综述：水力机械中含沙水流的数值模拟：多相方法、侵蚀模型与计算挑战的关键评述

《Results in Engineering》：Numerical Modelling of Sediment–Laden Flows in Hydraulic Machines: A Critical Review of Multiphase Approaches, Erosion Models, and Computational Challenges

　　

含沙水流（sediment–laden flows）及其在水力机械中引起的侵蚀的准确预测仍是一个具有挑战性的问题，涉及多相流体动力学（multiphase fluid dynamics）与固体表面相互作用模型（solid–surface interaction models）的耦合。本研究旨在对为此目的开发的数值方法进行关键且系统的评估。该综述聚焦于用于表示分散固相及其对机器部件侵蚀作用的数学和计算框架，并详细分析了欧拉（Eulerian）和拉格朗日（Lagrangian）公式。研究人员对现有文献进行了全面调查，涵盖了关于佩尔顿（Pelton）、弗朗西斯（Francis）和卡普兰（Kaplan）水轮机以及离心泵的数值研究。每篇文献均根据其建模方法、控制方程、耦合策略、侵蚀模型和计算设置进行了审查。收集到的数据被整理成比较表格，从而能够对模型复杂性、数值假设、网格特征和验证程序进行结构化评估。本综述的目标是阐明当前可用于模拟泥沙输移（sediment transport）和侵蚀的建模策略，突出每种方法背后的数学假设，并识别仍然阻碍模型校准、标准化和更广泛应用的开放挑战。本文提供了一个方法论框架，旨在指导未来开发用于含沙水流的可靠且计算高效的多相模型。

**1. 引言**
近几十年来，由于冰川融化和侵蚀现象的增强，河流内泥沙产率预计将增加。若这一趋势得到确认，将引发诸多副作用，并导致通常受大量泥沙流影响的区域环境平衡逐渐改变。因此，对河流泥沙水平进行审慎且负责任的管理将成为水电行业可持续性的关键。标准泥沙管理策略（如排沙通道、拦沙坝或水库沉积技术结合定期清淤操作）试图防止泥沙流入水电站，以限制水轮机侵蚀问题。然而，从环境角度看，完全阻断上游泥沙并不可行，因为需要持续的泥沙流来维持下游的环境平衡，防止与筑坝系统相关的若干副作用，如水电站周围泥沙质量和性质的变化、海岸侵蚀以及对上下游栖息地生活质量的严重影响。为部分克服这些问题，并使水电站对泥沙通量更具“透明性”，让泥沙以受控方式通过水力机械的方法正日益流行，但代价是接受水轮机逐渐侵蚀。尽管材料技术在抗侵蚀性方面取得了显著进展，但目前尚无适用于保护表面免受每种损伤机制的涂层。因此，为进一步最小化水电行业中的泥沙侵蚀影响，必须将合适的材料选择与能够考虑含沙水流引起的磨损现象的新设计策略相结合。如今，设计策略在很大程度上依赖于计算流体动力学（Computational Fluid Dynamics, CFD），但其在含沙水流中的应用仍面临重要挑战。本综述旨在呈现现有计算模型，讨论其优缺点。首先概述侵蚀过程（第2节），然后详细阐述现有数值方法（第3节），接着提供这些方法应用于水力机械内部侵蚀现象的主要发现的全面综述（第4节）。最后，在结论中总结不同可用多相方法的优缺点，并展望未来发展和可能性。

