不完整矩阵变量响应的贝叶斯时空模型中的空间变形

《Environmental and Ecological Statistics》：Spatial deformation in a Bayesian spatiotemporal model for incomplete matrix-variate responses

　　

本文提出了一种贝叶斯矩阵变量时空建模框架（Bayesian matrix-variate spatiotemporal modeling framework），用于联合分析在空间位置随时间观测到的多个响应变量。该方法通过纳入基于变形的机制（deformation-based mechanism）放松了空间各向同性的标准假设，使协方差结构能够捕捉方向效应和非平稳空间依赖。时间动态通过动态线性模型（dynamic linear model, DLM）进行建模，从而在状态空间形式（state-space formulation）内实现一致的不确定性传播。缺失观测通过数据增广策略（data augmentation strategy）处理，该策略保持了多元响应的联合结构。所提出的方法论通过模拟研究和空气质量数据应用进行了评估。结果表明，在各向异性设置下，考虑空间变形可带来预测性能的显著提升，而交叉变量依赖在改善整体拟合方面起次要作用。该框架对于中等数量的空间位置和响应在计算上是可处理的，并为不完整数据下的多元时空过程建模提供了灵活的基础。

环境数据通常是在固定监测点、有限时间段内观测到的时空过程。传统时空模型常假设过程为高斯过程，其协方差结构由方差参数和各向同性相关函数相乘构成，即假设空间平稳性与各向同性。然而，对于温度、污染物浓度、土壤湿度、降水量等环境变量，地形、盛行风、距海洋距离等局地因素会诱导方向依赖与空间异质性，各向同性假设往往不成立。为处理空间非平稳性，已有方法包括空间变化协方差参数模型、分区局部平稳模型、卷积与基函数方法、在协方差函数中纳入协变量，以及随机偏微分方程方法等。其中，变形（deformation）方法通过将原始地理坐标映射到潜在空间，在该潜在空间中恢复各向同性，从而以简洁而可解释的机制刻画各向异性与非平稳性。已有贝叶斯变形扩展逐步引入了潜在坐标的不确定性，并放松了时间平稳性假设，但推断多为分阶段完成。当前尚无方法在统一贝叶斯框架内同时纳入空间变形、矩阵变量依赖、时间动态以及缺失数据处理。为此，研究人员扩展了Paez等(2008)提出的矩阵正态贝叶斯动态模型，引入空间变形机制，在状态空间框架中联合估计变形、协方差参数与时间成分，并开发了高效的马尔可夫链蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo, MCMC）推断算法。该论文发表在《Environmental and Ecological Statistics》。

研究人员提出的模型以矩阵正态分布刻画响应矩阵，观测方程通过设计矩阵与空间相关矩阵建立，状态演化由动态线性模型控制，缺失数据在缺失完全随机（Missing Completely at Random, MCAR）假设下通过数据增广策略处理。主要关键技术包括：矩阵正态建模与可分离协方差表示；基于二元高斯过程先验的变形机制；采用前向滤波后向采样（Forward Filtering Backward Sampling, FFBS）更新动态回归系数；对空间范围参数和状态演化协方差矩阵采用Metropolis–Hastings更新，其中后者基于积分边际似然；对变形矩阵采用No-U-Turn采样器（No-U-Turn Sampler, NUTS）联合更新。数据来源为美国环境保护署（United States Environmental Protection Agency, EPA）加州中央谷地（Central Valley）21个监测站2024年全年逐小时监测数据，经日平均后得到T=366个时间点，用于PM₁₀（Response 1）与PM_2.5（Response 2）的联合建模；其中18个站点用于拟合，3个站点用于插值评估。

### 6.1 参数恢复研究
该模拟研究在N=10和N=20个空间位置、三维响应（q=3）、T=600、缺失率10%的设定下，评估所提出模型M₄的参数恢复能力。结果表明，空间范围参数φ与同期协方差矩阵Σ的对角元素恢复良好，HPD区间包含真值；状态演化方差W的对角元素在N=20时更接近真值；潜在时间状态β_1,3,t在N=20时的后验轨迹更精确，但形变结构恢复误差随空间位置数增加而增大。整体上模型能较好恢复主要协方差成分与变形结构。

### 6.2 比较预测性能研究
该模拟研究在q=2、N=16个站点、N*=3个插值站点、时间长度T∈{100,500}、缺失比例γ∈{0.0625,0.25}的设定下，比较M₁（无变形，独立响应）、M₂（无变形，相关响应）、M₃（变形，独立响应）与M₄（变形，相关响应）四种模型。各向同性模型M₁和M₂在所有场景下显著高估空间范围参数φ，而各向异性模型M₃和M₄在T=500时能精确恢复φ；Σ的恢复在所有模型中均较好，W_1,1在各向同性模型中更容易被高估；M₄在DIC、PMSE和CRPS上整体最优，M₃与M₄预测差距较小，而各向异性模型的插值表现明显优于各向同性模型。

### 7 应用研究
在加州中央谷地PM₁₀与PM_2.5数据应用中，研究人员以p=3（截距、海拔、日均温度）作为协变量，采用G_t=I_p的随机游走动态结构。结果表明，各向异性模型M₃和M₄的φ后验均值明显小于各向同性模型；Σ_1,2在M₄下的后验均值更大，说明控制各向异性后响应间同期协方差更易识别；变形方差σ²_d2,2大于σ²_d1,1，指示潜在空间存在方向性拉伸。M₄在DIC、PMSE、CRPS及区间得分上总体最佳，各向异性模型的经验覆盖率（ECP）和残差诊断也优于各向同性模型。潜在空间变形图显示，变形后的坐标明显偏离原始地理配置，且M₃与M₄的变形模式高度相似。

讨论部分指出，空间各向异性是预测改进的主要驱动力，而交叉变量依赖起次要作用，因此M₃与M₄表现接近。FFBS算法使计算量随时间维度线性增长，但空间协方差运算随地点数立方增长，在中等规模问题下计算可行。未来研究方向包括引入Vecchia型近似以扩展至大规模数据、允许各响应变量具有各自的空间依赖结构、放松高斯假设以及处理非MCAR缺失机制。

研究结论可翻译为：本文开发了一种贝叶斯时空模型，用于联合分析在固定空间位置和离散等间隔时间点观测到的两个或多个响应变量。主要贡献在于在矩阵变量动态建模框架内引入空间变形分量，从而放松了空间各向同性假设；同时模型在MCAR假设下兼容不完整的响应矩阵。基于两组互补的模拟研究和一项真实数据应用，结果一致表明空间变形在多元时空建模中具有重要作用：它通过潜在变形有效吸收空间非平稳性，显著提升各向异性设置下的插值精度，而交叉变量依赖的额外收益相对有限。然而，小样本量与高缺失比例可能损害参数估计和预测表现，因此需要在模型灵活性与数据可得性之间寻求平衡。该框架在中等规模时空数据下具有计算可行性，并为不完整多元时空过程建模提供了灵活的基础。