一种用于计算流体动力学（CFD）中自回归预测的自适应框架，该框架结合了混合模态分解和深度学习技术

《Expert Systems with Applications》：An Adaptive Framework for Autoregressive Forecasting in CFD Using Hybrid Modal Decomposition and Deep Learning

　　• 一个完全数据驱动的自适应框架能够实现稳定的长视野CFD预测。
• 一种混合的POD-LSTM替代模型可以高效预测时间流动演变。
• 在制度转变下，在线自适应重新训练可以减少误差累积。
• 该方法在保持流动预测准确性的同时，可以节省30%-95%的成本。

引言
在流体动力学中，数值模拟在工业和学术界对于预测和分析复杂的流动现象至关重要。高保真模拟，如直接数值模拟（DNS）或大涡模拟（LES），通常需要捕捉随时间演变的流动动力学中的完整时空尺度。然而，尽管这些高保真方法在工程研究中使用越来越广泛，但它们仍然计算密集且耗时，尤其是在长时间模拟、参数研究、设计优化、不确定性量化以及实时应用方面。这一挑战凸显了需要能够显著降低计算成本的方法，同时在一定程度上保持与DNS或LES相关的准确性和可靠性。
在这种背景下，降阶模型（ROMs）作为一种可行的替代方案出现，可以在保持可接受准确性的同时显著降低计算成本。ROMs通常分为两类：侵入式和非侵入式模型。