**2. 水力机械中的侵蚀**
侵蚀是一种由固体或液体颗粒冲击固体表面引起的磨损形式，当颗粒撞击表面时具有足够动能，通过去除材料或仅改变其构型来损伤固体面。材料损失导致机械几何形状改变，使先前的基准水力设计不再适用于新的流动条件，从而负面影响水力机械效率并进一步加剧侵蚀。这一问题在佩尔顿（Pelton）和弗朗西斯（Francis）水轮机中尤为明显，它们最易受侵蚀影响，但卡普兰（Kaplan）水轮机中也有泥沙磨损的实例报告，其中叶片尖端和尾缘被确定为最易受侵蚀的区域。泵，尤其是离心泵，也受到侵蚀现象的影响，导致扬程和效率降低。从表面移除的材料量通常取决于：i) 运行条件（如冲击速度和冲击角），ii) 固体表面材料（材料硬度越高，侵蚀率越低），以及iii) 颗粒材料特性（如颗粒硬度、形状、密度、浓度和尺寸）。根据这些因素的组合，可以识别出水力机械中的四种主要侵蚀机制。关于运行条件的影响，研究人员观察到材料损失率（dm_LOSS/dt）随流速（v）增加而增加，遵循经验幂律关系：dm_LOSS/dt ∝ vⁿ，其中指数n取决于材料和运行条件，在水轮机中通常接近3。另一方面，冲击角在侵蚀过程中也起关键作用。对于固定流动条件，脆性材料在冲击角接近90°时经历最大侵蚀率，而延性材料在冲击角接近30°时达到最大侵蚀率。这些侵蚀过程的结果主要基于实际水电站的现场观测。特别地，已发现水力机械中最常见的侵蚀类型之一是因高湍流度导致的磨料侵蚀：湍流一方面促进高冲击速度和低冲击角，另一方面促进固体颗粒与边界层之间的相互作用，导致颗粒的旋转-平移运动，从而在表面造成更大侵蚀。其他在侵蚀过程中起重要作用因素包括流场特性（速度、转速、二次流等）和泥沙浓度。这些现象也因空化的发展而增强，两种效应可能结合。通常，水中存在颗粒具有两种相反效果，即抑制和促进空化初生。总体而言，颗粒在水中增加气核数量，加速空化初生过程；另一方面，混合物将具有更高粘度，使空化更不易发生。上述侵蚀机制为第3.3节中介绍的侵蚀模型提供了物理基础，其中引入了不同的数学公式来再现与这些冲击条件相关的材料去除。从这一简要概述可以清楚看出，对侵蚀现象的数值研究不能忽视含沙流的多相特性。因此，为准确分析侵蚀过程，必须采用能够精确再现颗粒-流体和颗粒-颗粒相互作用的多相数值方法。

**3. 泥沙流动模拟的数值方法**
关于多相流现象的模拟，文献提供了两种方法：欧拉-欧拉（Eulerian–Eulerian）方法和欧拉-拉格朗日（Eulerian–Lagrangian）方法。第一种方法将所有相建模为连续介质；第二种方法将流体相处理为连续介质，同时通过使用离散相模型描述固体颗粒行为。两种方法将在后续段落中详细讨论，重点关注商业软件中的模型。在深入细节之前，需讨论泥沙流动分析中最相关的参数。
**3.1. 多相方法选择的参数**
选择分散相行为建模的多相方法通常依赖于两个无量纲参数：斯托克斯数（Stokes number, St）和颗粒载荷（particle loading, β）。斯托克斯数表示颗粒响应时间（τ_pr）与系统特征时间（τ_c）之比，即St = τ_pr/τ_c = U_Cτ_pr/L_C。颗粒响应时间可通过斯托克斯流公式估算：τ_pr = ρ_Sd_p²/(18μ_L)，其中ρ_S和d_p分别为固体颗粒密度和直径，μ_L为液相粘度。颗粒载荷β定义为固相体积分数（α_S）与液相体积分数（α_L）之比：β = α_S/α_L。这两个数在多相方法选择中起关键作用：斯托克斯数描述颗粒运动如何影响流动，而颗粒载荷描述颗粒间相互作用水平。根据Elghobashi的分类，耦合机制可从颗粒体积分数识别：低于约10^?6表示稀薄、单向耦合条件；10^?6至10^?3之间需要双向耦合；高于10^?3表示颗粒-颗粒碰撞变得显著，需采用四向耦合方法。对于斯托克斯数，远小于1的值表示颗粒紧密跟随主相流动，而接近或大于1的值对应具有显著惯性的颗粒，倾向于偏离流动，可能需要更高水平的耦合。这些阈值应视为指示性物理准则而非通用工程指南。
**3.2. 欧拉-欧拉方法**
欧拉-欧拉方法将所有相建模为连续介质，包括不同模型。
**3.2.1. 混合物模型（Mixture Model, M–M）**
混合物模型是一种简化的多相模型，将多相混合物视为单相等效流体，其属性由各相属性的加权平均得到，权重为体积分数（α_S = V_S/V）。混合物密度（ρ_m）、粘度（μ_m）和速度（v_m）可计算如下：v_m = (α_Sρ_Sv_S + (1?α_S)ρ_Lv_L)/ρ_m；ρ_m = α_Sρ_S + (1?α_S)ρ_L；μ_m = α_Sμ_S + (1?α_S)μ_L。使用混合物模型时，求解固液混合物连续性和动量方程以及次相的体积分数方程。固相粘度μ_S需定义以闭合系统方程，该参数考虑颗粒与其周围环境（包括颗粒-壁面和颗粒-颗粒碰撞）的相互作用。在欧拉框架中，这些效应可通过颗粒流动力学理论（Kinetic Theory of Granular Flow, KTGF）建模。KTGF基于与理想气体动力学理论相同的原理，将固体颗粒视为在流体中运动并通过碰撞相互作用的小型非完全刚性球体。由于其简化性质，混合物模型计算成本低，但可用于低颗粒载荷的泥沙流动，此时分散相运动不影响主相流动。
**3.2.2. 完整欧拉方法（Eulerian–Eulerian, E–E）**
完整欧拉方法比混合物模型更复杂，它为每个相求解单独的连续性和动量方程，从而能够通过各种相间交换模型详细表示相间相互作用（如升力和曳力）。所有相仍被视为连续介质，这有助于降低计算成本。为求解多相问题，需建模固相应力-应变张量，这再次需要颗粒流动力学理论（KTGF）来定义随机颗粒运动和碰撞现象。
**3.3. 欧拉-拉格朗日方法**
在欧拉-拉格朗日方法中，流体相作为连续介质处理，其运动通过求解纳维-斯托克斯方程计算；固相则通过跟踪单个颗粒表示，其轨迹通过积分动量矩和角动量平衡方程确定。相间相互作用（如曳力和升力）通过将适当的动量源项纳入流体动量方程来建模。在稠密混合物中，颗粒相互作用数量不可忽略，进一步增加了物理现象的复杂性，因此欧拉-拉格朗日方法计算量大。通常，该方法可基于相位耦合程度模拟低颗粒浓度（高达5%体积浓度）的泥沙流动，包括：单向耦合（one-way coupling），通过离散相模型（Discrete Phase Modelling, DPM）实现，假设颗粒运动不影响周围流动且无颗粒间相互作用，计算成本最低；双向耦合（two-way coupling），通过稠密离散相模型（Dense Discrete Phase Modelling, DDPM）实现，考虑颗粒与流体相互影响，需瞬态分析，计算成本更高；四向耦合（four-way coupling），通过离散元方法（Discrete Element Method, DEM）实现，额外考虑颗粒间相互作用，是最物理全面但计算最昂贵的方法，常用于低浓度工况。
**3.4. 侵蚀模型**
在CFD模拟中建模磨损现象需要接触模式、颗粒-壁面碰撞涉及的材料以及颗粒冲击条件（如冲击角和冲击速度）的信息。文献中提供了多种侵蚀模型的数学公式，包括Finnie模型（1960年提出，针对延性材料）、Tabakoff-Grant模型（1975年提出，广泛嵌入商业软件，提供大量常数供调校）、Oka模型、Generic模型、Det Norske Veritas模型、Mansouri模型、McLaury模型和Zhang模型。这些模型基于通用公式，可应用于广泛工程场景，但原始校准条件在目标材料、颗粒特性、冲击条件和实验程序上差异显著，因此模型选择应考虑这些差异，且通常需要针对具体案例进行校准以确保准确预测。

