度不同，不建议使用简单的式设计 (2.4)。对于给定直径，先前讨论的变体（锥形筒体薄于管状筒体和锥形筒体厚于管状筒体）汇总于图 12 中，以比较不同的应力集中系数计算选项。正如预期的那样，图 12 显示在两个筒体厚度相等的点处（t1=t2=45 mm）存在不连续性，因为热点从接头处的锥形部位转移到了管状部位。在设计背景下，图 12 表明解析公式不一定必须是保守的，因为临界热点（内部或外部）的位置不一定能被正确再现。

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图 11. 在管厚度保持恒定的情况下，不同锥体厚度的第一主表面应力演变。此处考虑了锥体厚度较小的情况。交叉点显示了用于二次表面应力外推的应力。外推的热点应力通过红色交叉点可视化。

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图 12. 锥形接头产生的应力集中系数，锥体厚度变化，考虑恒定的管厚度 45 mm 和直径 1290 mm。

3.5. 表面应力外推：单桩案例研究
上述针对典型导管架尺寸进行的参数研究也针对代表单桩的直径进行了。作为一个说明性示例，下面考虑直径 8000 mm 和管厚度 45 mm 和 110 mm 的情况。研究这些尺寸发现，总体趋势与确定较小直径的结果非常可比。然而，对于较大直径，已注意到应力集中系数相对于锥体厚度的变化正在减小，如图 13 所示。

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图 13. 使用典型单桩直径的锥形接头应力集中系数，锥体壁厚变化。

3.6. 有效缺口应力概念
除了结构热点应力概念外，还采用有效缺口应力概念来对先前讨论的结果提供更详细的评价。为了应用有效缺口应力概念，需要显式建模焊缝。焊缝被建模为椭圆形轮廓，该轮廓连续过渡到一条具有 30°侧面角的直线，这是根据 IIW 建议 [14] 推荐用于对接焊的角度。对于仿真，缺口半径设置为 1 mm，并在缺口附近生成了二次单元的细网格，以满足 Hobbacher 和 Baumgartner [14] 中指定的网格划分要求。

对于所有仿真，对接焊轮廓被定义为使用半长轴恒定为 7.5 mm 且半短轴为 2.5 mm 的椭圆，对应于图 14 中所示的焊缝加强层。如该图所示，具有较厚锥形筒体的接头通过分析考虑接头管状侧的外部缺口和内部缺口来进行。分析这些缺口是因为前一节将它们确定为疲劳临界点。相比之下，对于具有较厚管状筒体的接头，基于先前的结构应力结果分析外部缺口和锥体处的内部缺口。从仿真中确定的缺口应力显示在图 15(a) 和 15(b) 中。通常，结果遵循与结构热点应力分析获得的结果相同的趋势。然而，当管状筒体具有较小壁厚时，与相应的结构热点应力相比，缺口应力显示出略为平滑的变化。

为了直接比较两种疲劳评估方法，缺口应力通过固有的应力集中系数 2.5 进行了降低。2.5 这个系数反映了由 FAT90 和 FAT225 曲线之间的比率给出的固有应力集中系数。根据 [1] 中给出的建议，未应用厚度修正，因为有效厚度：(3.23) teff=min(14mm+0.66LW,T)=23.9mm – 其中 LW 是对接焊的宽度，T 是板的厚度 – 小于参考厚度。对于变化的厚度，有效缺口应力概念的趋势相似；然而，与结构应力概念相比，它预测的绝对使用寿命大约大一个疲劳等级。

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图 14. 缺口应力模型显示薄和厚锥壁配置的假设焊缝几何形状。

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图 15. 锥形壁厚变化的缺口应力分析，考虑恒定的管壁厚 45 mm 和外径 1290 mm。

3.7. S-N 曲线
为了确定最终的疲劳损伤，结构应力必须与 S-N 曲线和适当的厚度修正系数相结合。厚度修正考虑了尺寸效应，这可以分为三个不同的方面：(1) 几何尺寸效应，其特征是例如比较两个不同厚度的缺口应力模型时，较大底板中的应力梯度更陡峭；(2) 技术尺寸效应，它产生于较大和复杂的结构可能表现出对疲劳寿命有害的较高残余应力；以及 (3) 统计尺寸效应，它基于不利局部几何形状的概率随焊缝长度增加而增加的假设 [15]。

管状到锥形接头的疲劳评估通常基于结构应力方法，采用 D 曲线或等效的 FAT90 曲线以及厚度指数 k=0.2。需要注意的是，为了应用此 S-N 曲线，需要从两侧制造焊缝并进行无损检测。与结构应力一起使用的 FAT90 S-N 曲线是根据 1990 年代的实验疲劳数据建立的，基础数据主要由板厚在 16 到 30 mm 之间的疲劳试样组成 [16]。由于众所周知，轴向和角度不对中会对小尺度疲劳试样的疲劳寿命产生显著影响 - 一个说明性示例可在 [17] 中找到 - 在识别热点应力中的热点应力 S-N 曲线时考虑了这些应力增加。通过遵循此程序，热点应力 S-N 曲线变得几乎与不对中无关，且仅由热点应力 S-N 曲线固有覆盖的对应于约 1.05 的应力集中系数的微小应力增加。因此，高于 1.05 的不对中影响 - 通常在数值模型中未明确考虑 - 需要在疲劳设计中加以考虑 [14], [18]。与对接焊和十字接头不同，对于锥形接头，普遍接受这些对接头意外的不对中不太敏感。