侵入式ROMs直接修改物理系统的控制方程。这种方法的著名例子是Galerkin方法，其中控制方程被投影到一个降阶基上。这种投影产生了一个简化的方程系统，大大减少了求解所需的计算工作量（Rempfer, 2000）。Galerkin方法通过将控制方程投影到由适当正交分解（POD）模式构建的正交基上来广泛用于模拟流动动力学（Rapún, Terragni, & Vega, 2015）。这种方法将重点从求解完整系统转移到模拟模式幅度的时间演变上，从而减少了原始问题的维度和复杂性（Le Clainche, Varas, & Vega, 2017）。尽管在各种情况下都很有效，但Galerkin方法面临一些挑战。一个关键问题是它们可能会产生不稳定的迭代方案（Carlberg, Barone, & Antil, 2017）。此外，在某些情况下，仅使用少数主导POD模式无法准确捕捉流动动力学。这一限制需要包含更多的模式来保留流动的基本结构（Reiss, Schulze, Sesterhenn, & Mehrmann, 2018），但这又会增加计算成本，并可能削弱ROM的效率优势。
相比之下，非侵入式ROMs，通常称为替代模型或数据驱动模型，不需要对控制方程进行任何修改。相反，它们依赖数据来推断和预测系统的动力学。在这个框架中，机器学习模型因其能够直接从数据中捕捉复杂和非线性关系而被广泛采用，从而在不明确了解基本物理定律的情况下实现准确预测（Gao, Kaltenbach, Koumoutsakos, 2024, Han, Wang, Zhang, Chen, 2019, Hasegawa, Fukami, Murata, Fukagata, 2020, Nakamura, Fukami, Hasegawa, Nabae, Fukagata, 2021, Vlachas, Byeon, Wan, Sapsis, Koumoutsakos, 2018）。
一种常见的非侵入式策略是使用POD将高维流动快照投影到低维模态子空间，然后使用数据驱动模型来学习得到的POD系数随时间的演变。这种混合方法通常称为POD-深度学习（DL），结合了基于POD的降维和数据驱动的时间序列预测，已被广泛用于建模动态系统的时间演变（Abadía-Heredia, Corrochano, Lopez-Martin, Le Clainche, 2025, Abadía-Heredia, López-Martín, Carro, Arribas, Pérez, Le Clainche, 2022, Besabe, Girfoglio, Quaini, Rozza, 2025, Corrochano, Freitas, López-Martín, Parente, & Le Clainche, Mohan, & Gaitonde, Parish, Carlberg, 2020, Pawar, Rahman, Vaddireddy, San, Rasheed, Vedula, 2019, Regazzoni, Dedè, Quarteroni, 2019, Xu, Zhou, Zhao, Guo, Zhang, 2022, Zou, Abadia-Heredia, Saavedra, Parente, Xue, & Le Clainche, Zou, Parente, Le Clainche, 2026）。
由于深度学习模型能够建模非线性动力学、训练期间的相对较低计算成本以及在时间序列预测方面的成功表现（Parish & Carlberg, 2020），因此经常被选用于此任务。这些模型擅长捕捉数据中的复杂时间依赖性和相互作用，使其特别适用于预测流体流动的演变（Sengupta, Abadía-Heredia, Hetherington, Pérez, & Le Clainche, 2025）。
然而，数据驱动模型面临的一个重大挑战是预测结果与参考动力学的偏差，尤其是在入口条件、控制模式或操作制度发生变化时。这种偏差可能导致长视野预测偏离目标动态，并阻碍模型准确覆盖感兴趣的完整时间范围（Abadía-Heredia, Corrochano, Lopez-Martin, Le Clainche, 2025, Ki?i?, Vlachas, Arampatzis, Chatzimanolakis, Guibas, Koumoutsakos, 2023, Zou, Parente, Le Clainche, 2026）。因此，开发具有在线性能监控能力的自适应模型至关重要。这样的模型应能够检测预测准确性何时下降，无论是因为预测偏离参考动态还是因为操作条件发生变化，然后触发纠正措施，如针对性重新训练、模型重新校准或模型更新（Beltrán, Le Clainche, Vega, 2022, Vega, Le Clainche, 2021）。
本工作专注于将数值求解器与深度学习模型结合的自适应框架，以提升预测性能。对于高维和复杂问题，这种方向引起了极大的兴趣，因为训练DL模型并计算其预测结果可能比在相同预测间隔内推进数值求解器要快得多（Ki?i? et al., 2023）。此外，数值求解器通常需要多个中间时间步骤来计算下一个感兴趣的时间步骤，而这些步骤通常不会被保存。相比之下，DL模型可以直接预测下一个存储的状态，而无需解决所有中间步骤，从而减少了计算开销。
已经提出了几种自适应策略，包括求解器-ML耦合、结合学习预测器和基于物理的模拟器的混合天气预报框架，以及基于HODMD的自适应ROMs（Beltrán, Le Clainche, Vega, 2019, Beltrán, Le Clainche, Vega, 2022, Ki?i?, Vlachas, Arampatzis, Chatzimanolakis, Guibas, Koumoutsakos, 2023, Kochkov, Yuval, Langmore, Norgaard, Smith, Mooers, Kl?wer, Lottes, Rasp, Düben, Hatfield, Battaglia, Sanchez-Gonzalez, Willson, Brenner, Hoyer, 2024, Le Clainche, Vega, 2017）。这些研究表明，将替代预测与间歇性高保真信息结合是减少对重复全序模拟依赖性的有前景途径。同时，它们还表明自适应框架的实际性能在很大程度上取决于循环中使用的替代模型，因为替代模型必须准确、在多个自回归步骤中稳定，并且在新数据可用时重新训练成本低廉。
在这种情况下，POD-DL在物理可解释性、降维和学习效率之间提供了合适的折中。POD-DL不是直接预测完整的CFD场，而是将高维流动快照投影到一个紧凑的模态子空间，并使用深度学习模型来预测POD系数的时间演变。先前的工作表明，与纯全场DL模型相比，这种策略可以提高预测准确性和稳定性，同时降低训练成本（Abadía-Heredia et al., 2025）。这些属性对于自适应预测尤为重要，因为在自适应预测中可能需要仅使用有限数量的新可用高保真快照来不断更新替代模型。

然而，POD-DL仍然是一个自回归预测模型。因此，即使它比纯DL模型更稳定，预测误差仍可能在长视野内累积，因为早期预测系数的不准确性会在后续预测中传播和放大。这激发了开发一个自适应POD-DL框架的动机，在该框架中，替代模型定期用新的高保真信息进行更新，而不是在整个时间域内作为固定预测器使用。
基于这一理念，本研究开发了一个用于CFD场预测的自适应POD-DL框架。其目标不是完全取代高保真CFD求解器，而是在保持准确预测的同时，减少覆盖目标时间间隔所需的高保真快照数量。