**4. 关于水力机械中含沙水流数值方法现状的讨论**
为全面概述水力机械中含沙水流数值模拟的当前状态，进行了详细的文献调查，分析了大量关于水力机械中泥沙输移或颗粒-负载流数值模拟的论文，并将其系统分类，涵盖佩尔顿、弗朗西斯、卡普兰水轮机以及泵。调查旨在识别文献中采用的数值策略、主要建模特征及其验证水平和计算工作量。收集的信息被组织成一系列总结表格，每篇论文报告了关键参数，如分析部件、数值方法（欧拉或拉格朗日，具体模型）、侵蚀模型、泥沙特性（浓度、颗粒直径）、颗粒数量、网格特征（单元数、y⁺）、验证程序（定性或定量）、软件和计算资源（如可用）。该方法允许对文献进行同质化比较，突出数值方法和建模假设的多样性，以及网格分辨率、侵蚀模型、验证策略和计算需求的强变异性。然而，由于研究在几何、运行条件、泥沙特性、验证程序和报告性能指标上差异显著，严格的定量比较仍然困难。
从文献中观察到几个一般趋势和关键方面。方法论上，欧拉-拉格朗日方法明显优于欧拉方法，这归因于欧拉方法缺乏侵蚀模型，限制了其分析能力。欧拉方法使用较少，其中完整欧拉-欧拉（E–E）公式比简化混合物模型（M–M）更常用。在欧拉-拉格朗日模型中，单向耦合离散相模型（DPM）占主导地位，因其计算成本最低，可进行稳态分析。更高级的模型如稠密DPM（双向耦合）或基于DEM（四向耦合）的公式因计算成本过高而很少应用，仅适用于小规模或简化案例。然而，单向耦合DPM有局限性：例如，Hankeln等人证明仅在低浓度下（1%质量浓度）结果与双向耦合一致；Zhu等人对潜水泵的模拟（1%质量浓度）显示侵蚀率最小误差为14%。值得注意的是，许多关于渣浆泵的数值研究在质量浓度超过1%时仍采用单向耦合DPM，且缺乏实验验证，使其可靠性存疑。
关于侵蚀模型，根据不同机器类型出现有趣差异：Tabakoff模型主要用于弗朗西斯水轮机，Finnie模型用于泵，Oka模型用于佩尔顿水轮机，但其他模型偶尔使用。这种模式似乎并非源于侵蚀模型的理论基础，而是文献中的传播效应：一旦特定模型被采用并校准，后续研究倾向于重用以确保一致性。这导致形成采用相同侵蚀模型的“家族”研究，很少考虑使用不同模型进行比较。极少数研究比较了不同侵蚀模型，但未得出选择指南，主要因为缺乏实验数据进行调校和验证。
关于泥沙浓度，大部分研究采用极低固体体积分数（α_S通常低于5%），除了一些泵案例（α_S>10%）。其中三个采用欧拉方法，另两个采用欧拉-拉格朗日DPM，但无证据表明DPM在1%以上浓度下准确，引发对结果有效性的担忧。颗粒尺寸范围广泛，包括微米和毫米级颗粒，但模拟较大颗粒时通常假设低浓度，可能是受DPM方法局限性驱动。拉格朗日模拟中注入颗粒数量变化很大，仅少数作者明确报告，更少进行敏感性分析。网格特征也显著变化，但仅部分研究报告y⁺值，且常不明确是其平均值还是最大值，有时报告值较高。验证仍是最关键问题之一：适合精确验证的实验数据稀缺，大多数作者依赖定性比较（如侵蚀率云图或磨损区域照片），仅少数论文进行定量验证，且仅三项研究明确报告了数值精度（误差约10%至50%以上）。计算成本大多未记录，仅两项研究提供定量信息，其中一项使用基于GPU的求解器，报告了约40,000节点小时的耗时，凸显了分析的高成本和高速计算资源需求。总之，当前限制并非源于缺乏适当数值模型，而是三个并发因素：缺乏广泛可靠的实验数据以建立清晰的校准和使用指南；欧拉-拉格朗日方法的高计算成本（尤其在考虑实际泥沙浓度时）；以及欧拉-欧拉框架内缺乏专用侵蚀模型，无法用于详细侵蚀预测。