由于近期开发和安装的底固定式海上风力涡轮机基础中使用的板厚通常远大于特征和设计 S-N 曲线原始校准中考虑的那些，对接焊接头的疲劳强度已通过采用厚度显著超过 25 mm 参考厚度的试样的实验研究进行了广泛调查 [11]。这些研究证实，DNV-RP-C203 [1] 中的设计建议，包括相关的厚度修正公式，仍然适用于对接焊接头的疲劳评估 [2], [15]。

4. 用无量纲变量表示的应力集中系数
4.1. 缩放方法
根据白金汉π定理，涉及一定数量 n 个物理变量和 k 个基本维度的任何具有物理意义的关系都可以用 p=n?k 个独立的无量纲参数来重新表述。如前几节所示，管状到锥形接头的应力集中系数主要取决于角度、直径和筒体厚度。因此，应力集中系数可以使用三个无量纲参数来描述，它们可以表示为：(4.24) SCF=f(t1,t2,D,α)=f?(δ=t1/t2, χ=D/t1, α) 使用一组减少的变量。参数δ=t1/t2 表征连接的筒体之间的厚度不匹配，而χ=D/t1 表示管状筒体的直径与厚度比。为了促进以这些无量纲参数δ和χ表示应力集中系数，从有限元结果中确定了查找表。对于表中未明确包含的参数值，相应的应力集中系数可通过插值得到，如下所示。为了说明如何使用无量纲参数重新表述式 (2.4) 中给出的经典应力集中系数表达式，接头管状侧的应力集中系数表示为：(4.25) SCF1,S=1+0.6(D/t1)/(1+(t2/t1)tan(α))=1+0.6χ/(1+(1/δ)tan(α)) 当筒体壁厚相等时，式 (4.25) 简化为：(4.26) SCF1,S=1+0.6/(2χtan(α)) 这已用于确定下方查找表中δ=1 情况下的应力集中系数。还应指出，对于比管状筒体更厚的锥体的应力集中系数公式也可以以无量纲形式表示：(4.27) SCF2,S=1+0.6(δχ)/(δ(1+δ)tan(α)) 这是式 (2.4) 经过几次重新排列后的结果。对于相等的壁厚，上述两个方程产生相同的结果。

为了实际应用，导出了恒定锥角为三度时内部和外部热点的应力集中系数查找表。这些表覆盖了参数范围δ=[0.75,1.4] 和χ=[20,120]，这是工程中遇到的典型单桩和导管架尺寸的代表。数据生成了总共 338 次有限元仿真，在其中系统地改变了无量纲参数，同时将外径固定在 4000 mm - 这是一个与第 3 节示例中使用的直径显著不同的值。这一选择表明，提出的无量纲表示独立于被分析接头的具体尺寸，仅取决于控制性的无量纲参数。相应的表 4、表 5、表 6、表 7 包含在附录中。

4.2. 验证
为了验证所选的无量纲参数是否充分捕捉了应力集中系数的依赖性，进行了两项验证研究。对于表 4 的验证，使用随机采样在 [0.75,1]、[20,120] 和 [25mm,120mm] 的相应范围内生成了 30 组不同的δ、χ和管壁厚 t1 参数集。对于每种情况，应力集中系数通过两种方式确定：首先，通过对表列值进行插值；其次，通过有限元分析。对于基于表的方法，使用了双线性插值。这是工程断裂力学中的常见做法，例如可在 [19] 中找到公式。有限元模型通过第 3 节中描述的表面应力外推进行评估。使用表 2 中给出的参数测试了表 5 的网格值。此处仅报告了少量测试，因为每种情况的偏差都非常小。结果表明，从两种方法确定的应力集中系数几乎相同，这验证了参数化。

此处可以指出，表 4 和表 5 包含几乎相同的信息，因为外部和内部应力集中系数的总和接近于二。这直接源于式 (2.1)、(2.5) 中给出的管应力集中系数的定义。如果将内部和外部膜应力和弯曲部分叠加，弯曲应力相互抵消，只剩下两倍的膜应力贡献。然而，观察到与数值二的微小偏差，因为数值分析也评估了锥形侧的结构应力，且这些应力通常略高于管状侧的应力。图 9(b) 和 (c) 显示了此类情况的示例。对于具有较小锥形壁厚的接头也进行了相应的验证，相应的结果给出在表 3 中。