本工作的主要贡献总结如下：首先，提出了一个自适应POD-DL预测框架，在该框架中，高维CFD场的时间演变在POD系数空间中进行预测，并定期用新可用的高保真快照进行更新。其次，所提出的方法与现有的求解器-ML耦合、自适应ROM、数据同化和长视野自回归预测策略进行了比较，明确了新颖之处在于将紧凑的POD-DL替代模型集成到自适应重新训练循环中，而不仅仅是自适应重新训练的概念本身。第三，该框架在三个不同动态复杂性的流动数据集上进行了评估，分析了分布变化、湍流强度和统计稳态行为对预测视野的影响。第四，计算效益基于避免的高保真快照数量进行了理论计算节省的报道，并明确讨论了这种离线估计的局限性。最后，确定了实际部署要求，包括不确定性感知的预测触发器、求解器重启开销和端到端的在线验证。

本工作组织如下：第2节总结了相关工作。第3节描述了本研究中研究的自适应框架。第4节描述了用于预测流动动力学的POD-DL模型。第5节详细介绍了本工作中提出的自适应框架的实现。第6节展示了将自适应框架应用于预计算数据集所获得的结果，第7节对这些发现进行了总体讨论。最后，第8节总结了本工作得出的主要结论。

相关工作
自适应替代建模已成为长视野预测时变动态系统的活跃研究方向。核心思想是通过使用替代模型来减少对全序数值模拟的依赖，只有在降阶或学习表示不足时才调用高保真信息。这一策略对于CFD问题尤为重要，因为系统可能会逐渐偏离...

方法
流体流动的动力学通常由一组非线性偏微分方程（PDEs）控制。在大多数情况下，求解这些方程需要数值方法，除了少数特殊情况可以直接获得解析解。

预测模型：POD-DL
本工作中用于预测动力学未来演变的预测模型基于结合POD模式和DL架构的混合模型。如前所述，这种模型已经在文献中针对多种问题进行了研究（Abadía-Heredia, Corrochano, Lopez-Martin, Le Clainche, 2025, Abadía-Heredia, López-Martín, Carro, Arribas, Pérez, Le Clainche, 2022, Besabe, Girfoglio, Quaini, Rozza, 2025, Corrochano, Freitas, López-Martín, Parente, & Le Clainche, ...）

自适应框架的实现
第3节描述的自适应框架涉及几个影响结果和DL模型训练速度的超参数。其中，一组超参数对整个框架性能有特别大的影响，并在表2中列出。

保留的POD模式S0、S1和P在自适应框架中扮演不同的角色。保留的POD模式的数量根据方程（21）中定义的累积模态能量准则进行选择。

结果
如第3节所述，本研究中的自适应框架考虑了一个已经计算好的数据集，从中获取高精度数据来训练POD-DL模型。具体使用了三个不同的数据集，每个数据集代表不同的流动状态：圆柱体在层流和湍流条件下的三维尾流，以及湍流条件下的等温亚音速射流。这些流动受到Navier–Stokes方程的控制，其非守恒性...

讨论
结果支持了几项观察结果。首先，尽管本研究依赖于预计算的CFD快照而不是实时求解器实现，但结果表明，通过迁移学习定期整合高保真信息可以减轻自回归误差累积的自适应工作流程是可行的。当更新快照捕捉到影响后续过程的分布变化时，自适应POD-DL框架最为有效...

结论
本研究提出了一个用于CFD中长视野自回归预测的自适应POD-DL框架的概念证明。通过结合基于POD的降维和基于LSTM的模态预测，该方法在紧凑的潜在空间中预测高维流动场的时间演变，并定期用新可用的高保真信息更新替代模型。层流和湍流数据集的实验结果均表明，该方法能够减少CCRediT作者贡献声明中需要填写的条目数量。
作者贡献分配如下：
Rodrigo Abadía-Heredia：方法论、形式分析、数据管理、软件开发、验证、初稿撰写。
Xiangrui Zou：方法论、形式分析、数据调查、可视化处理、初稿撰写。
Manuel Lopez-Martin：概念框架构建、形式分析、项目指导、修订与编辑。
Soledad Le Clainche：概念框架构建、资源协调、项目管理工作、资金筹措、修订与编辑。

作者声明：
Rodrigo Abadía-Heredia | Xiangrui Zou | Manuel Lopez-Martin | Soledad Le Clainche
均无利益冲突。