**5. 结论**
本综述对水力机械中含沙水流及相关侵蚀现象的数值研究进行了全面调查。通过对发表论文的系统收集和比较，分析了所有相关数值方法——欧拉和拉格朗日——的建模假设、验证水平、计算需求和侵蚀预测能力。从文献中提取的信息被组织成一组总结表格，提供了分析部件、所采用的多相和侵蚀模型、网格特征、泥沙浓度、验证策略、软件工具和计算资源的结构化概述。这一比较框架使得识别当前文献中不同建模方法的普遍趋势、优缺点成为可能。分析强调，欧拉-拉格朗日模型目前是模拟水力机械中泥沙输移和侵蚀过程最完整、物理最详细的方法，因其能直接提供颗粒轨迹和冲击条件，与现有侵蚀模型兼容。然而，其计算成本对大多数实际应用仍过高，迫使大多数研究依赖简化配置（如单向耦合DPM）并假设极低浓度。即使拥有高性能计算资源，模拟时间通常仍与工业设计和优化工作流程不相容。综述还表明，尽管多种侵蚀模型可用且广泛使用（如Finnie、Oka、Tabakoff等），其预测能力仍高度依赖具体案例。缺乏广泛可靠的实验数据集阻碍了严格标准化的比较和稳健校准指南的制定。因此，侵蚀模型选择常由既有研究习惯而非客观性能标准驱动，导致案例特定公式的传播而非通用实践。总体而言，当前文献尚未提供足够证据来建立选择多相方法或侵蚀模型的通用指南。未来的努力应侧重于生成标准化实验数据集，以支持客观模型校准、验证和选择。另一方面，欧拉-欧拉方法作为尚未充分探索但潜在有前景的替代方案，其显著较低的计算成本使其对大规模或工业应用具有吸引力，尤其是在需考虑实际泥沙浓度时。然而，其用于侵蚀预测目前受限于缺乏与欧拉-欧拉描述兼容的侵蚀模型。因此，开发此类模型代表一个关键开放研究挑战，有望显著提高侵蚀模拟的效率和可扩展性。总之，尽管水力机械中含沙水流的数值建模已取得显著进展，但其标准化和实际应用仍有限。未来研究应聚焦于生成标准化实验数据集、系统评估建模假设（包括相位耦合策略和近壁分辨率要求），以及开发与欧拉公式兼容的计算高效侵蚀模型。解决这些挑战对于迈向可靠、准确、可重复且时间高效的数值工具至关重要，以支持含沙水流水力机械中的科学研究和工业设计。