用于分析具有非线性电感元件的电路的一种高效迭代方法

《Axioms》：An Efficient Iterative Method for the Analysis of Electrical Circuits with Nonlinear Inductive Elements

　　

本文提出并分析了一种修改版的H?n?il?方法（HM），用于求解具有非线性电感元件的电路。该方法将非线性电感替换为一个由非线性源和线性阻抗组成的发电机。非线性源的值通过定义一个收敛到解的Picard–Banach不动点序列来确定。这种方法将非线性从电感转移到发电机的源上。得到的电路由线性源和非线性源以及仅线性元件组成。在谐波域中使用经典定理和算法求解。对一个RL电路（变压器空载初级绕组）进行了比较分析。评估了准确性和计算工作量。将所提出的迭代方法与商业软件中实现的稳态时域瞬态分析和频域方法（谐波平衡法（Harmonic Balance Method））进行了比较。该方法特别适用于分析具有非线性电感元件的电路，如铁芯线圈和电机的等效电路。

本文针对电力系统与电子电路中非线性电感元件（LNLE）带来的建模挑战，提出了一种基于H?n?il?方法（HM）的改进迭代算法（HML）。研究背景在于，全球能源消耗增长与数字基础设施扩展（如数据中心）对电网稳定性与电能质量提出了更高要求，而电力电子器件及非线性元件的广泛使用加剧了谐波污染与动态响应问题。现有解析方法难以处理非线性系统的数学复杂性，数值方法虽更适用，但传统迭代技术（如牛顿-拉夫逊法）存在对初始猜测敏感、全局收敛性无保证等问题。因此，研究人员旨在开发一种高效、收敛有保证的算法，专门用于分析含非线性电感元件的电路，如铁芯线圈、变压器及电机等效电路。该论文发表在《Axioms》。

研究人员开展的研究基于HM的核心理念：将非线性电感替换为一个由非线性电压源与线性电感串联组成的等效发电机，并通过Picard–Banach不动点迭代序列更新非线性源的值，从而将非线性从电感转移至源。算法在谐波域中求解仅含线性元件的电路，通过傅里叶级数展开处理各谐波分量。以变压器空载初级绕组RL电路为例，将HML与商业软件ADS（Harmonic Balance（HB）和瞬态分析（TR））及LTspice（TR）进行对比，评估精度与计算时间。结论表明，HML在时域与频域结果上与商业软件高度一致（电压偏差均方根小于0.2V，电流偏差小于3.5mA），且计算时间与LTspice TR相当，显著优于ADS HB和TR。该方法具有数学证明的收敛性、数值稳定性、自校正误差能力，且无需初始猜测，特别适用于分析电力网络中的感性非线性电路。论文发表在《Axioms》。

为开展研究，研究人员主要采用了以下关键技术方法：1）基于Picard–Banach不动点定理构建迭代算子，将非线性电感替换为非线性源与线性电感串联的等效模型；2）定义时域算子g（基于非线性磁通-电流特性进行磁通校正）和频域算子h（通过戴维南等效建立与外部线性电路的连接），并确保g为收缩映射、h为非扩张映射；3）利用傅里叶级数将电路方程分解至各谐波分量，在频域中求解线性电路；4）采用分段线性（PWL）模型描述非线性电感特性，并在GNU Octave中实现算法，未使用FFT加速以保持精度。样本电路为变压器空载初级绕组，非线性特性由三线段PWL曲线定义，参数取自典型铁芯材料。

研究结果部分保留各小标题进行总结：

**3.1 Application of HML**：通过选择两种线性电感值（L=0.5L_min和L=L_min），以及不同谐波数（10、21、41、101）和采样点（32、64、128、256），对HML算法进行仿真。结果表明，L=0.5L_min时迭代次数略少、计算时间稍短；算法在相对误差10^-6的停止准则下，迭代次数随谐波数增加而增加，但计算时间仍保持较低水平（如101谐波时约0.5秒）。

**3.2 Application of ADS HB and TR**：在ADS中采用相同谐波数和采样点进行HB仿真，记录迭代次数与计算时间；TR分析需运行至稳态（70ms后），计算时间随采样点增加而显著增长（如256采样点需约3秒），远高于HML。

**3.3 Application of LTspice TR**：在LTspice中设置相同采样点，稳态区间取80-100ms，计算时间与HML相当（如256采样点约0.6秒），但需额外设置收敛选项以避免“Time step too small”错误。

**3.4 Comparative Study**：对比四种方法在时域和频域的结果。时域波形几乎完美重叠，电压与电流的均绝对偏差（MAD）分别为0.1V和2.06mA，相对误差仅0.033%和0.04%；最大偏差出现在信号斜率突变点，但不超过幅值的0.45%。频域中，HML与ADS HB的谐波幅度谱偏差较小，主要源于频谱截断误差分布差异。HML在计算效率上显著优于ADS HB和TR，与LTspice TR相当，且具有自校正误差特性，不会出现牛顿法因初始猜测不当导致的发散问题。

总结讨论部分，研究人员指出HML的主要优势在于低计算开销、全局收敛保证及数值稳定性，适用于电力网络等感性主导的电路。局限性在于当外部电路容性过强（如电子电路中的电容）时，算子h的非扩张条件可能被破坏，但可通过调整线性电感值或修改非线性特性来扩展适用范围。未来工作将拓展至非线性电容电路、多元素耦合系统、磁耦合电感以及更复杂的非线性特性（如光滑函数、多段PWL）。**结论部分**翻译如下：使用HML获得的结果已通过知名仿真软件ADS和LTspice验证。此外，HML在计算时间、数值工作量和内存利用方面非常高效。该方法提供了有保证的、数学上证明的收敛性、数值稳定性和自校正误差特性。此外，它允许用户在合理的计算时间内分析大量谐波和采样点。由于HML建立在与HMR相似的算法上，它可以直接受益于先前为后者开发的加速技术。这种方法对于分析具有LNLE的电路非常有用，例如铁芯电感或电机的等效电路。尽管存在由连接到LNLE端子的电容电抗值决定的算法收敛性限制，但该方法对于分析电力网络仍然非常有用。这些网络在设计上固有地运行在感性状态。开发解决方案以扩展应用范围超出等效电容电抗施加的限制将是未来研究的主题。分析具有非线性电容的电路与HML是对偶的。该方法的开发版本将作为未来论文提出。所提供的数学证明证明了HM分析包含LNLE和RNLE的电路的能力。研究人员打算在未来的论文中分析这种情况。此外，研究人员计划研究该方法对非线性RLC电路的适用性。在某些限制下，研究人员估计该方法可以用于具有唯一解的RLC电路。关于未来的理论和实践发展，工作还将集中在将所提出的算法扩展到多段PWL表示、光滑解析函数、替代磁通-电流特性和磁耦合电感。