表 2. 使用表 4 的表中应力集中系数 SCFTab 与有限元测试样本应力集中系数 SCFFE 的比较。
t1 [mm] t2 [mm] D [mm] δ χ SCFTab SCFFE
76 90.48 410 40.8 454 1.117 1.117
117 130 0.0011 349 0.9097 1.322 1.321
394 3.823 9000 0.89 100 1.312 1.312
96 107.8 75280 0.89 55 1.205 1.205
859 1.405 8650 0.9369 1.299 1.300
455 2.335 5350 0.86 123 1.307 1.307
107 110.3 124610 0.9723 1.189 1.191
111 18.09 23310 0.9421 1.157 1.158
99 102.00 24750 0.9725 1.198 1.200
99 128.5 772270 0.7773 1.066 1.066
112 141.7 714000 0.79 125 1.201 1.201
485 1.611 1040 0.9323 1.155 1.156
273 3.331 9710 0.8173 1.119 1.118
464 8.425 1520 0.9511 2 1.418 1.418

表 3. 使用表 7 的表中应力集中系数 SCFTab 与有限元测试样本应力集中系数 SCFFE 的比较。
t1 [mm] t2 [mm] D [mm] δ χ SCFTab SCFFE
76 59.84 6232 1.2782 1.465 1.464
117 101.7 44329 1.1537 1.312 1.313
393 4.214 2511 1.4109 1.533 1.533
96 94.12 6048 1.0263 1.363 1.362
856 2.504 5051 1.3653 1.368 1.369
454 2.454 1851 0.0693 1.467 1.467
107 89.17 8667 1.2081 1.460 1.459
111 102.7 813209 1.0811 9 1.535 1.536
99 71.74 3267 1.3833 1.279 1.279
99 84.62 11286 1.1711 4 1.549 1.549
112 108.7 47504 1.0367 1.380 1.381
483 8.711 632 1.2434 1.278 1.279
272 3.892 4571 1.3911 1.486 1.486
464 2.594 462 1.0897 1.487 1.487

5. 总结与结论
研究表明，管状到锥形接头的管状部分和锥形部分之间的壁厚差异产生了当前设计方程中未考虑的额外力臂。使用这些方程时应考虑到这一点。特别是，如果锥体和管的壁厚不同，应避免使用式 (2.4)。结果进一步表明，对于较厚的锥形部分，小直径接头内表面的锥度可以显著降低弯曲应力。然而，一旦弯曲应力改变符号并通过零，其大小又会增加。

因此，最大应力集中系数（SCF）的位置可能会从连接处的外侧转移到内侧，或者反之，这取决于考虑的是小直径连接还是大直径连接。从理论角度来看，若式 (3.20) 给出的关系可用于遵循 Lotsberg [7] 提出的方法推导出一组新的解析方程，这将是一件很有意思的事情。然而，解析方程始终需要简化的运动学假设，而锥形几何形状难以在线性弹性理论框架内进行准确建模；因此，本工作重点在于查表。与数值方法相比，这些表格具有显著优势，因为它们不需要复杂且耗时的前后处理，同时仍能提供准确的应力集中系数（SCF）。

本文的分析仅限于 3°的锥角。未来的工作可将其扩展至更大的锥角和不同的锥度情况。目前，管状至锥形连接的疲劳设计方法结合了源自对接焊缝的 S-N 曲线和厚度修正系数。由于应力集中系数（SCF）仅是一个组成部分，需与 S-N 曲线和厚度指数结合使用，因此针对具有不同壁厚的管状至锥形连接开展专用实验疲劳测试，将为当前的设计方法提供更多信心。本研究提出的有效缺口应力分析表明，当前 S-N 曲线与厚度修正系数的组合可能为进一步优化提供机会。然而，对这些结果应持谨慎态度，因为仅考虑了一种特定的焊缝轮廓，且未进行系统的敏感性研究。因此，未来的工作应调查其他焊缝几何形状和制造缺陷的影响，包括焊缝趾角、咬边深度和焊缝余高的变化。类似于期针对厚壁对接焊缝连接开展的全面实验计划 [11]，对于管状至锥形连接而言，进一步的实验验证结合先进的数值分析将极具价值。此类努力将支持制定更精细的疲劳设计建议，同时保持对疲劳寿命预测具有足够的置信度。

CRediT 作者贡献声明
Jan Herrnring：写作 – 初稿、方法论、调查、形式分析。
Jacob Fisker Jensen：写作 – 审查与编辑、资源、项目管理、概念化。
Arne Fjeldstad：写作 – 审查与编辑、概念化。
Inge Lotsberg：写作 – 审查与编辑、方法论、概念化。

AI 的使用
在本工作准备期间，使用 MS Copilot 对部分文本进行了处理，以改进句子结构和论文草稿的措辞。作者已审查并编辑了输出结果，并对已发表文章的内容承担全部责任。

Jan Herrnring|Jacob Fisker Jensen|Arne Fjeldstad|Inge Lotsberg
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